7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数
第一课时 任意角的三角函数(一)
课标要求
素养要求
1.借助圆理解任意角的三角函数定义.2.能利用求值，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
通过对正弦函数、余弦函数、正切函数定义的理解和三角函数值在各象限内的符号的应用，重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养.
新知探究
如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒.
问题 (1)若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？
(2)如图所示建立直角坐标系，设点P(xP，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)？改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？
提示 (1)30秒时h＝h0＋R·sin
30°＝h0＋R；
45秒时h＝h0＋Rsin
45°，t秒时h＝h0＋Rsin
t°.
(2)能，sin
α＝yP，cos
α＝xP，tan
α＝，改变终边上点的位置，比值不会改变.
1.任意角的三角函数的定义
一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点距离是r，则r＝；此时，点P是角α的终边与半径为r的圆的交点.(如图)
则：(1)比值叫做α的正弦，记作sin__α，即sin
α＝；
INCLUDEPICTURE"W13.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W13.TIF"
\
MERGEFORMAT
(2)比值叫做α的余弦，记作cos__α，即cos
α＝；
(3)比值(x≠0)叫做α的正切，记作tan__α，即tan
α＝(x≠0).
2.三角函数
对于每一个实数α，都有唯一实数sin
α与α对应，故sin
α是α的函数，同理cos
α也是α的函数；当α≠kπ＋(k∈Z)时，tan
α也是α的函数；则sin
α、cos
α、tan
α分别叫做α的正弦函数、余弦函数、正切函数；以上三种函数统称为α的三角函数.
3.三角函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
拓展深化
[微判断]
1.角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.(×)
提示 角的三角函数值与点在终边上的位置无关.
2.若角α终边过点(1，3)，则sin
α＝.(√)
3.终边在x轴上的角的正切值不存在.(×)
提示 终边在y轴上的角的正切值不存在.
4.若sin
α·cos
α>0，则角α为第一象限角.(×)
提示 sin
α·cos
α>0，则sin
α，cos
α同号，则α为第一、三象限角.
5.sin
α>0，则α为第一、二象限角.(×)
提示 α的终边位于第一、二象限或y轴正半轴.
[微训练]
1.若α＝，则cos
α＝________.
解析 cos
α＝.
答案
2.tanπ的符号为________.
解析 π＝4π－，即π是第四象限角，所以tan<0.
答案 负
3.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin
α＋cos
α的值为________.
解析 易知r＝＝5，所以sin
α＝－，cos
α＝，故sin
α＋cos
α＝－.
答案 －
4.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos
α＝，则tan
α＝________.
解析 ∵cos
α＝＝，
∴＝5.∴y2＝16，
∵y<0，∴y＝－4，∴tan
α＝－.
答案 －
[微思考]
1.三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？
提示 三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数.
2.若两个角α，β的正弦值相等，那么α＝β吗？
提示 不一定相等，α，β可能相等，也可能为终边相同的角，还可能终边关于y轴对称.
3.三角函数值在各象限的符号由什么决定？
提示 正弦函数值的符号与y的符号相同；余弦函数值的符号与x的符号相同.正切函数值的符号由确定.
题型一 利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值
【例1】 已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin
α＋cos
α的值.
解 r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限.
sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝－，
所以2sin
α＋cos
α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin
α＝＝－，cos
α＝＝.
所以2sin
α＋cos
α＝－＋＝－1.
规律方法 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin
α＝，cos
α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
【训练1】 已知角α的终边经过点P(5m，12)，且cos
α＝－，则m＝________.
解析 r＝＝，cos
α＝＝－<0，∴解得m＝－1.
答案 －1
题型二 求特殊角的三角函数值
【例2】 利用定义求的正弦、余弦和正切值.
解 如图所示，的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，在Rt△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝，则|PB|＝，|OB|＝，则P.所以sin
＝，cos
＝－，
tan
＝＝－.
