7.2.2 同角三角函数关系
课标要求
素养要求
1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.
通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
新知探究
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.
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蝴蝶效应
问题 既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？
提示 sin2α＋cos2α＝1，tan
α＝(α≠kπ＋，k∈Z).
1.同角三角函数关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan
α＝.
2.同角三角函数关系的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
(2)tan
α＝的变形公式：sin
α＝cos__αtan__α；cos
α＝.
拓展深化
[微判断]
1.sin2α＋cos2β＝1.(×)
提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
2.sin2＋cos2＝1.(√)
3.对任意的角α，都有tan
α＝成立.(×)
提示 当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立.
4.若sin
α＝，则cos
α＝.(×)
提示 cos
α＝±.
[微训练]
1.下列四个结论中可能成立的是( )
A.sin
α＝且cos
α＝
B.sin
α＝0且cos
α＝－1
C.tan
α＝1且cos
α＝－1
D.α是第二象限角时，tan
α＝－
解析 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin
α＝0且cos
α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立.
答案 B
2.已知cos
α＝，α为第四象限角，则sin
α＝( )
A.
B.－
C.±
D.±
解析 ∵cos
α＝，α为第四象限角，∴sin
α<0，
∴sin
α
＝－＝－＝－，故选B.
答案 B
3.化简＝________.
解析 原式＝＝＝1.
答案 1
4.若α∈且sin
αcos
α＝，则sin
α＋cos
α＝__________________________.
解析 (sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin
α·cos
α＝1＋＝，又∵α∈，sin
α>0，cos
α>0，∴sin
α＋cos
α＝.
答案
[微思考]
1.同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？
提示 平方关系对任意角都成立，商数关系只有当α≠kπ＋(k∈Z)时成立.
2.同角三角函数的基本关系式中，“同角”的含义是什么？
提示 “同角”两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关，如：sin23α＋cos23α＝1；sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1都成立.
3.若已知sin
α±cos
α＝m，你能求出sin
α·cos
α吗？
提示 若sin
α＋cos
α＝m，
则sin2α＋cos2α＋2sin
αcos
α＝m2，
所以sin
α·cos
α＝，
若sin
α－cos
α＝m，则sin2α＋cos2α－2sin
αcos
α＝m2，
∴sin
α·cos
α＝.
题型一 利用同角关系式求值
【例1】 已知tan
α＝，且α是第三象限角，求sin
α，cos
α的值.
解 由tan
α＝＝，得sin
α＝cos
α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos
α＝－，sin
α＝cos
α＝－.
【迁移1】 (变换结论)在例1的条件下，求的值.
解 法一(代入法) ∵tan
α＝，
∴＝，
∴sin
α＝cos
α，
∴原式＝＝＝－.
法二(弦化切) ＝＝＝－.
【迁移2】 (变换结论)在例1的条件下，求2sin2α－sin
αcos
α＋cos2α的值.
解 法一(代入法) 由(迁移1)知sin
α＝cos
α，又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
∵2sin2α－sin
αcos
α＋cos2α＝2×cos2α－cos2α＋cos2α＝cos2α＝×＝.
法二(弦化切) 2sin2α－sin
αcos
α＋cos2α＝
＝＝＝.
规律方法 (1)已知sin
θ(或cos
θ)求tan
θ常用以下方式求解
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
【训练1】 已知cos
α＝－，求sin
α，tan
α的值.
解 ∵cos
α＝－<0，
∴α是第二或第三象限角，
(1)当α是第二象限角时，则
sin
α＝
＝
＝，
tan
α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin
α＝－＝－，tan
α＝.
题型二 sin
α±cos
α型的求值问题
【例2】 已知sin
θ＋cos
θ＝(0<θ<π)，求sin
θcos
θ和sin
θ－cos
θ的值.
解 因为sin
θ＋cos
θ＝(0<θ<π)，
所以(sin
θ＋cos
θ)2＝，
即sin2θ＋2sin
θcos
θ＋cos2θ＝，
所以sin
θcos
θ＝－.
由上知θ为第二象限角，
所以sin
θ－cos
θ>0，所以sin
θ－cos
θ
＝
＝＝.
规律方法 已知sin
α±cos
α，sin
αcos
α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ；
(2)(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ；
(3)(sin
θ＋cos
θ)2＋(sin
θ－cos
θ)2＝2；
(4)(sin
θ－cos
θ)2＝(sin
θ＋cos
θ)2－4sin
θcos
θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin
θ＋cos
θ，sin
θ－cos
θ，sin
θcos
θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
【训练2】 在△ABC中，sin
A＋cos
A＝.
