7.2.3 三角函数的诱导公式
第一课时 诱导公式一、二、三、四
课标要求
素养要求
1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
新知探究
南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
问题 (1)你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？
(2)根据上述的对称性，sin(π＋α)、sin(π－α)、sin(－α)与sin
α有什么关系呢？
提示 (1)π＋α的终边与α的终边关于原点对称；π－α的终边与α的终边关于y轴对称；－α的终边与α的终边关于x轴对称.
(2)根据对称性可知sin(π＋α)＝－sin
α；sin(π－α)＝sin
α；sin(－α)＝－sin
α.
1.诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数值相等.
sin(α＋2kπ)＝sin__α(k∈Z)，
cos(α＋2kπ)＝cos
α(k∈Z)，
tan(α＋2kπ)＝tan
α(k∈Z).
2.诱导公式二
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式
sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan__α
3.诱导公式三
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于y轴对称
公式
sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α
4.诱导公式四
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式
sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α
拓展深化
[微判断]
1.诱导公式中角α是任意角.(×)
提示 正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
2.sin(α－π)＝sin
α.(×)
提示 sin(α－π)＝sin[－(π－α)]
＝－sin(π－α)＝－sin
α.
3.cosπ＝－.(√)
4.sin(180°－200°)＝－sin
200°.(×)
提示 sin(180°－200°)＝sin
200°.
5.若α，β满足α＋β＝π，则sin
α＝sin
β.(√)
[微训练]
1.下列式子中正确的是( )
A.sin(π－α)＝－sin
α
B.cos(π＋α)＝cos
α
C.cos
α＝sin
α
D.sin(2π＋α)＝sin
α
解析 对于A，sin(π－α)＝sin
α，故A错误；对于B，cos(π＋α)＝－cos
α，故B错误；对于C，sin
α不一定等于cos
α，故C错误.
答案 D
2.化简cos(3π－α)＝( )
A.cos
α
B.－cos
α
C.sin
α
D.－sin
α
解析 cos
(3π－α)＝cos
[2π＋(π－α)]＝cos
(π－α)＝－cos
α.
答案 B
3.计算：sin
210°＝( )
A.
B.－
C.
D.－
解析 sin
210°＝sin(180°＋30°)＝－sin
30°＝－，故选D.
答案 D
4.将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上.
(1)sin
(1＋π)＝________.
(2)cos
210°＝________.
(3)tan
＝________.
解析 (1)sin(1＋π)＝－sin
1.
(2)cos
210°＝cos
(180°＋30°)＝－cos
30°.
(3)tan
＝tan
＝tan
＝tan
＝－tan
.
答案 (1)－sin
1 (2)－cos
30° (3)－tan
[微思考]
1.由公式二、三你能推导公式四吗？
提示 由公式二、三能推导公式四.如：
sin(π＋α)＝sin[π－(－α)]＝sin(－α)＝－sin
α.
2.公式一、二、三、四有什么共同点吗？有什么统一记忆方法吗？
提示 公式一、二、三、四的函数名称均没有改变.
简记为：“函数名不变、符号看象限”.
题型一 利用诱导公式求三角函数值
【例1】 (1)sin
750°＝________；cos(－2
040°)＝________；
(2)计算：sin(－)－cos(－)＝________.
解析 (1)sin
750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin
30°＝；
cos(－2
040°)＝cos
2
040°＝cos(5×360°＋240°)
＝cos
240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos
60°＝－.
(2)原式＝－sin－cos＝－sin(4π＋π＋)－cos(2π＋π＋)＝sin＋cos＝＋＝1.
答案 (1) － (2)1
规律方法 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
【训练1】 求下列各三角函数式的值：
(1)sin
1
320°；(2)cos；(3)tan(－945°).
解 (1)法一 sin
1
320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin
240°＝sin(180°＋60°)＝－sin
60°＝－.
法二 sin
1
320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－.
(2)法一 cos＝cos＝cos
＝cos(π＋)＝－cos＝－.
法二 cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan
945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan
225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan
45°＝－1.
题型二 利用诱导公式化简求值问题
【例2】 化简下列各式：
(1)；
(2).
