(共35张PPT)
第二课时 对数的运算性质(二)
课标要求
素养要求
1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算.
2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算.
掌握对数的运算法则及换底公式，会用对数的运算法则进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养.用对数解决实际问题，提升数学建模素养.
新知探究
16、17世纪之际随着天文，航海、工程，贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数方法，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N?b＝logaN(a>0且a≠1，N>0).
问题 2a＝3，3b＝8,
如何求ab?
换底公式
1
拓展深化
[微判断]
3.logaM＋logbN＝loga(MN)(M>0，N>0).(
)
提示 底数都为a才是正确的.
×
×
×
[微训练]
1.log92·log43＝________.
2.log35·log56·log69＝________.
答案 2
解析 原式＝log39＝2.
答案 2
[微思考]
换底公式中的底数c有什么要求？
提示 换底公式中的底数c可以是大于0且不等于1的任意数.
题型一 换底公式的直接应用
【例1】 (1)log29×log34＝( )
(2)原式＝log28＝3.
答案 (1)D (2)D
规律方法 换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的对数转化为同底数的对数.在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数.
【训练1】 计算：(log43＋log83)log32＝________.
题型二 有附加条件的对数式求值问题
解 (1)法一 由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，
法二 由3a＝4b＝36，
两边取以6为底数的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
规律方法 利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
解析 (1)由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，
题型三 用代数式表示对数
【例3】 已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.
解 法一 ∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
法二 ∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
规律方法 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
【训练3】 (1)若ln
2＝a，ln
3＝b，则log418＝( )
答案 D
题型四 对数的实际应用
规律方法 解决对数应用题的一般步骤
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，
它的游速是1
m/s.
(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量为v1，θ1，
提速后的游速、耗氧量为v2，θ2.
由v2－v1＝1，
所以耗氧量的单位数为原来的9倍.
一、素养落地
1.通过换底公式与对数运算法则的应用提升数学抽象与数学运算素养，用对数解决实际问题，提升数学建模素养.
2.换底公式能将底数不同的对数式转化为同底数的对数，要根据需要选择合适的底数.
二、素养训练
A.3
B.4
C.5
D.6
答案 D
2.若lg
5＝a，lg
7＝b，用a，b表示log75＝( )
答案 D
3.若logab·log3a＝4，则b的值为________.
答案 81
解析 由2a＝36，∴a＝log236；3b＝36，∴b＝log336，第二课时 对数的运算性质(二)
课标要求
素养要求
1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算.2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算.
掌握对数的运算法则及换底公式，会用对数的运算法则进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养.用对数解决实际问题，提升数学建模素养.
新知探究
16、17世纪之际随着天文，航海、工程，贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数方法，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab＝N?b＝logaN(a>0且a≠1，N>0).
问题 2a＝3，3b＝8,
如何求ab?
提示 a＝log23，b＝log38，则用换底公式ab＝log23·log38＝·＝3.
换底公式
logaN＝，其中a>0，a≠1,
N>0，c>0，c≠1.
特别地logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1).
拓展深化
[微判断]
1.log52＝log2.(×)
提示 log52＝.
2.＝log2.(×)
提示 ＝log53.
3.logaM＋logbN＝loga(MN)(M>0，N>0).(×)
提示 底数都为a才是正确的.
[微训练]
1.log92·log43＝________.
答案
2.log35·log56·log69＝________.
解析 原式＝··＝＝＝2.
答案 2
3.＝________.
解析 原式＝log39＝2.
答案 2
[微思考]
换底公式中的底数c有什么要求？
提示 换底公式中的底数c可以是大于0且不等于1的任意数.
题型一 换底公式的直接应用
【例1】 (1)log29×log34＝( )
A.
B.
C.2
D.4
(2)＝( )
A.log54
B.3log52
C.2
D.3
解析 (1)原式＝×＝×＝4.
(2)原式＝log28＝3.