INCLUDEPICTURE"xj72.TIF"
INCLUDEPICTURE
"xj72.TIF"
\
MERGEFORMAT
规律方法 在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标.然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值.
【训练2】 对于表中的角α，计算sin
α、cos
α、tan
α的值，并填写下表.
α
0
π
2π
sin
α
0
____
1
____
____
－
－
____
－
____
0
cos
α
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
tan
α
____
____
____
不存在
____
____
0
____
____
不存在
____
____
____
答案 0 －1 － 1 0 － － －1 － － 0 1 0 － － － － 0
题型三 三角函数值在各象限的符号
【例3】 (1)若角θ同时满足sin
θ<0且tan
θ<0，则角θ的终边一定位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①tan
191°－cos
191°；②sin
2·cos
3·tan
4.
(1)解析 由sin
θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合.由tan
θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限.故选D.
答案 D
(2)解 ①因为191°是第三象限角；
所以tan
191°>0，cos
191°<0.
所以tan
191°－cos
191°>0.
②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角.
所以sin
2>0，cos
3<0，tan
4>0.
所以sin
2·cos
3·tan
4<0.
规律方法 三角函数值符号的判断问题：
(1)由三角函数的定义可知sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键.
(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求.
(3)已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上.
【训练3】 判断下列三角函数值的符号：
(1)sin
3，cos
4，tan
5；
(2)sin
α·cos·tan(α为三角形的内角).
解 (1)∵<3<π<4<<5<2π，
∴3，4，5分别在第二、三、四象限，
∴sin
3>0，cos
4<0，tan
5<0.
(2)∵α为三角形的一个内角，∴0<α<π，0<<，
∴sin
α>0，cos>0，tan
>0，
∴sin
α·cos·tan>0.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养.
2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.
3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
二、素养训练
1.若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos
α为( )
A.1
B.－1
C.
D.－
解析 ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝＝，∴cos
α＝＝＝.
答案 C
2.若三角形的两内角α，β满足sin
αcos
β<0，则此三角形必为( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上三种情况都可能
解析 ∵α、β为三角形的内角，所以0<α，β<π，∴sin
α>0，∴cos
β<0，∴β为钝角.
即三角形为钝角三角形.故选B.
答案 B
3.已知角α的终边经过点(3a－7，a＋4)，且sin
α≥0，cos
α<0，则实数a的取值范围是________.
解析 由三角函数的定义可知sin
α≥0?a＋4≥0，cos
α<0?3a－7<0，∴－4≤a<.
答案
4.已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则角α的终边在第________象限.
解析 因为点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则tan
α<0且cos
α<0，故角α的终边在第二象限.
答案 二
5.已知角α的终边在射线y＝x(x>0)上，求角α的正弦、余弦和正切值.
解 设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，
则x2＋y2＝1，又y＝x(x>0)，
解得
于是sin
α＝y＝，cos
α＝x＝，tan
α＝＝.
基础达标
一、选择题
1.已知角α的终边与单位圆交于点，则sin
α的值为( )
A.－
B.－
C.
D.
解析 由定义知r＝1，∴sin
α＝－，故选B.
答案 B
2.若cos
α＝－，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是( )
A.2
B.±2
C.－2
D.－2
解析 因为cos
α＝－<0，所以x<0，
又r＝，由题意得＝－，
所以x＝－2.故选D.
答案 D
3.已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos
α＝－，则m等于( )
A.－
B.
C.－4
D.4
解析 cos
α＝＝－，解得m＝－4(m＝4不合题意，舍去).
答案 C
4.已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域是( )
A.{－3，－1，1，3}
B.{－3，－1}
C.{1，3}
D.{－1，3}
解析 若x为第一象限角，则f(x)＝3；若x为第二、三、四象限角，则f(x)＝－1.所以函数f(x)的值域为{－1，3}.
答案 D
5.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意知α＝，则的终边与单位圆的交点坐标为，故选A.