解 (1)原式＝
＝＝－＝－tan
α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
规律方法 三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
【训练2】 化简下列各式：
(1)；
(2)sin(π＋α)cos(－α)＋sin(2π－α)cos(π－α)＋sin
αcos(π＋α)tan(－π－α).
解 (1)原式＝＝·＝1.
(2)原式＝－sin
α·cos
α＋sin(－α)(－cos
α)＋
sin
α(－cos
α)(－tan
α)
＝－sin
α·cos
α＋sin
α·cos
α＋sin
α·cos
α·tan
α
＝sin
α·cos
α·＝sin2α.
题型三 给值(或式)求值问题
【例3】 已知cos(－α)＝，求cos(＋α)－sin2(α－)的值.
解 因为cos(＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－，
sin2(α－)＝sin2[－(－α)]＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝1－()2＝，
所以cos(＋α)－sin2(α－)＝－－＝－.
【迁移1】 (变换条件)将例3题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？
解 由题意知cos(＋α)＝，求cos(－α)＋sin2(α＋)的值.
因为cos(－α)＝cos[π－(＋α)]
＝－cos(＋α)＝－，
sin2(α＋)＝1－cos2(＋α)＝1－()2＝，
所以，cos(－α)＋sin2(α＋)＝－＋＝.
【迁移2】 (变换结论)例3题中的条件不变，求cos(－α)－sin2(α－)的值.
解 cos(－α)－sin2(α－)
＝cos[π＋(－α)]－sin2[(α－)－2π]
＝－cos(－α)－sin2(－α)＝－－＝－.
规律方法 解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
【训练3】 已知＝3＋2，
求的值.
解 由＝3＋2，
得＝3＋2，
∴tan
θ＝.
原式＝
＝1＋tan
θ＋2tan2θ＝1＋＋2×＝2＋.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升逻辑推理、数学运算素养.
2.利用诱导公式化简(计算)的步骤：
负化正―→大化小―→化成锐角再查表
3.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便.
二、素养训练
1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为( )
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"B84.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.－
B.－
C.
D.
解析 由已知得cos
θ＝－，∴cos(π－θ)＝－cos
θ＝.
答案 C
2.cos
＝，则cos
＝( )
A.
B.－
C.
D.－
解析 cos
＝cos
[π－]
＝－cos
＝－，故选B.
答案 B
3.已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为________.
解析 tan
600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)
＝tan
60°＝＝－，即a＝－.
答案 －
4.函数f(x)＝x＋sin(π＋x)cos(π－x)是________函数(填“奇”“偶”).
解析 ∵f(x)＝x＋sin(π＋x)cos(π－x)
＝x＋(－sin
x)·(－cos
x)
＝x＋sin
x·cos
x，
∴f(－x)＝－x＋sin(－x)cos(－x)＝－x－sin
x·cos
x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
答案 奇
5.已知＝3，求tan
(5π－α)的值.
解 ∵
＝
＝＝3.∴sin
α＝－.
∴当α为第三象限角时，cos
α＝－，tan
α＝，
当α为第四象限角时，cos
α＝，tan
α＝－.
又tan
(5π－α)＝tan
(π－α)＝－tan
α＝±.
基础达标
一、选择题
1.tan
300°＋sin
450°的值是( )
A.－1＋
B.1＋
C.－1－
D.1－
解析 原式＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝tan(－60°)＋sin
90°＝－tan
60°＋1＝－＋1.
答案 D
2.已知sin(π－α)＝，则sin(α－2
021π)的值为( )
A.
B.
C.
D.－
解析 由sin(π－α)＝sin
α得sin
α＝，
所以sin(α－2
021π)＝sin[(α－π)－2
020π]＝sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin
α＝－.
答案 D
3.若sin(－110°)＝a，则tan
70°＝( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵sin(－110°)＝－sin
110°＝－sin(180°－70°)
＝－sin
70°＝a，∴sin
70°＝－a，
∴cos
70°＝＝，
∴tan
70°＝＝.
答案 B
4.已知tan＝，则tan＝( )
A.
B.－
C.
D.－
解析 因为tan＝tan
＝－tan，所以tan＝－.
答案 B
5.已知角α的终边与单位圆的交点为P，则cos(π＋α)＋sin(－α)＝( )
A.－
B.
C.－
D.