答案 (1)D (2)D
规律方法 换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的对数转化为同底数的对数.在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数.
【训练1】 计算：(log43＋log83)log32＝________.
解析 原式＝log32
＝log32＝＋＝.
答案
题型二 有附加条件的对数式求值问题
【例2】 (1)设3a＝4b＝36，求＋的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
解 (1)法一 由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，
由换底公式得＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
法二 由3a＝4b＝36，
两边取以6为底数的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，
∴＝log63，＝log64＝log62，
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
规律方法 利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
【训练2】 (1)已知3a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________.
(2)实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的是( )
A.＋＝2
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝
解析 (1)由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，
故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2，
∴M＝.
(2)∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝lg
2，
∴＝lg
5，＋＝lg
2＋lg
5＝lg
10＝1，故选B.
答案 (1) (2)B
题型三 用代数式表示对数
【例3】 已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.
解 法一 ∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝
＝＝.
法二 ∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
规律方法 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
【训练3】 (1)若ln
2＝a，ln
3＝b，则log418＝( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
(1)解析 log418＝＝＝＝.
答案 D
(2)解 ∵log23＝a，∴＝log32，又log37＝b，
∴log4256＝＝＝＝.
题型四 对数的实际应用
【例4】 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留1个有效数字，lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
解 假设经过x年，该物质的剩余量是原来的.由题意可知＝，
∴x＝＝＝≈≈4.
即估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.
规律方法 解决对数应用题的一般步骤
【训练4】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1
m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
解 (1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s).
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，
它的游速是1
m/s.
(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量为v1，θ1，
提速后的游速、耗氧量为v2，θ2.
由v2－v1＝1，
即log3－log3＝1，
得＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍.
一、素养落地
1.通过换底公式与对数运算法则的应用提升数学抽象与数学运算素养，用对数解决实际问题，提升数学建模素养.
2.换底公式能将底数不同的对数式转化为同底数的对数，要根据需要选择合适的底数.
二、素养训练
1.计算log225·log32·log59的结果为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 原式＝··
＝··＝6.
答案 D
2.若lg
5＝a，lg
7＝b，用a，b表示log75＝( )
A.a＋b
B.a－b
C.
D.
解析 log75＝＝.
答案 D
3.若logab·log3a＝4，则b的值为________.
解析 logab·log3a＝·＝＝4，
所以lg
b＝4lg
3＝lg
34，所以b＝34＝81.
答案 81
4.若2a＝3b＝36，则＝________.
解析 由2a＝36，∴a＝log236；3b＝36，∴b＝log336，
∴＝＋＝log362＋log363＝log366＝.
答案
5.计算：.
解 原式＝×＝log2×log274＝×＝－.
基础达标
一、选择题
1.若log5·log36·log6x＝2，则x＝( )
A.9
B.
C.25
D.
解析 由题意知··＝－＝2，
∴lg
x＝－2lg
5＝lg，
∴x＝.
答案 D
2.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为( )
A.3
B.8
C.4
D.log48
解析 由2x＝3得x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋＝log23＋(3log22－log23)＝3.
答案 A
3.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
A.6
B.9
C.12
D.18
解析 ∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，
∴＝logk2，＝logk3.
∵2a＋b＝ab，∴＋＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.
答案 D
4.设log23＝a，log215＝b，则log59＝( )
A.
B.
C.
D.
解析 log59＝＝
＝＝.
答案 A
5.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A.logab·logcb＝logca
B.logab·logca＝logcb
C.loga(bc)＝logab·logac
D.loga(b＋c)＝logab＋logac
解析 logab·logcb＝·≠logca，故A错误，C、D显然错误.
答案 B
二、填空题
6.计算：log5·log36·log6＝________.
解析 原式＝··
＝··＝2.
答案 2
7.若xlog32＝1，则4x＋4－x＝________.
解析 因为x＝＝log23，所以4x＋4－x＝22x＋2－2x＝22log23＋2－2log23＝2log232＋2log23－2＝9＋＝.
