(共38张PPT)
第7章
三角函数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
早期对于三角函数的研究可以追溯到古代.古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同).对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的.喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表.然而古希腊的三角学基本是球面三角学，这与古希腊人研究的主体是天文学有关.梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理.古希腊三角学与其天文学的应用在埃
及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法.托勒密还给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值.
喜帕恰斯
[读图探新]——发现现象背后的知识
伦敦眼
伦敦眼(英文名：The
London
Eye)，全称英国航空伦敦眼(The
British
Airways
London
Eye)又称千禧之轮，坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界第四大摩天轮，是伦敦的地标之一，也是伦敦最吸引游人的观光点之一.伦敦眼于1999年年底开幕，总高度135米(443英尺).伦敦眼共有32个乘坐舱，因舱内外用钢化玻璃打造，所以设有空调系统.每个乘坐舱可载客约25名，回转速度约为每秒0.26米，即一圈需时30分钟.
问题1：伦敦眼旋转了“一周半”，那么它转了多大的角？
问题2：伦敦眼转一圈需用时30分钟，这就叫周期现象，那么周期为多少呢？
问题3：当游客坐伦敦眼达到最高点时，伦敦美景尽收眼底，总高度135米对应于三角函数的哪些量？
链接：1.－540°.
2.周期为30分钟；
3.游客达到最高点与最低点时，分别对应了三角函数的最大值与最小值.
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
课标要求
素养要求
1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义.
2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示.
在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.
新知探究
2019年7月15日，在韩国光州举行的游泳世锦赛男子双人10米跳台决赛中，中国组合曹缘、陈艾森以486.93分的成绩获得冠军；在第六轮比赛中，曹缘、陈艾森的动作是难度系数3.6的5
255B(向前翻腾两周半转体两周半躯体)，动作完美，获得最高分.
问题 (1)向前翻腾两周半所转的角是正角还是负角？
(2)向前翻腾两周半所转的角是多少度？
提示 (1)正角，因为是按照逆时针旋转的；(2)所转的角为900°.
1.角的分类
注意正角、负角的旋转方向
类型
定义
图示
正角
按________方向旋转所成的角
负角
按________方向旋转所成的角
零角
不旋转所成的角
逆时针
顺时针
2.角的加法
对于两个任意角α、β，将角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作________；射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为______角、角α的相反角为______，于是α－β＝α＋______.
3.象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是____________；如果角的终边在坐标轴上，称这个角为________.
α＋β
－α
(－β)
第几象限角
轴线角
相反
4.终边相同角的表示
一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝____________，k∈Z}.
k·360°＋α
拓展深化
[微判断]
1.经过1小时，时针转过30°.(
)
提示 因为是顺时针旋转，所以时针转过－30
°.
2.终边与始边重合的角是零角.(
)
提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
3.终边在y轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}.(
)
4.若α为第四象限，则－α为第一象限角.(
)
5.第三象限的角一定比第一象限的角大.(
)
提示 例如－120°为第三象限角，60°为第一象限角，故错误.
×
×
√
√
×
[微训练]
1.与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.
答案 C
2.－378°是第________象限角.
解析 －378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角.
答案 四
[微思考]
1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化？
提示 角的概念推广后，角度的范围不限于0°～360°，而是任意的角，包括正角、负角与零角.
2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示 终边相同的角相差360°的整数倍，它们不一定相等，但相等的角终边一定相同.
题型一 与任意角有关的概念辨析
【例1】 (1)下列说法中正确的是________(填序号).
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称.
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
解析 (1)终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.
(2)∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.
答案 (1)②⑤ (2)－40°
规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【训练1】 写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数.
解 在图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
在图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
题型二 终边相同的角
【例2】 在与角10
030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)[360°，720°)内的角.
解 与10
030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10
030°(k∈Z)，
(1)由－360°030°<0°，得－10
390°030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°030°<360°，得－10
030°670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10
030°<720°，得－9
670°≤k·360°<－9
310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
规律方法 (1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.
(2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.
【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S.
