(共37张PPT)
7.1.2 弧度制
课标要求
素养要求
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.
2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.
新知探究
摄氏度与华氏温度
“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度.”
摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(Anders
Celsius
1701～1744)，其结冰点是0
℃，沸点为100
℃.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度.
人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1
?”.按照华氏温标，则水的冰点为32
?，沸点为212
?.“华氏温标”是经验温标之一.在美国的日常生活中，多采用这种温标.规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示.
摄氏温度(℃)和华氏温度(?)之间的换算关系为：
华氏度(?)＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏度(?)－32)÷1.8.
问题 温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？
提示 弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角.
1.度量角的两种单位制
在用弧度制表示角时，单位可以省略
度
弧度
半径长
rad
2.弧度数
(1)正角：正角的弧度数是______.
(2)负角：负角的弧度数是______.
(3)零角：零角的弧度数是____.
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是
|α|＝______.
正数
负数
0
3.角度制与弧度制的换算
2π
rad
360°
π
rad
180°
4.扇形的弧长和面积公式
如图：(1)则有l＝____________.
若r＝1，则有l＝________.
5.角与实数的关系
在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起__________关系.
如图所示：
|α|·r
|α|
一一对应
正实数
负角
拓展深化
[微判断]
1.1弧度就是1°的圆心角所对的弧.(
)
提示 1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.
2.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(
)
4.扇形的半径为1
cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm).(
)
提示 扇形的弧长公式l＝|α|r，α的单位为弧度.
×
√
√
×
[微训练]
1.下列命题中的假命题是( )
解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D.
答案 D
2.将2
340°转化为弧度为________.
答案 13π
4.若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限.
解析 2π－5与－5的终边相同，
答案 一
[微思考]
1.对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
2.角α的弧度数与α所在的圆的半径有关吗？
提示 α的弧度数由角α的大小唯一确立，而与其所在圆的大小(半径)无关.
题型一 角度与弧度的互化及应用
【例1】 将下列角度与弧度进行互化：
题型二 用弧度制表示角的集合
【例2】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).
规律方法 根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形.
(2)写出区域边界作为终边时角的表示.
(3)用不等式表示区域范围内的角.
(4)按逆时针方向书写.
【训练2】 已知角α＝2
010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.
又－5π≤γ<0，
解 如图所示，
根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，
设⊙O1与OA切于C点.连接O1O，O1C.
OO1＝OA－O1C＝300－O1C，
解得O1C＝100
m.
这时⊙O1的面积为π·1002＝10
000
π(m2).
规律方法 扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法
首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)，其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意：
(1)看清角的度量制，选用相应的公式；
(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.
∴OD＝OA＋AD＝100＋20＝120，
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养.
2.本节课主要讲述角度制与弧度制的互化和利用弧长公式、面积公式解决有关计算问题.
二、素养训练
1.下列各命题中，真命题是( )
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角
解析 根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.
答案 D
2.将－1
485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
答案 D
4.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图是书画家唐寅(1
470—1
523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________cm2.
解析 如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，
答案 704
5.已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.
解 设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∵r>0，l＝a－2r>0，7.1.2 弧度制
课标要求
素养要求
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.
新知探究
摄氏度与华氏温度
“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度.”
摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(Anders
Celsius
1701～1744)，其结冰点是0
℃，沸点为100
℃.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度.
人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1
?”.按照华氏温标，则水的冰点为32
?，沸点为212
?.“华氏温标”是经验温标之一.在美国的日常生活中，多采用这种温标.规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示.
摄氏温度(℃)和华氏温度(?)之间的换算关系为：
华氏度(?)＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏度(?)－32)÷1.8.
问题 温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？
提示 弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角.
1.度量角的两种单位制 在用弧度制表示角时，单位可以省略
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
周角的为1度的角，记作1°
弧度制
定义
以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1
rad
2.弧度数
(1)正角：正角的弧度数是正数.
(2)负角：负角的弧度数是负数.
(3)零角：零角的弧度数是0.
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
3.角度制与弧度制的换算
牢记180°＝π
rad，
1
rad＝
°
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π__rad
2π
rad＝360°
180°＝π__rad
π
rad＝180°
1°＝__rad≈0.017
45
rad
1
rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×＝度数
4.扇形的弧长和面积公式
如图：(1)则有l＝|α|·r.
若r＝1，则有l＝|α|.
INCLUDEPICTURE"W3.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W3.TIF"
\
MERGEFORMAT
(2)若|α|≤2π，则圆心角为α的扇形的面积为S＝rl.
5.角与实数的关系
在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系.
如图所示：
拓展深化
[微判断]
1.1弧度就是1°的圆心角所对的弧.(×)
提示 1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.