答案
8.已知log32＝m，则log3218＝________(用m表示).
解析 log3218＝＝＝＝.
答案
三、解答题
9.计算：(1)log89×log2732；(2)(log43＋log83)·.
解 (1)原式＝×＝×＝.
(2)原式＝·＝×＝＋＝.
10.(1)已知log1227＝a，求log616的值；
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.
解 (1)由log1227＝a，得＝＝a，
∴lg
2＝lg
3.
∴log616＝＝＝＝.
(2)法一 原式＝·
＝
＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.
法二 原式＝
＝
＝＝13.
法三 原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)
＝(log52＋log52＋log52)
＝log25·(3log52)＝×3＝13.
能力提升
11.已知＝，log74＝b，则log4948＝________(用含a，b的式子表示).
解析 ＝，则a＝log＝log73，又b＝log74，
∴log4948＝＝＝.
答案
12.已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，2x＝py.
(1)求p的值；
(2)证明：－＝.
(1)解 设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.
由2x＝py得2log3k＝plog4k＝p·，
因为log3k≠0，所以p＝2log34＝4log32.
(2)证明 因为－＝－
＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝＝.
所以原式得证.
创新猜想
13.(多选题)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么( )
A.ab＋bc＝2ac
B.ab＋bc＝ac
C.＝＋
D.＝－
解析 令4a＝6b＝9c＝N，则a＝log4N，b＝log6N，c＝log9N，∴＝logN4，＝logN6，＝logN9，∴logN4＋logN9＝2logN6.即＋＝，
∴bc＋ab＝2ac.
答案 AD
14.(多空题)若2a＝3，b＝log32，则ab＝________，3b＋3－b＝________.
解析 ∵2a＝3，∴a＝log23，
∴ab＝log23·log32＝log23·＝1，
3b＋3－b＝3log32＋3－log32＝2＋＝.
答案 1 4.2.2 对数的运算性质
第一课时 对数的运算性质(一)
课标要求
素养要求
1.理解对数的运算法则.2.会用对数的运算法则进行一些简单的化简.
通过运用对数的运算法则进行化简求值，提升数学抽象素养和数学运算素养.
新知探究
大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则中，得出相应对数的运算法则吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算法则呢？
问题 观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？
log2(2×4)＝log22＋log24＝3；
log3(3×9)＝log33＋log39＝3；
log2(4×8)＝log24＋log28＝5.
提示 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则loga(M·N)＝logaM＋logaN成立.
对数运算法则
熟记对数运算法则，切忌记混法则
loga(MN)＝logaM＋logaN，
logaMα＝αlogaM，
loga＝logaM－logaN
(以上各式中a>0且a≠1，M>0，N>0)
拓展：logamMn＝logaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R，m≠0)
拓展深化
[微判断]
1.log2x2＝2log2x.(×)
提示 当x>0时成立，当x<0时，不成立.
2.loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3).(×)
提示 必须保证对数的真数大于0才能有意义，否则错误.
3.logaM·logaN＝loga(M＋N).(×)
提示 公式应为logaM＋logaN＝loga(M·N)(a>0且a≠1，M>0，N>0).
[微训练]
1.log5＋log53＝________.
答案 0
2.lg
2＝m，则lg
5＝________.
解析 lg
5＝lg＝1－lg
2＝1－m.
答案 1－m
3.log212－log23＝________.
解析 log212－log23＝log2＝log24＝2.
答案 2
[微思考]
对数运算法则的适用条件是什么？
提示 对数的运算法则的适用条件是“同底，且真数为正”，即a>0，a≠1，M>0，N>0.若去掉此条件，法则不一定成立，如log3≠log3(－8)－log3(－3).
题型一 对数的运算法则
【例1】 用lg
x，lg
y，lg
z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg；
(3)lg；(4)lg.
解 (1)lg(xyz)＝lg
x＋lg
y＋lg
z.