答案 A
二、填空题
6.已知点M是单位圆上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，则tan
α＝________.
解析 设M(x，y)，∵r＝1，∴sin
α＝y＝－，∴x2＝1－y2＝1－＝，∴x＝±，∴tan
α＝＝±1.
答案 ±1
7.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(12，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－，则y＝________.
解析 |OP|＝.根据任意角三角函数的定义，得＝－，解得y＝－5.
答案 －5
8.已知角A为第三象限角，且＝－sin
，则是第________象限角.
解析 ∵A为第三象限角，∴为第二、四象限角.
又∵＝－sin
，∴sin
<0，
∴为第四象限角.
答案 四
三、解答题
9.判断下列各式的符号：
(1)sin
340°cos
265°；(2)sin
4tan.
解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin
340°<0，cos
265°<0，
∴sin
340°cos
265°>0.
(2)∵π<4<，∴4是第三象限角，∵－＝－6π＋，∴－是第一象限角.
∴sin
4<0，tan>0，∴sin
4tan<0.
10.已知角α的终边上一点P(－，y)，y≠0，且sin
α＝y，求cos
α，tan
α的值.
解 由sin
α＝＝y及y≠0，
得y2＝5，所以y＝±.
当y＝时，cos
α＝＝－，tan
α＝－；当y＝－时，cos
α＝＝－，tan
α＝.
能力提升
11.已知α是第三象限角，且＝－cos
，则所在象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 因为α是第三象限角，
所以2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.
所以kπ＋<
所以在第二、四象限.
又因为＝－cos
，所以
cos
<0.
所以在第二象限.
答案 B
12.若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0).
(1)求sin
θ＋cos
θ的值；
(2)试判断cos
(sin
θ)·sin(cos
θ)的符号.
解 (1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，当a>0时，r＝5a，sin
θ＋cos
θ＝－＝－.当a<0时，r＝－5a，sin
θ＋cos
θ＝－＋＝.
(2)当a>0时，sin
θ＝∈，cos
θ＝－∈，则cos
(sin
θ)·sin(cos
θ)＝cos
·sin<0；
当a<0时，sin
θ＝－∈，cos
θ＝∈，
则cos
(sin
θ)·sin(cos
θ)＝cos
·sin
>0.
综上，当a>0时，cos
(sin
θ)·sin(cos
θ)的符号为负；
当a<0时，cos
(sin
θ)·sin(cos
θ)的符号为正.
创新猜想
13.(多选题)给出的下列函数值中符号为负的是( )
A.sin(－1
000°)
B.cos
C.tan
2
D.sin
5
解析 A为正，∵－1
000°＝－3×360°＋80°，
∴－1
000°是第一象限角，∴sin(－1
000°)>0；
B为负，＝2π＋，∴是第三象限角，
∴cos<0；C为负，∵2
rad≈2×57°18′＝114°36′，是第二象限角，∴tan
2<0；D为负，∵<5<2π，5弧度是第四象限角，∴sin
5<0；故选BCD.
答案 BCD
14.(多空题)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－，则y＝________，tan
θ＝________.
解析 |OP|＝.根据任意角三角函数的定义，得＝－，解得y＝－8，tan
θ＝＝＝－2.
答案 －8 －2(共34张PPT)
7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数
第一课时 任意角的三角函数(一)
课标要求
素养要求
1.借助圆理解任意角的三角函数定义.
2.能利用求值，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
通过对正弦函数、余弦函数、正切函数定义的理解和三角函数值在各象限内的符号的应用，重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养.
新知探究
如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒.
问题 (1)若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？
(2)如图所示建立直角坐标系，设点P(xP，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)？改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？
45秒时h＝h0＋Rsin
45°，t秒时h＝h0＋Rsin
t°.
1.任意角的三角函数的定义
sin
α
2.三角函数
cos
α
tan
α
正弦
余弦
正切
3.三角函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
拓展深化
[微判断]
1.角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.(
)
提示 角的三角函数值与点在终边上的位置无关.