(1)求sin
Acos
A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan
A的值.
解 (1)∵sin
A＋cos
A＝，①
两边平方得1＋2sin
AcosA＝，∴sin
Acos
A＝－.
(2)由sin
Acos
A＝－<0，且0
可知cos
A<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形.
(3)∵(sin
A－cos
A)2＝1－2sin
Acos
A＝1＋＝，
又∵sin
A>0，cos
A<0，∴sin
A－cos
A>0，∴sin
A－cos
A＝.②
由①②可得sin
A＝，cos
A＝－，
∴tan
A＝＝＝－.
题型三 利用同角三角函数关系式化简
【例3】 化简：
(1)－；
(2)；
(3)sin2αtan
α＋＋2sin
αcos
α.
解 (1)－
＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)＝
＝＝1.
(3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin
αcos
α
＝
＝＝.
规律方法 三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
【训练3】 化简：＋(1＋tan2α)cos2α.
解 原式＝＋cos2α
＝＋·cos2α
＝1＋1＝2.
题型四 利用同角三角关系式证明
【例4】 求证：＝.
证明 法一 左边＝
＝＝＝＝右边.
所以等式成立.
法二 右边＝＝
＝
＝＝左边.
所以等式成立.
规律方法 证明三角恒等式的思路
(1)从一边开始证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则；
(2)证明左右两边等于同一个式子；
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1；
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.
【训练4】 求证：＝；
证明 ∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立.
一、素养落地
1.通过对公式的正用、逆用、变形用提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
2.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan
8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.
3.在化简、求值时要掌握“切化弦”和“弦化切”的技巧和“1”的代换的技巧，更要注意符号的选取.
二、素养训练
1.若cos
α＝－，且α是第二象限角，则tan
α的值等于( )
A.
B.－
C.
D.－
解析 由题意可得sin
α＝＝，
∴tan
α＝＝－.
答案 B
2.已知sin
αcos
α＝，且<α<，则cos
α－sin
α的值是( )
A.
B.－
C.
D.－
解析 ∵<α<，∴sin
α>cos
α，cos
α－sin
α<0.
∴cos
α－sin
α＝－
＝－＝－.
答案 B
3.若α为第二象限角，化简tan
α·＝________.
解析 tan
α·＝tan
α·
＝tan
α·(α为第二象限角)
＝·＝－1.
答案 －1
4.若sin
A＝且A是三角形中的一个内角，则＝________.
解析 ∵sin
A＝，A是三角形中的一个内角，
∴cos
A＝或cos
A＝－，
当cos
A＝时，＝＝＝6；
当cos
A＝－时，＝＝＝－.
答案 6或－
5.已知＝2，计算下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－2sin
αcos
α＋1.
解 由＝2，化简，得sin
α＝3cos
α，所以tan
α＝3.
(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
基础达标
一、选择题
1.化简的结果是( )
A.cos
160°
B.±|cos
160°|
C.±cos
160°
D.－cos
160°
解析 ＝＝|cos
160°|
＝－cos
160°.
答案 D
2.已知sin
α－cos
α＝－，则sin
α·cos
α等于( )
A.
B.－
C.－
D.
解析 因为sin
α－cos
α＝－，平方可得1－2sin
αcos
α＝，所以2sin
αcos
α＝－，即sin
αcos
α＝－.
答案 C
3.已知sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α＝( )
A.
B.－
C.
D.－
解析 ∵sin
α＝－，α为第四象限角，∴cos
α＝，
∴tan
α＝＝－.
答案 B
4.已知α是三角形的一个内角，且sin
α＋cos
α＝，那么这个三角形的形状为( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
解析 ∵sin
α＋cos
α＝，∴(sin
α＋cos
α)2＝，即1＋2sin
αcos
α＝，∴sin
α·cos
α＝－<0，∵α是三角形一内角，∴α∈，即三角形为钝角三角形.
答案 B
5.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A.
B.
C.1
D.
解析 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
答案 C
二、填空题
6.化简(1＋tan215°)·cos215°＝________.
解析 (1＋tan215°)cos215°＝·cos215°＝·cos215°＝1.
答案 1
7.已知α∈，tan
α＝2，则cos
α＝________.
解析 ∵tan
α＝2，∴sin
α＝2cos
α，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，又∵α∈，∴cos
α＝－.
答案 －
8.已知cos
α＝－，且tan
α>0，则＝________.
解析 由cos
α<0，tan
α>0知α是第三象限角，且sin
α＝－，故原式＝＝
＝sin
α(1＋sin
α)＝(－)(1－)＝－.
答案 －
三、解答题
9.求证：＝.