解 S＝{α|α＝k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°，k2∈Z}＝{α|α＝2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
题型三 象限角和区间(域)角
【例3】 (1)－2
019°是第________象限角.
(2)已知，如图所示.
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
(1)解析 －2
019°＝－6×360°＋141°，141°是第二象限角，所以－2
019°为第二象限角.
答案 二
(2)解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
【迁移1】 (变换条件)若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.
【迁移2】 (变换条件)若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解 由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤
k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
规律方法 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
【训练3】 (1)已知α是第二象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(2)已知α是锐角，那么2α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.小于180°的正角
D.第一或第二象限角
解析 (1)由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α为第一象限角.
(2)∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.
答案 (1)A (2)C
一、素养落地
1.通过本节课的学习，学会利用图形描述建立形与数的联系，提升学生的数学抽象、直观想象素养.
2.本节主要借助坐标系，加深对角的概念的理解.
3.会写终边相同的角、区域角.
二、素养训练
1.在①160°；②480°；③－960°；④1
530°这四个角中，属于第二象限角的是( )
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
解析 ②480°＝120°＋360°是第二象限角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
④1
530°＝4×360°＋90°不是第二象限角，故选C.
答案 C
2.(多选题)下列说法不正确的是( )
A.三角形的内角一定是第一、二象限角
B.钝角不一定是第二象限角
C.相差180°整数倍的角为终边相同的角
D.钟表的时针旋转而成的角是负角
解析 A错误，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B错误，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；
C错误，终边相同的角之间相差360°的整数倍；
D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角.
答案 ABC
3.把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________.
解析 －936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°.
答案 144°＋(－3)×360°
4.终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________.
解析 由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，
从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
答案 {α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}
5.如图所示，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.第7章
三角函数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
早期对于三角函数的研究可以追溯到古代.古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同).对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的.喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表.然而古希腊的三角学基本是球面三角学，这与古希腊人研究的主体是天文学有关.梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理.古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法.托勒密还给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值.
INCLUDEPICTURE"补37.TIF"
INCLUDEPICTURE
"补37.TIF"
\
MERGEFORMAT
喜帕恰斯
[读图探新]——发现现象背后的知识
伦敦眼
伦敦眼(英文名：The
London
Eye)，全称英国航空伦敦眼(The
British
Airways
London
Eye)又称千禧之轮，坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界第四大摩天轮，是伦敦的地标之一，也是伦敦最吸引游人的观光点之一.伦敦眼于1999年年底开幕，总高度135米(443英尺).伦敦眼共有32个乘坐舱，因舱内外用钢化玻璃打造，所以设有空调系统.每个乘坐舱可载客约25名，回转速度约为每秒0.26米，即一圈需时30分钟.
INCLUDEPICTURE"xj58.TIF"
INCLUDEPICTURE
"xj58.TIF"
\
MERGEFORMAT
问题1：伦敦眼旋转了“一周半”，那么它转了多大的角？
问题2：伦敦眼转一圈需用时30分钟，这就叫周期现象，那么周期为多少呢？
问题3：当游客坐伦敦眼达到最高点时，伦敦美景尽收眼底，总高度135米对应于三角函数的哪些量？
链接：1.－540°.
2.周期为30分钟；
3.游客达到最高点与最低点时，分别对应了三角函数的最大值与最小值.
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
课标要求
素养要求
1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义.2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示.
在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.
新知探究
2019年7月15日，在韩国光州举行的游泳世锦赛男子双人10米跳台决赛中，中国组合曹缘、陈艾森以486.93分的成绩获得冠军；在第六轮比赛中，曹缘、陈艾森的动作是难度系数3.6的5
255B(向前翻腾两周半转体两周半躯体)，动作完美，获得最高分.
INCLUDEPICTURE"W1.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W1.TIF"
\
MERGEFORMAT
问题 (1)向前翻腾两周半所转的角是正角还是负角？
(2)向前翻腾两周半所转的角是多少度？
提示 (1)正角，因为是按照逆时针旋转的；(2)所转的角为900°.