3.终边在x轴上的角的正切值不存在.(
)
提示 终边在y轴上的角的正切值不存在.
4.若sin
α·cos
α>0，则角α为第一象限角.(
)
提示 sin
α·cos
α>0，则sin
α，cos
α同号，则α为第一、三象限角.
5.sin
α>0，则α为第一、二象限角.(
)
提示 α的终边位于第一、二象限或y轴正半轴.
×
√
×
×
×
[微训练]
答案 负
3.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin
α＋cos
α的值为________.
[微思考]
1.三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？
提示 三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数.
2.若两个角α，β的正弦值相等，那么α＝β吗？
提示 不一定相等，α，β可能相等，也可能为终边相同的角，还可能终边关于y轴对称.
3.三角函数值在各象限的符号由什么决定？
题型一 利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值
【例1】 已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin
α＋cos
α的值.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
答案 －1
题型二 求特殊角的三角函数值
规律方法 在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标.然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值.
【训练2】 对于表中的角α，计算sin
α、cos
α、tan
α的值，并填写下表.
题型三 三角函数值在各象限的符号
【例3】 (1)若角θ同时满足sin
θ<0且tan
θ<0，则角θ的终边一定位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①tan
191°－cos
191°；②sin
2·cos
3·tan
4.
(1)解析 由sin
θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合.由tan
θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限.故选D.
答案 D
(2)解 ①因为191°是第三象限角；
所以tan
191°>0，cos
191°<0.
所以tan
191°－cos
191°>0.
②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角.
所以sin
2>0，cos
3<0，tan
4>0.
所以sin
2·cos
3·tan
4<0.
【训练3】 判断下列三角函数值的符号：
(1)sin
3，cos
4，tan
5；
∴3，4，5分别在第二、三、四象限，
∴sin
3>0，cos
4<0，tan
5<0.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养.
2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.
3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
二、素养训练
1.若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos
α为( )
答案 C
2.若三角形的两内角α，β满足sin
αcos
β<0，则此三角形必为( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上三种情况都可能
解析 ∵α、β为三角形的内角，所以0<α，β<π，∴sin
α>0，∴cos
β<0，∴β为钝角.
即三角形为钝角三角形.故选B.
答案 B
3.已知角α的终边经过点(3a－7，a＋4)，且sin
α≥0，cos
α<0，则实数a的取值范围是________.
4.已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则角α的终边在第________象限.
解析 因为点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则tan
α<0且cos
α<0，故角α的终边在第二象限.
答案 二
解 设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，第二课时 任意角的三角函数(二)
课标要求
素养要求
1.会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值.2.理解三角函数线的画法，掌握三角函数值的规律.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
通过三角函数线的作法和三角函数线的应用提升直观想象和数学运算素养.
新知探究
角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢？能否用几何方式来表示三角函数呢？
如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sin
α＝y，cos
α＝x都是正数.
INCLUDEPICTURE"W14.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W14.TIF"
\
MERGEFORMAT
问题 (1)你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？tan
α＝怎样表示？
(2)当α为第二、三、四象限角时，如何用一条线段表示角α的正弦值和余弦值呢？tan
α＝怎样表示呢？
提示 (1)如图，过角α的终边与单位圆的交点P向x轴作垂线，垂足为M，则MP＝y＝sin
α，OM＝x＝cos
α；过点A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边交于点T，根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA、AT，有tan
α＝AT＝.
INCLUDEPICTURE"W15.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W15.TIF"
\
MERGEFORMAT
(2)用类似的方法过点P分别向x轴作垂线及过点A(1，0)作单位圆的切线，则有向线段MP、OM、AT就分别等于sin
α，cos
α，tan
α.
1.有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段；对于有向线段AB，把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，即为AB.
2.三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
记作：sin
α＝MP，cos
α＝OM，tan
α＝AT.