(2)lg＝lg(xy2)－lg
z＝lg
x＋2lg
y－lg
z.
(3)lg＝lg(xy3)－lg＝lg
x＋3lg
y－lg
z.
(4)lg＝lg－lg(y2z)＝lg
x－2lg
y－lg
z.
规律方法 对数的运算法则是解决此类问题的关键，熟记运算法则，要注意底数是相同的.
【训练1】 (1)下列各等式正确的为( )
A.log23·log25＝log2(3×5)
B.lg
3＋lg
4＝lg(3＋4)
C.log2＝log2x－log2y
D.lg＝lg
m(m>0，n>1，n∈N＋)
(2)已知a>0，且a≠1，x>y>0，则下列结论正确的是( )
A.loga(x－y)＝logax－logay
B.＝logax－logay
C.loga＝logax－logay
D.loga＝
解析 (1)A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义.
(2)logax－logay＝loga，故A、B错误，D错误.
答案 (1)D (2)C
题型二 利用对数的运算法则化简求值
【例2】 求值：(1)；
(2)log535－2log5＋log57－log51.8.
解 (1)原式＝
＝＝.
(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
规律方法 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
【训练2】 计算下列各式的值：
(1)lg－lg
＋lg；
(2)lg
25＋lg
8＋lg
5×lg
20＋(lg
2)2.
解 (1)法一 原式＝(5lg
2－2lg
7)－×lg
2＋(2lg
7＋lg
5)
＝lg
2－lg
7－2lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5＝(lg
2＋lg
5)
＝lg
10＝.
法二 原式＝lg－lg
4＋lg
7
＝lg
＝lg(·)＝lg＝.
(2)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5×(2lg
2＋lg
5)＋(lg
2)2
＝2lg
10＋(lg
5＋lg
2)2＝2＋(lg
10)2＝2＋1＝3.
题型三 对数中的求值问题
【例3】 设lg
2＝a，lg
3＝b，用a，b表示下列各对数：
(1)lg
45；(2)lg；(3)lg.
解 (1)lg
45＝lg(32×5)＝2lg
3＋lg
5＝2lg
3＋1－lg
2＝2b－a＋1.
(2)lg＝lg
27－lg
4＝3lg
3－2lg
2＝3b－2a.
(3)lg＝lg
50－lg
27＝2－lg
2－3lg
3＝2－a－3b.
规律方法 依据对数的运算法则，将真数化为“底数”“已知对数的数的幂”的乘、除，再展开，要注意常用对数中lg
2＋lg
5＝1.
【训练3】 已知log189＝a，18b＝5，求log18(用a，b表示).
解 因为18b＝5，所以b＝log185，
而log18＝log1845－log1836
＝log18(5×9)－log18(2×18)
＝log185＋log189－log182－1
＝b＋a－(1－log189)－1
＝b＋2a－2.
一、素养落地
1.熟练运用对数的运算性质进行化简求值，提升数学抽象素养和数学运算素养.
2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
二、素养训练
1.lg
－2lg
＋lg
＝( )
A.lg
2
B.lg
3
C.lg
4
D.lg
5
解析 lg
－2lg
＋lg
＝lg＝lg
2.故选A.
答案 A
2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是( )
A.a－2
B.5a－2
C.3a－(1＋a)2
D.3a－a2
解析 原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.
答案 A
3.lg
＋lg
的值是________.
解析 lg
＋lg
＝lg
＝lg
10＝1.
答案 1
4.已知a＝lg
3，b＝lg
7，则lg＝________.
解析 lg＝lg
3－lg
7＝a－b.
答案 a－b
5.求下列各式的值：
(1)lg
14－2lg
＋lg
7－lg
18；
(2).
解 (1)法一 原式＝lg(2×7)－2(lg
7－lg
3)＋lg
7－lg(32×2)＝lg
2＋lg
7－2lg
7＋2lg
3＋lg
7－2lg
3－lg
2＝0.