1.角的分类 注意正角、负角的旋转方向
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转所成的角
负角
按顺时针方向旋转所成的角
零角
不旋转所成的角
2.角的加法
对于两个任意角α、β，将角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作α＋β；射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为相反角、角α的相反角为－α，于是α－β＝α＋(－β).
3.象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.
4.终边相同角的表示
一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.
拓展深化
[微判断]
1.经过1小时，时针转过30°.(×)
提示 因为是顺时针旋转，所以时针转过－30
°.
2.终边与始边重合的角是零角.(×)
提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
3.终边在y轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}.(√)
4.若α为第四象限，则－α为第一象限角.(√)
5.第三象限的角一定比第一象限的角大.(×)
提示 例如－120°为第三象限角，60°为第一象限角，故错误.
[微训练]
1.与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.
答案 C
2.－378°是第________象限角.
解析 －378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角.
答案 四
[微思考]
1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化？
提示 角的概念推广后，角度的范围不限于0°～360°，而是任意的角，包括正角、负角与零角.
2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示 终边相同的角相差360°的整数倍，它们不一定相等，但相等的角终边一定相同.
题型一 与任意角有关的概念辨析
【例1】 (1)下列说法中正确的是________(填序号).
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称.
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
解析 (1)终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.
(2)∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.
答案 (1)②⑤ (2)－40°
规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【训练1】 写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数.
解 在图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
在图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
题型二 终边相同的角
【例2】 在与角10
030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)[360°，720°)内的角.
解 与10
030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10
030°(k∈Z)，
(1)由－360°030°<0°，得－10
390°030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°030°<360°，得－10
030°670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10
030°<720°，得－9
670°≤k·360°<－9
310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
规律方法 (1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.
(2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.
【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S.
解 S＝{α|α＝k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°，k2∈Z}＝{α|α＝2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
题型三 象限角和区间(域)角
【例3】 (1)－2
019°是第________象限角.
(2)已知，如图所示.
INCLUDEPICTURE"s+7.TIF"
INCLUDEPICTURE
"s+7.TIF"
\
MERGEFORMAT
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
(1)解析 －2
019°＝－6×360°＋141°，141°是第二象限角，所以－2
019°为第二象限角.
答案 二
(2)解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
【迁移1】 (变换条件)若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.
INCLUDEPICTURE"s++9.TIF"
INCLUDEPICTURE
"s++9.TIF"
\
MERGEFORMAT
【迁移2】 (变换条件)若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
INCLUDEPICTURE"S+8.tif"
INCLUDEPICTURE
"S+8.tif"
\
MERGEFORMAT
解 由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
规律方法 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
【训练3】 (1)已知α是第二象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(2)已知α是锐角，那么2α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.小于180°的正角
D.第一或第二象限角
解析 (1)由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α为第一象限角.
(2)∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.
答案 (1)A (2)C
一、素养落地
1.通过本节课的学习，学会利用图形描述建立形与数的联系，提升学生的数学抽象、直观想象素养.
2.本节主要借助坐标系，加深对角的概念的理解.
3.会写终边相同的角、区域角.
二、素养训练
1.在①160°；②480°；③－960°；④1
530°这四个角中，属于第二象限角的是( )
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
解析 ②480°＝120°＋360°是第二象限角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
④1
530°＝4×360°＋90°不是第二象限角，故选C.
答案 C
2.(多选题)下列说法不正确的是( )
A.三角形的内角一定是第一、二象限角
B.钝角不一定是第二象限角
C.相差180°整数倍的角为终边相同的角
D.钟表的时针旋转而成的角是负角
解析 A错误，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B错误，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；
C错误，终边相同的角之间相差360°的整数倍；
D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角.
答案 ABC
3.把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________.
解析 －936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°.
答案 144°＋(－3)×360°
4.终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________.
解析 由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，
从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
答案 {α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}
5.如图所示，
INCLUDEPICTURE"s11.TIF"
INCLUDEPICTURE
"s11.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.
基础达标
一、选择题
1.(多选题)下列说法中不正确的是( )
A.第二象限角都是钝角
B.第二象限角大于第一象限角
C.若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D.若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
解析 A错误，495°＝135°＋360°是第二象限角，但不是钝角；
B错误，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限角，但α<β；
C错误，α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合；
D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z).