解析 因为角α的终边与单位圆的交点为P，所以cos
α＝－，sin
α＝，则cos(π＋α)＋sin(－α)＝－cos
α－sin
α＝－.故选A.
答案 A
二、填空题
6.若P(－4，3)是角α终边上一点，则的值为________.
解析 由题意知sin
α＝，原式＝＝－＝－＝－.
答案 －
7.的值是________________.
解析 原式＝
＝
＝
＝＝＝－2.
答案 －2
8.若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－2π)＝________.
解析 由cos(π＋α)＝－，得cos
α＝，
故sin(α－2π)＝sin
α＝－＝－
＝－(α为第四象限角).
答案 －
三、解答题
9.化简下列各式：
(1)sincos
π；
(2)sin(－960°)cos
1
470°－cos(－240°)sin(－210°).
解 (1)sincos
π
＝－sincos＝sin
cos
＝.
(2)sin(－960°)cos
1
470°－cos(－240°)sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)
＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin
60°cos
30°＋cos
60°sin
30°＝1.
10.已知cos(π＋α)＝－，且α是第四象限角，计算：
(n∈Z).
解 (1)由cos(π＋α)＝－可得cos
α＝，而sin(2π－α)＝－sin
α，因为α是第四象限角，所以sin
α＝－，故sin(2π－α)＝.
(2)
＝＝－，
而cos
α＝，所以＝－4.
能力提升
11.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2
019)的值为( )
A.－1
B.1
C.3
D.－3
解析 ∵f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，
f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin
α＋bcos
β＝3，
∴f(2
019)＝asin(2
019π＋α)＋bcos(2
019π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin
α－bcos
β＝－f(4)＝－3.故选D.
答案 D
12.已知f(x)＝(n∈Z).
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f.
解 (1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝＝＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)知f＝sin2＝sin2＝sin2＝sin2＝sin2＝.
创新猜想
13.(多选题)已知f(x)＝sin
x，下列式子中不成立的是( )
A.f(x＋π)＝sin
x
B.f(2π－x)＝sin
x
C.f(－x)＝－sin
x
D.f(π－x)＝－f(x)
解析 f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sin
x，f(2π－x)＝sin(2π－x)＝－sin
x，f(－x)＝sin(－x)＝－sin
x，f(π－x)＝sin(π－x)＝sin
x＝f(x).故A，B，D不成立.
答案 ABD
14.(多空题)已知f(x)＝|sin(3π＋x)|＋4cos
2，则
f(x)为________函数(填“奇”、“偶”)；f＝________.
解析 f(x)＝|sin(3π＋x)|＋4cos
2
＝|sin
x|＋4cos(2x＋π)
＝|sin
x|－4cos
2x，
∴f(x)为偶函数.
f＝－4cos＝－4cos＝.
答案 偶 (共38张PPT)
7.2.3 三角函数的诱导公式
第一课时 诱导公式一、二、三、四
课标要求
素养要求
1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
新知探究
南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
问题 (1)你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，
－α有什么样的对称关系？
(2)根据上述的对称性，sin(π＋α)、sin(π－α)、sin(－α)与sin
α有什么关系呢？
提示 (1)π＋α的终边与α的终边关于原点对称；π－α的终边与α的终边关于y轴对称；－α的终边与α的终边关于x轴对称.
(2)根据对称性可知sin(π＋α)＝－sin
α；sin(π－α)＝sin
α；sin(－α)＝－sin
α.
1.诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数值相等.
sin(α＋2kπ)＝______
(k∈Z)，
cos(α＋2kπ)＝cos
α(k∈Z)，
tan(α＋2kπ)＝tan
α(k∈Z).
sin
α
2.诱导公式二
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于______对称
公式
sin(－α)＝_________，cos(－α)＝______________，tan(－α)＝________________
x轴
－sin
α
cos
α
－tan
α
3.诱导公式三
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于______
对称
公式
sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝_________，tan(π－α)＝________
y轴
sin
α
－cos
α
－tan
α
4.诱导公式四
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关于______
对称
公式
sin(π＋α)＝_______，cos(π＋α)＝_________，tan(π＋α)＝_______
原点
－sin
α
－cos
α
tan
α
拓展深化
[微判断]
1.诱导公式中角α是任意角.(
)
提示 正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
2.sin(α－π)＝sin
α.(
)
提示 sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin
α.