3.三角函数的定义域
三角函数
定义域
sin
α
R
cos
α
R
tan
α
拓展深化
[微判断]
1.正弦线MP也可写成PM.(×)
提示 三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒.
2.三角函数线表示的值都只能是非负值.(×)
提示 三角函数线表示的值也可取负值.
3.当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.(√)
4.当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.(√)
[微训练]
1.角和角有相同的( )
A.正弦值
B.余弦值
C.正切线
D.不能确定
解析 因为角和角的终边互为反向延长线，因此，过点A(1，0)作单位圆的切线，与直线l有且只有一个交点T即两角有相同的正切线.故选C.
答案 C
2.已知的正弦线为MP，正切线为AT，则有( )
A.MP与AT的方向相同
B.MP＝AT
C.MP>0，AT<0
D.MP<0，AT>0
解析 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.MP＝sin>0，AT＝tan<0.
答案 C
3.下列角的正切线不存在的是( )
A.－
B.
C.
D.
解析 因为的终边落在y轴的非负半轴上，故正切线不存在.
答案 B
[微思考]
1.若α为任意角，则sin
α，cos
α的取值范围是多少？
提示 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得－1≤sin
α≤1，－1≤cos
α≤1.
2.设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin
α＋cos
α>1吗？
提示 设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，则sin
α＝MP，cos
α＝OM，OP＝1，在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OM>OP，即sin
α＋cos
α>1.
3.你能根据三角函数线判断正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的单调性吗？能判断正切函数在区间上的单调性吗？
提示 正弦函数在和上为增函数；在上为减函数；
余弦函数在[π，2π]上为增函数；在[0，π]上为减函数；正切函数在区间上为增函数.
题型一 作三角函数线
【例1】 作出－的正弦线、余弦线和正切线.
解 如图所示，
sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT.
INCLUDEPICTURE"W17.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W17.TIF"
\
MERGEFORMAT
规律方法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.
(2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
【训练1】 如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
INCLUDEPICTURE"W18.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W18.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.正弦线为PM，正切线为A′T′
B.正弦线为MP，正切线为A′T′
C.正弦线为MP，正切线为AT
D.正弦线为PM，正切线为AT
答案 C
题型二 利用三角函数线比较大小
【例2】 利用三角函数线比较：sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小.
解 如图，sin＝MP，
cos＝OM，tan＝AT，
sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
显然|MP|>|M′P′|，符号皆正，∴sin>sin；
|OM|<|OM′|，符号皆负，∴cos>cos；
|AT|>|AT′|，符号皆负，∴tanINCLUDEPICTURE"W19.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W19.TIF"
\
MERGEFORMAT
规律方法 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：
(1)角的位置要“对号入座”.
(2)比较三角函数线的长度.
(3)确定有向线段的正负.
【训练2】 依据三角函数线作出如下四个判断：
①sin＝sin；②cos＝cos；③tan>tan；④sin>sin.
其中判断正确的有________.
解析 分别作出各角的三角函数线(图略)，可知sin＝－sin，cos＝cos，tansin，所以②④正确.
答案 ②④
题型三 利用三角函数线解不等式(组)
【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.
(1)sin
α≥；(2)cos
α≤－.
解 (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.
故满足要求的角α的集合为
.
(2)
作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为
.
规律方法 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sin
x≥m或sin
x≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用.
【训练3】 已知点P(sin
α－cos
α，tan
α)在第一象限，在[0，2π)内，求α的取值范围.
解 由题意知
如图，由三角函数线可得
∴<α<或π<α<π.
INCLUDEPICTURE"W21.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W21.TIF"
\
MERGEFORMAT
一、素养落地
1.通过利用三角函数线解决问题，重点提升直观想象和数学运算素养；
2.不论角的终边落在第几象限，sin
α＝MP，cos
α＝OM，tan
α＝AT.
二、素养训练
1.若角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( )
A.
B.
C.