答案 ABC
2.给出下列命题：
①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角.
其中正确的命题有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 ∵－90°<－75°<0°，∴－75°是第四象限角，①正确；∵180°<225°<270°，∴225°是第三象限角，②正确；∵360°＋90°<475°<360°＋180°，∴475°是第二象限角，③正确；∵－360°<－315°<－270°，∴－315°是第一象限角，④正确.故这4个命题都是正确的.
答案 D
3.与－468°角的终边相同的角的集合是( )
A.{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}
解析 因为－468°＝－2×360°＋252°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为k·360°＋252°，k∈Z，故选B.
答案 B
4.已知角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A.α＋β＝k·360°，k∈Z
B.α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C.α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D.α－β＝k·360°，k∈Z
解析 法一 (特值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.
法二 (直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
答案 B
5.已知α为第三象限角，则所在的象限是( )
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
解析 法一 如图所示，将每个象限二等分，标号Ⅲ所在的区域即为所在的区域，故选D.
INCLUDEPICTURE"xj62.TIF"
INCLUDEPICTURE
"xj62.TIF"
\
MERGEFORMAT
法二 ∵180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，
∴90°＋k·
180°<<135°＋k·180°，k∈Z，
∴为第二或第四象限角，故选D.
答案 D
二、填空题
6.1
112°角是第________象限角.
解析 ∵1
112°＝360°×3＋32°，∴1
112°与32°的终边相同，均为第一象限角.
答案 一
7.终边在坐标轴上的角的集合为________.
解析 终边在x轴上的角的集合为{α1|α1＝k·180°＝2k·90°，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α2|α2＝k·180°＋90°＝(2k＋1)·90°，k∈Z}，所以终边在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.
答案 {α|α＝k·90°，k∈Z}
8.若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为________.
解析 由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，
则＝20°＋k·120°(k∈Z)，
则当k＝0，1，2时，＝20°，140°，260°.
答案 20°，140°，260°
三、解答题
9.已知角θ的7倍角的终边与角θ的终边重合，且0°<θ<360°，求满足条件的角θ的集合.
解 由题意知，7θ＝θ＋k·360°，k∈Z，
即6θ＝k·360°，k∈Z，∴θ＝k·60°，k∈Z，
由0°<θ<360°，得0°∴0∴θ的集合为{60°，120°，180°，240°，300°}.
10.已知角α＝2
010°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
解 (1)由2
010°除以360°，得商为5，余数为210°.
∴取k＝5，β＝210°，
α＝5×360°＋210°.
又β＝210°是第三象限角，
∴α为第三象限角.
(2)与2
010°终边相同的角为k·360°＋2
010°(k∈Z).
令－360°≤k·360°＋2
010°<720°(k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z).
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2
010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.
能力提升
11.已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角.
解析 由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论.当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限.故α是第一或第三象限角.
答案 一或三
12.在集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个在区间(－360°，360°)内的角？
(3)写出其中的第三象限角.
解 (1)由k＝4n，4n＋1，4n＋2，4n＋3(n∈Z)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.
(2)由－360°又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.
所以在给定的角的集合中在区间(－360°，360°)内的角共有8个.
(3)其中的第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z.
创新猜想
13.(多选题)下列四个结论正确的是( )
A.－15°角是第四象限角
B.185°角是第三象限角
C.475°角是第二象限角
D.－350°角是第一象限角
解析 A.－15°角是第四角限角；B.因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；C.因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；D.因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角.所以四个结论都是正确的.
答案 ABCD
14.(多空题)在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转的动作让我们叹为观止，运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险.
INCLUDEPICTURE"W2.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W2.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)他们顺时针旋转两圈半的角度是________.
(2)若是逆时针旋转一圈半的角度是________.
解析 (1)顺时针旋转两圈半，即－(2×360°＋180°)＝－900°.
(2)逆时针旋转一圈半，即360°×1＋180°＝540°.
答案 (1)－900° (2)540°