×
×
√
4.sin(180°－200°)＝－sin
200°.(
)
提示 sin(180°－200°)＝sin
200°.
5.若α，β满足α＋β＝π，则sin
α＝sin
β.(
)
×
√
[微训练]
1.下列式子中正确的是( )
A.sin(π－α)＝－sin
α
B.cos(π＋α)＝cos
α
C.cos
α＝sin
α
D.sin(2π＋α)＝sin
α
解析 对于A，sin(π－α)＝sin
α，故A错误；对于B，cos(π＋α)＝－cos
α，故B错误；对于C，sin
α不一定等于cos
α，故C错误.
答案 D
2.化简cos(3π－α)＝( )
A.cos
α
B.－cos
α
C.sin
α
D.－sin
α
解析 cos
(3π－α)＝cos
[2π＋(π－α)]＝cos
(π－α)＝－cos
α.
答案 B
3.计算：sin
210°＝( )
答案 D
4.将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上.
(1)sin
(1＋π)＝________.
(2)cos
210°＝________.
解析 (1)sin(1＋π)＝－sin
1.
(2)cos
210°＝cos
(180°＋30°)＝－cos
30°.
[微思考]
1.由公式二、三你能推导公式四吗？
提示 由公式二、三能推导公式四.如：
sin(π＋α)＝sin[π－(－α)]＝sin(－α)＝－sin
α.
2.公式一、二、三、四有什么共同点吗？有什么统一记忆方法吗？
提示 公式一、二、三、四的函数名称均没有改变.
简记为：“函数名不变、符号看象限”.
题型一 利用诱导公式求三角函数值
【例1】 (1)sin
750°＝________；cos(－2
040°)＝________；
规律方法 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
解 (1)法一 sin
1
320°＝sin(3×360°＋240°)
法二 sin
1
320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
(3)tan(－945°)＝－tan
945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan
225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan
45°＝－1.
题型二 利用诱导公式化简求值问题
【例2】 化简下列各式：
规律方法 三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
【训练2】 化简下列各式：
(2)原式＝－sin
α·cos
α＋sin(－α)(－cos
α)＋
sin
α(－cos
α)(－tan
α)
＝－sin
α·cos
α＋sin
α·cos
α＋sin
α·cos
α·tan
α
题型三 给值(或式)求值问题
【迁移1】 (变换条件)将例3题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？
规律方法 解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升逻辑推理、数学运算素养.
2.利用诱导公式化简(计算)的步骤：
负化正―→大化小―→化成锐角再查表
3.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便.
答案 C
答案 B
3.已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为________.
4.函数f(x)＝x＋sin(π＋x)cos(π－x)是________函数(填“奇”“偶”).
解析 ∵f(x)＝x＋sin(π＋x)cos(π－x)
＝x＋(－sin
x)·(－cos
x)
＝x＋sin
x·cos
x，
∴f(－x)＝－x＋sin(－x)cos(－x)＝－x－sin
x·cos
x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
答案 奇(共32张PPT)
第二课时 诱导公式五、六
课标要求
素养要求
1.在诱导公式一～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导.
2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
通过诱导公式的推导及应用，逐步培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
新知探究
同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝.
问题 (1)六组诱导公式左边的角能统一写成什么形式？
(2)你能举例说明“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？
诱导公式五、六
函数名改变，符号看象限
cos
α
sin
α
cos
α
sin
α
拓展深化
[微判断]
×
×
3.若cos
10°＝a，则sin
100°＝a.(
)
√
√
[微训练]
1.已知sin
25.3°＝a，则cos
64.7°＝________.
解析 cos
64.7°＝cos
(90°－25.3°)＝sin
25.3°＝a.
答案 a
3.cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°＝________.
答案 44.5
[微思考]
题型一 利用诱导公式求值
∴原等式成立.
规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.
∴左边＝右边，故原等式成立.
题型三 诱导公式的综合应用
一、素养落地
二、素养训练
答案 B
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 B第二课时 诱导公式五、六
课标要求
素养要求
1.在诱导公式一～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
通过诱导公式的推导及应用，逐步培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
新知探究
同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝.