证明 法一 ∵左边＝
＝＝
＝
＝＝＝右边.
∴原等式成立.
法二 ∵右边＝＝；
左边＝＝
＝＝.
∴左边＝右边，原等式成立.
10.已知sin
α＋2cos
α＝，
(1)求tan
α的值；
(2)求的值.
解 (1)因为sin
α＋2cos
α＝，所以sin
α＝－2cos
α，
代入sin2α＋cos2α＝1可得5cos2α－4·cos
α＋4＝0，
所以(cos
α－2)2＝0，故cos
α＝，sin
α＝，
所以tan
α＝.
(2)因为＝，
所以将tan
α＝代入，原式＝＝.
能力提升
11.已知sin
θ＋cos
θ＝，则sin
θ－cos
θ等于( )
A.
B.－
C.
D.－
解析 由(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ＝，
得2sin
θcos
θ＝，
则(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ＝，
由0<θ<，知sin
θ－cos
θ<0，
所以sin
θ－cos
θ＝－.
答案 B
12.(1)分别计算cos4－sin4和cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
(2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
(3)证明：?x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x.
(4)推测?x∈R，cos2x－sin2x与cos
2x的关系，不需证明.
(1)解 cos4－sin4
＝
＝cos2－sin2＝－＝＝cos.
(2)解 cos4－sin4
＝
＝cos2－sin2＝－＝0＝cos.
(3)证明 cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x.
(4)解 推测cos2x－sin2x＝cos
2x.
创新猜想
13.(多选题)如果α是第二象限角，下列各式中不成立的是( )
A.tan
α＝－
B.cos
α＝－
C.sin
α＝－
D.tan
α＝
解析 由商数关系可知A，D均不正确.当α为第二象限角时，
cos
α<0，sin
α>0，故B正确，则C不正确.
答案 ACD
14.(多空题)若α是第三象限角且cos
α＝－，则sin
α＝________，tan
α＝________.
解析 ∵α是第三象限角且cos
α＝－，
∴sin
α＝－＝－；∴tan
α＝＝.
答案 － (共41张PPT)
7.2.2 同角三角函数关系
课标要求
素养要求
1.理解同角三角函数的基本关系式.
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.
通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
新知探究
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.
蝴蝶效应
问题 既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？
1.同角三角函数关系
cos2α
2.同角三角函数关系的变形
1－cos2α
1－sin2α
cos
αtan
α
拓展深化
[微判断]
1.sin2α＋cos2β＝1.(
)
提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
×
√
×
×
[微训练]
1.下列四个结论中可能成立的是( )
解析 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin
α＝0且cos
α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立.
答案 B
答案 B
答案 1
[微思考]
1.同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？
2.同角三角函数的基本关系式中，“同角”的含义是什么？
提示 “同角”两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关，如：sin23α＋cos23α＝1；sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1都成立.
3.若已知sin
α±cos
α＝m，你能求出sin
α·cos
α吗？
提示 若sin
α＋cos
α＝m，
则sin2α＋cos2α＋2sin
αcos
α＝m2，
若sin
α－cos
α＝m，则sin2α＋cos2α－2sin
αcos
α＝m2，
题型一 利用同角关系式求值
又sin2α＋cos2α＝1，②
又α是第三象限角，
【迁移2】 (变换结论)在例1的条件下，求2sin2α－sin
αcos
α＋cos2α的值.
规律方法 (1)已知sin
θ(或cos
θ)求tan
θ常用以下方式求解
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
∴α是第二或第三象限角，
(1)当α是第二象限角时，则
(2)当α是第三象限角时，则
由上知θ为第二象限角，
所以sin
θ－cos
θ>0，所以sin
θ－cos
θ
规律方法 已知sin
α±cos
α，sin
αcos
α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ；
(2)(sin
θ－cos
θ)2＝1－2sin
θcos
θ；
(3)(sin
θ＋cos
θ)2＋(sin
θ－cos
θ)2＝2；
(4)(sin
θ－cos
θ)2＝(sin
θ＋cos
θ)2－4sin
θcos
θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin
θ＋cos
θ，sin
θ－cos
θ，sin
θcos
θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
【训练2】 在△ABC中，sin
A＋cos
A＝
.
(1)求sin
Acos
A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan
A的值.
题型三 利用同角三角函数关系式化简
【例3】 化简：
规律方法 三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
题型四 利用同角三角关系式证明
所以等式成立.
所以等式成立.
规律方法 证明三角恒等式的思路
(1)从一边开始证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则；
(2)证明左右两边等于同一个式子；
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1；
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.
∴原等式成立.
一、素养落地
答案 B
答案 B
答案 －1