D.或
解析 由角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，得α的终边在第二、四象限的角平分线上.
又0<α<2π，∴α＝或.
答案 D
2.使sin
x≤cos
x成立的x的一个变化区间是( )
A.
B.
C.
D.[0，π]
解析 当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足sin
x≤cos
x.
答案 A
3.若角α的余弦线长度为，且方向与x轴负方向相同，则cos
α＝________.
解析 因为α的余弦线方向与x轴负方向相同，所以cos
α<0，所以cos
α＝－.
答案 －
4.已知α∈，在单位圆中角α的正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT，则它们的模从大到小的顺序为________.
解析 由图可知，
当α∈时，
cos
αα<1，tan
α>1，即AT>MP>OM，
故当α∈时，AT>MP>OM.
INCLUDEPICTURE"W24.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W24.TIF"
\
MERGEFORMAT
答案 AT>MP>OM
5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并利用它们求出各角的正弦、余弦和正切.
(1)－；(2)－.
解 如图所示，正弦线、余弦线和正切线分别为MP，OM，AT.
(1)sin＝－，cos＝－，tan＝.
(2)sin＝－，cos＝，tan＝－.
基础达标
一、选择题
1.若MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则( )
A.MPB.OM>0>MP
C.OMD.MP>0>OM
解析 在单位圆中画出角的正弦线MP和余弦线OM，
如图所示，则OMINCLUDEPICTURE"W26.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W26.TIF"
\
MERGEFORMAT
答案 C
2.已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A.在x轴上
B.在直线y＝x上
C.在y轴上
D.在直线y＝x或y＝－x上
解析 由题意可知cos
α＝±1，因此，角α的终边在x轴上，故选A.
答案 A
3.函数y＝tan的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵x－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z.
答案 C
4.sin
4，cos
4，tan
4的大小关系是( )
A.sin
444
B.tan
444
C.cos
444
D.sin
444
解析 作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如图所示，则MP＝sin
α，OM＝cos
α，AT＝tan
α，其中虚线表示的是角的终边，∵4>，则MP444.故选D.
INCLUDEPICTURE"W27.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W27.TIF"
\
MERGEFORMAT
答案 D
5.使不等式－2sin
x≥0成立的x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意知sin
x≤，利用单位圆解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，故选C.
答案 C
二、填空题
6.在[－π，π]上，满足sin
x≤的x的取值范围是________.
解析 如图所示，因为sin＝sin＝，
所以满足sin
x≤的x的取值范围为∪.
INCLUDEPICTURE"W28.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W28.TIF"
\
MERGEFORMAT
答案 ∪
7.不等式tan
α＋>0的解集是________.
解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴.
答案
8.把sin，sinπ，cosπ，tanπ由小到大排列为________.
解析 如图可知，sin＝M1P1>0，sinπ＝M2P2>0，tanπ＝AT>0，
cosπ＝OM3<0.而0∴0∴cosπINCLUDEPICTURE"W30.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W30.TIF"
\
MERGEFORMAT
答案 cosπ三、解答题
9.设α是第一象限角，作α的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式.
(1)sin2α＋cos2α＝1；(2)tan
α＝.
如果α是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？
证明 如图，
α是第一象限角，其正弦线、余弦线、正切线分别是MP，OM，AT.
(1)在Rt△PMO中，MP2＋OM2＝1，即sin2α＋cos2α＝1.
(2)△PMO∽△TAO，∴＝，即tan
α＝.
若α是第二、三、四象限角，以上等式仍成立.
10.已知－≤cos
θ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围.
解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即
.
能力提升
11.如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A.cos
ααα
B.tan
ααα
C.sin
ααα
D.cos
ααα
解析 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OMααα.
答案 A
12.当α∈时，求证：sin
α<αα.