法二 原式＝lg
14－lg＋lg
7－lg
18
＝lg＝lg
1＝0.
(2)原式＝＝＝＝.
基础达标
一、选择题
1.计算lg
8＋3lg
5的结果为( )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
解析 lg
8＋3lg
5＝3lg
2＋3lg
5＝3(lg
2＋lg
5)＝3.
答案 D
2.如果lg
x＝lg
a＋3lg
b－5lg
c，那么( )
A.x＝
B.x＝
C.x＝a＋3b－5c
D.x＝a＋b3－c3
解析 lg
a＋3lg
b－5lg
c＝lg
a＋lg
b3－lg
c5＝lg，由lg
x＝lg，可得x＝.
答案 A
3.若lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )
A.2
B.
C.100
D.
解析 ∵lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg
a＋lg
b＝－＝2，∴ab＝100.故选C.
答案 C
4.化简log612－2log6的结果为( )
A.6
B.12
C.log6
D.
解析 原式＝log6－log62＝log6＝log6.
答案 C
5.若lg
x－lg
y＝t，则lg－lg＝( )
A.3t
B.t
C.t
D.
解析 lg－lg＝3lg－3lg＝3lg＝3(lg
x－lg
y)＝3t.
答案 A
二、填空题
6.已知3a＝2，3b＝，则2a－b＝________.
解析 ∵3a＝2，3b＝，∴a＝log32，b＝log3，∴2a－b＝2log32－log3＝log320.
答案 log320
7.已知lg
2＝a，lg
3＝b，用a，b表示lg，则lg＝________.
解析 lg＝lg
36－lg
5＝2(lg
2＋lg
3)－lg＝3lg
2＋2lg
3－1＝3a＋2b－1.
答案 3a＋2b－1
8.若3a＝2，则2log36－log316＝________.
解析 因为3a＝2，所以log32＝a，
所以2log36－log316＝2log3(3×2)－log324
＝2(1＋log32)－4log32
＝2－2log32＝2－2a.
答案 2－2a
三、解答题
9.计算下列各式的值：
(1)log3＋lg
25＋lg
4＋7log72；
(2)2log32－log3＋log38－52log53.
解 (1)原式＝log3＋lg(25×4)＋2＝log33－＋lg
102＋2＝－＋2＋2＝.
(2)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532
＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
10.设a＝lg
2，b＝lg
3，试用a，b表示下列各对数：
(1)lg
；(2)lg.
解 (1)lg
＝lg
108＝lg(4×27)＝[lg
22＋lg
33]＝lg
2＋lg
3＝a＋b.
(2)lg＝lg
32－lg
5＝2lg
3－(1－lg
2)＝2lg
3＋lg
2－1＝a＋2b－1.
能力提升
11.计算：＝________.
解析 原式＝
＝＝＝1.
答案 1
12.计算下列各式的值：
(1)log345－log35；
(2)(lg
5)2＋2lg
2－(lg
2)2；
解 (1)原式＝log3＝log39＝log332＝2.
(2)原式＝(lg
5＋lg
2)(lg
5－lg
2)＋2lg
2
＝lg
10(lg
5－lg
2)＋2lg
2
＝lg
5－lg
2＋2lg
2
＝lg
5＋lg
2＝1.
创新猜想
13.(多选题)下列运算错误的是( )
A.2log10＋log0.25＝2
B.2lg(xy)＝2lgx·2lgy(x，y为正实数)
C.2lg(x＋y)＝2lg
x·2lg
y(x，y为正实数)
D.lg
20＋lg
50＝100
解析 A中，log100＋log0.25＝log25＝－2.因为lg(xy)＝lg
x＋lg
y，所以2lg(xy)＝2lg
x＋lg
y＝2lg
x·2lg
y，故B正确，C不正确.而D中lg
20＋lg
50＝lg
1
000＝3.