2.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(√)
3.160°化为弧度制是π
rad.(√)
4.扇形的半径为1
cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm).(×)
提示 扇形的弧长公式l＝|α|r，α的单位为弧度.
[微训练]
1.下列命题中的假命题是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的，1
rad的角是周角的
C.1
rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D.
答案 D
2.将2
340°转化为弧度为________.
解析 2
340×＝13π.
答案 13π
3.已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为________.
解析 由S＝|α|r2得＝·α·12，所以α＝.
答案
4.若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限.
解析 2π－5与－5的终边相同，
∵2π－5∈，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.
答案 一
[微思考]
1.对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
提示 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z).
2.角α的弧度数与α所在的圆的半径有关吗？
提示 α的弧度数由角α的大小唯一确立，而与其所在圆的大小(半径)无关.
题型一 角度与弧度的互化及应用
【例1】 将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－800°；(3)；(4)－π.
解 (1)20°＝20·＝；
(2)－800°＝－800·＝－π；
(3)＝·°＝105°；
(4)－π＝－π·°＝－144°.
规律方法 角度制与弧度制互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π
rad，充分利用1°＝
rad和1
rad＝°进行换算.
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α
rad＝α·°；n°＝n·.
【训练1】 (1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度.
解 (1)112°30′＝°＝·＝.
(2)－＝－·°＝－75°.
题型二 用弧度制表示角的集合
【例2】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).
解 (1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为.
(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是
.
规律方法 根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形.
(2)写出区域边界作为终边时角的表示.
(3)用不等式表示区域范围内的角.
(4)按逆时针方向书写.
【训练2】 已知角α＝2
010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.
解 (1)2
010°＝2
010·＝＝5×2π＋，
又π<<，
∴α与终边相同，是第三象限角.
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ<0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π.
题型三 弧长公式与面积公式的应用
【例3】 如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知∠AOB＝60°，的长度为100π
m.怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？
INCLUDEPICTURE"xj64A.TIF"
INCLUDEPICTURE
"xj64A.TIF"
\
MERGEFORMAT
解 如图所示，
∵∠AOB＝60°＝，的长度为100π
m，∴OA＝＝300(m).
根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，
设⊙O1与OA切于C点.连接O1O，O1C.
则∠O1OC＝30°＝，
OO1＝OA－O1C＝300－O1C，
又O1C＝O1O·sin
，
故O1C＝(300－O1C)×，
解得O1C＝100
m.
这时⊙O1的面积为π·1002＝10
000
π(m2).
规律方法 扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法
首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)，其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意：
(1)看清角的度量制，选用相应的公式；
(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.
【训练3】 我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多.某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB＝，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图，其中海域与陆地近似看作在同一平面内).在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里.求海域ABCD的面积.
INCLUDEPICTURE"W4A.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W4A.TIF"
\
MERGEFORMAT
解 ∵∠AOB＝，在海岸线外侧20海里内为海域ABCD，AB＝100，∴AD＝BC＝20，OA＝OB＝AB＝100，
∴OD＝OA＋AD＝100＋20＝120，
∴S海域ABCD＝·π(OD2－OA2)
＝π·(1202－1002)
＝(平方海里).
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养.
2.本节课主要讲述角度制与弧度制的互化和利用弧长公式、面积公式解决有关计算问题.
二、素养训练
1.下列各命题中，真命题是( )
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角
解析 根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.
答案 D
2.将－1
485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A.－－8π
B.π－8π
C.－10π
D.π－10π
解析 －1
485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－10π，选D.
答案 D
3.若α∈(0，π)，且α与角－终边相同，则α＝________.
解析 －＝－2π＋，故α＝.
答案
4.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图是书画家唐寅(1
470—1
523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________cm2.
解析 如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，
INCLUDEPICTURE"W6.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W6.TIF"
\
MERGEFORMAT
由题意可得
解得r＝，
所以S＝SOCD－SOAB＝×64×－×24×＝704
cm2.
答案 704
5.已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.
解 设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r
＝－＋.
∵r>0，l＝a－2r>0，
∴0∴当r＝时，Smax＝.
此时，l＝a－2·＝，
∴α＝＝2.故当扇形的圆心角为2
rad时，扇形的面积最大，最大值为.
基础达标
一、选择题
1.与α＝＋2kπ(k∈Z)终边相同的角是( )
A.345°
B.375°
C.－
D.
解析 因为k＝1，α＝＋2π＝375°，所以选B.
答案 B
2.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为( )
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 设扇形的半径为R，由题意可得＝3，则R＝2，扇形的面积S＝lR＝×6×2＝6.
答案 B
3.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A.sin
2
B.