证明 如图所示，在直角坐标系中作出单位图，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin
α，AT＝tan
α.因为S△AOP＝OA·MP＝sin
α，
INCLUDEPICTURE"W34.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W34.TIF"
\
MERGEFORMAT
S扇形AOP＝αOA2＝α，S△AOT＝OA·AT＝tan
α，
又S△AOP所以sin
α<αα，即sin
α<αα.
创新猜想
13.(多选题)下列说法正确的是( )
A.当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点
B.当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在
C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D.余弦线和正切线的始点都是原点
解析 根据三角函数线的概念，A，B，C都是正确的，只有D不正确；因为余弦线的始点在原点，而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上.故选ABC.
答案 ABC
14.(多空题)根据三角函数线写出正弦函数在[0，π]上的值域为________；递减区间为________.
解析 利用三角函数线可以得到正弦函数在[0，π]上的值域为[0，1]，在[0，π]上递减区间为.
答案 [0，1] (共33张PPT)
第二课时 任意角的三角函数(二)
课标要求
素养要求
1.会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值.
2.理解三角函数线的画法，掌握三角函数值的规律.
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
通过三角函数线的作法和三角函数线的应用提升直观想象和数学运算素养.
新知探究
角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢？能否用几何方式来表示三角函数呢？
如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sin
α＝y，cos
α＝x都是正数.
(2)用类似的方法过点P分别向x轴作垂线及过点A(1，0)作单位圆的切线，则有向线段MP、OM、AT就分别等于sin
α，cos
α，tan
α.
1.有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为__________；对于有向线段AB，把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的______，即为AB.
有向线段
数量
2.三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段______、______、______分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
记作：sin
α＝______，cos
α＝______，tan
α＝______.
MP
OM
AT
MP
OM
AT
3.三角函数的定义域
拓展深化
[微判断]
1.正弦线MP也可写成PM.(
)
提示 三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒.
2.三角函数线表示的值都只能是非负值.(
)
提示 三角函数线表示的值也可取负值.
3.当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.(
)
4.当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.(
)
×
×
√
√
[微训练]
A.正弦值
B.余弦值
C.正切线
D.不能确定
答案 C
A.MP与AT的方向相同
B.MP＝AT
C.MP>0，AT<0
D.MP<0，AT>0
答案 C
3.下列角的正切线不存在的是( )
答案 B
[微思考]
1.若α为任意角，则sin
α，cos
α的取值范围是多少？
提示 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得－1≤sin
α≤1，－1≤cos
α≤1.
2.设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin
α＋cos
α>1吗？
提示 设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，则sin
α＝MP，cos
α＝OM，OP＝1，在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OM>OP，即sin
α＋cos
α>1.
题型一 作三角函数线
解 如图所示，
规律方法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.
(2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
【训练1】 如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A.正弦线为PM，正切线为A′T′
B.正弦线为MP，正切线为A′T′
C.正弦线为MP，正切线为AT
D.正弦线为PM，正切线为AT
答案 C
题型二 利用三角函数线比较大小
规律方法 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：
(1)角的位置要“对号入座”.
(2)比较三角函数线的长度.
(3)确定有向线段的正负.
【训练2】 依据三角函数线作出如下四个判断：
其中判断正确的有________.
答案 ②④
题型三 利用三角函数线解不等式(组)
【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.
规律方法 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sin
x≥m或sin
x≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用.
【训练3】 已知点P(sin
α－cos
α，tan
α)在第一象限，在[0，2π)内，求α的取值范围.
一、素养落地
1.通过利用三角函数线解决问题，重点提升直观想象和数学运算素养；
2.不论角的终边落在第几象限，sin
α＝MP，cos
α＝OM，tan
α＝AT.
二、素养训练
1.若角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( )
答案 D
2.使sin
x≤cos
x成立的x的一个变化区间是( )
解析 当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足sin
x≤cos
x.
答案 A
解析 由图可知，
答案 AT>MP>OM
5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并利用它们求出各角的正弦、余弦和正切.
解 如图所示，正弦线、余弦线和正切线分别为MP，OM，AT.