答案 ACD
14.(多空题)若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg
2＋lg
x＋lg
y，则＝________；若x，y∈(0，1)，若lg
x＋lg
y＝lg(x＋y)，则lg(1－x)＋lg(1－y)＝________.
解析 由(x－y)(x＋2y)＝2xy，
得x2－2y2＝xy，
∴－＝1，
∴＝2或＝－1(舍去).
若xy＝x＋y，则lg(1－x)＋lg(1－y)＝lg[(1－x)(1－y)]＝lg
1＝0.
答案 2 0(共32张PPT)
4.2.2 对数的运算性质
第一课时 对数的运算性质(一)
课标要求
素养要求
1.理解对数的运算法则.
2.会用对数的运算法则进行一些简单的化简.
通过运用对数的运算法则进行化简求值，提升数学抽象素养和数学运算素养.
新知探究
大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则中，得出相应对数的运算法则吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算法则呢？
问题 观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？
log2(2×4)＝log22＋log24＝3；
log3(3×9)＝log33＋log39＝3；
log2(4×8)＝log24＋log28＝5.
提示 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则loga(M·N)＝logaM＋logaN成立.
对数运算法则
熟记对数运算法则，切忌记混法则
loga(MN)＝________________，
logaMα＝______________，
loga＝________________
(以上各式中a>0且a≠1，M>0，N>0)
logaM＋logaN
αlogaM
logaM－logaN
拓展深化
[微判断]
1.log2x2＝2log2x.(
)
提示 当x>0时成立，当x<0时，不成立.
2.loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3).(
)
提示 必须保证对数的真数大于0才能有意义，否则错误.
3.logaM·logaN＝loga(M＋N).(
)
提示 公式应为logaM＋logaN＝loga(M·N)(a>0且a≠1，M>0，N>0).
×
×
×
[微训练]
答案 0
2.lg
2＝m，则lg
5＝________.
答案 1－m
3.log212－log23＝________.
答案 2
[微思考]
对数运算法则的适用条件是什么？
题型一 对数的运算法则
【例1】 用lg
x，lg
y，lg
z表示下列各式：
解 (1)lg(xyz)＝lg
x＋lg
y＋lg
z.
规律方法 对数的运算法则是解决此类问题的关键，熟记运算法则，要注意底数是相同的.
【训练1】 (1)下列各等式正确的为( )
答案 (1)D (2)C
题型二 利用对数的运算法则化简求值
【例2】 求值：
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
规律方法 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
【训练2】 计算下列各式的值：
(2)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5×(2lg
2＋lg
5)＋(lg
2)2
＝2lg
10＋(lg
5＋lg
2)2＝2＋(lg
10)2＝2＋1＝3.
题型三 对数中的求值问题
【例3】 设lg
2＝a，lg
3＝b，用a，b表示下列各对数：
解 (1)lg
45＝lg(32×5)＝2lg
3＋lg
5＝2lg
3＋1－lg
2＝2b－a＋1.
规律方法 依据对数的运算法则，将真数化为“底数”“已知对数的数的幂”的乘、除，再展开，要注意常用对数中lg
2＋lg
5＝1.
解 因为18b＝5，所以b＝log185，
＝log18(5×9)－log18(2×18)
＝log185＋log189－log182－1
＝b＋a－(1－log189)－1
＝b＋2a－2.
一、素养落地
1.熟练运用对数的运算性质进行化简求值，提升数学抽象素养和数学运算素养.
2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
二、素养训练
A.lg
2
B.lg
3
C.lg
4
D.lg
5
答案 A
2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是( )
A.a－2
B.5a－2
C.3a－(1＋a)2
D.3a－a2
解析 原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.
答案 A
答案 1
答案 a－b
5.求下列各式的值：
解 (1)法一 原式＝lg(2×7)－2(lg
7－lg
3)＋lg
7－lg(32×2)＝lg
2＋lg
7－2lg
7＋2lg
3＋lg
7－2lg
3－lg
2＝0.