C.2sin
1
D.tan
1
解析 由图可知，弦长AB＝2，所以半径为，由弧长公式可得lAB＝αr＝，故选B.
INCLUDEPICTURE"xj65.TIF"
INCLUDEPICTURE
"xj65.TIF"
\
MERGEFORMAT
答案 B
4.集合中角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析 k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).故选C.
答案 C
5.如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S2，则＝( )
INCLUDEPICTURE"W7.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W7.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.
B.
C.
D.1
解析 ∵正八边形的内角和为α1＝(8－2)×180°＝6×180°＝1
080°＝6π，
正八边形外侧八个扇形(阴影部分)的内角和为α2＝360°×8－1
080°＝2
880°－1
080°＝1
800°＝10π，
∴＝＝＝.
答案 B
二、填空题
6.把角－690°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________.
解析 法一 －690°＝－690·＝－π.
因为－π＝－4π＋，所以－690°＝－4π＋.
法二 －690°＝－2×360°＋30°，
则－690°＝－4π＋.
答案 －4π＋
7.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________.
INCLUDEPICTURE"xj68.TIF"
INCLUDEPICTURE
"xj68.TIF"
\
MERGEFORMAT
解析 由扇形面积公式S＝lr＝l·＝，知1＝，所以α＝2.
答案 2
8.分别以边长为1的正方形ABCD的顶点B，C为圆心，1为半径作圆弧AC，BD交于点E，则曲边三角形ABE的周长为________.
INCLUDEPICTURE"W8.TIF"
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"W8.TIF"
\
MERGEFORMAT
解析 因为两圆弧半径都是1，正方形边长也是1，所以△BCE为正三角形，圆心角∠EBC，∠ECB都是，弧长BE＝·1＝，∠EBA＝－＝，弧长AE＝·1＝，所以曲边三角形ABE的周长为1＋＋＝1＋.
答案 1＋
三、解答题
9.如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.
解 (1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成.故满足条件的角的集合为
.
(2)将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为.
(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π
rad而得到，所以满足条件的角的集合为.
(4)将第二象限阴影部分旋转π
rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为
.
10.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝10，OB＝x(0m，设圆心角为θ弧度.
INCLUDEPICTURE"W9.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W9.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)求θ关于x的函数解析式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
解 (1)根据题意，可算得＝x·θ(m)，＝10θ(m).
因为BA＋CD＋＋＝30，所以(10－x)＋(10－x)＋xθ＋10θ＝30，
所以θ＝(0(2)根据题意，可知y＝S扇形OAD－S扇形OBC＝θ×102－θx2，
化简得y＝－x2＋5x＋50＝－＋.
所以当x＝(满足条件0综上所述，当x＝
m时铭牌的面积最大，且最大面积为
m2.
能力提升
11.某次帆船比赛LOGO(如图1)的设计方案如下：在Rt△ABO中挖去以点O为圆心，OB为半径的扇形BOC(如图2)，使得扇形BOC的面积是Rt△ABO面积的一半.设∠AOB＝α(rad)，则的值为________.
解析 设BO＝a，AB＝b，则三角形BAO的面积为，扇形BOC的面积为αa2，由题得＝αa2，
故＝2α，因为tan
α＝，所以＝.
答案
12.在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案.
(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
(2)比较两种方案中的扇形面积的大小.
解 (1)由题意，顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，
方案一：可得∠OAD＝，R1＝2，所以扇形的周长为C1＝2R1＋·R1＝2×2＋＝4＋；
方案二：可得∠MON＝，R2＝1，所以扇形的周长为C2＝2R2＋·R2＝2×1＋＝2＋，
所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值|C1－C2|＝＝2－.
(2)由(1)，根据扇形的面积公式可得
方案一：扇形面积为S1＝α1R＝··22＝；
方案二：扇形面积为S2＝α2R＝×·12＝.
∴S1＝S2，即两种方案中的扇形面积相等.
创新猜想
13.(多选题)下列转化结果正确的是( )
A.67°30′化成弧度是
B.－化成角度是－600°
C.－150°化成弧度是－
D.化成角度是15°
解析 对于A，67°30′＝67.5×＝，正确；对于B，－＝－·°＝－600°，正确；对于C，－150°＝
－150·＝－，错误；对于D，＝·°＝15°，正确.
答案 ABD
14.(多空题)《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是________，弧田的面积是________.
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解析 设弧所对的圆心角为α，由题意可得4π＝6·α，α＝π，∠OAB＝，
可得AB＝2OA·cos＝2×6×＝6.弧田的面积为扇形的面积减去△OAB的面积，可得S弧田＝×π·62－×6×6·sin
30°＝12π－9.
答案 6 12π－9