问题 (1)六组诱导公式左边的角能统一写成什么形式？
(2)你能举例说明“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？
提示 (1)六组诱导公式均可以写成±α(k∈Z)的形式.
(2)cos
(π＋α)＝cos
＝－cos
α，k＝2时函数名称不变、符号把α看作锐角时，π＋α为第三象限角，第三象限角的余弦为负.故得到cos
(π＋α)＝－cos
α.
诱导公式五、六 函数名改变，符号看象限
拓展深化
[微判断]
1.cos
＝cos
α.(×)
提示 cos
＝cos
＝sin
α.
2.sin＝－cos
α.(×)
提示 sin＝cos
α.
3.若cos
10°＝a，则sin
100°＝a.(√)
4.若α为第二象限角，则sin＝－cos
α.(√)
[微训练]
1.已知sin
25.3°＝a，则cos
64.7°＝________.
解析 cos
64.7°＝cos
(90°－25.3°)＝sin
25.3°＝a.
答案 a
2.已知sin＝，那么cos
α＝________.
解析 sin＝sin＝cos
α＝.
答案
3.cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°＝________.
解析 cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°＝
cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋sin21°
＝1＋1＋…＋1,＋cos245°＝44.5.
44个
答案 44.5
[微思考]
1.你能推导出tan、tan与tan
α之间的关系吗？
提示 tan＝＝＝－，
tan＝tan＝－＝.
2.你能推导出sin、cos
α与sin
α、cos
α之间的关系吗？
提示 sin＝sin＝－sin＝－cos
α，
sin＝sin＝－cos(－α)＝－cos
α，
cos＝cos＝－cos＝sin
α，
cos＝cos＝sin(－α)＝－sin
α.
题型一 利用诱导公式求值
【例1】 已知cos＝，≤α≤，求sin的值.
解 ∵α＋＝＋，
∴sin＝sin＝cos＝.
规律方法 求值问题中角的转化方法
【训练1】 已知cos＝，求下列各式的值：
(1)sin；(2)sin.
解 (1)sin＝sin
＝cos＝.
(2)sin＝sin
＝－sin＝－cos＝－.
题型二 利用诱导公式证明恒等式
【例2】 求证：
＝－tan
α.
证明 左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan
α＝右边.
∴原等式成立.
规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.
【训练2】 求证：＝.
证明 左边＝
＝
＝＝
＝＝.
右边＝＝.
∴左边＝右边，故原等式成立.
题型三 诱导公式的综合应用
【例3】 已知cos
α＝－，且α为第三象限角.
(1)求sin
α的值；
(2)求f(α)＝的值.
解 (1)因为α为第三象限角，所以sin
α＝－＝－.
(2)f(α)＝＝tan
α·sin
α
＝·sin
α＝＝×＝－.
【迁移】 (变换结论)本例条件不变，求f(α)
＝的值.
解 f(α)＝＝sin
α＝－.
规律方法 用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名.
【训练3】 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α为第三象限角，且cos＝，求f(α)的值.
解 (1)f(α)＝＝＝－cos
α，即f(α)＝－cos
α.
(2)cos＝－sin
α＝，故sin
α＝－，因为α为第三象限角，
故f(α)＝－cos
α＝＝＝，
即f(α)＝.
一、素养落地
1.本节课重点提升逻辑推理、数学运算、数学抽象核心素养.
2.诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.即“奇变偶不变，符号看象限”.
3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.
二、素养训练
1.已知sin
θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A.
B.－
C.－
D.
解析 cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin
θ＝－.
答案 B
2.若sin>0，cos>0，则角θ的终边位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵sin＝－cos
θ>0，
∴cos
θ<0.
cos＝sin
θ>0，θ为第二象限角.
答案 B
3.已知cos
α＝，则sin·costan(π－α)＝________.
解析 sincostan(π－α)
＝－cos
αsin
α(－tan
α)＝sin2α＝1－cos2α＝1－＝.
答案
4.已知sin＝，则sin＋sin2＝________.
解析 sin＋sin2
＝sin＋sin2
＝sin＋cos2
＝＋1－＝＋＝.
答案
5.化简：.
解 原式＝
＝＝－sin
θ.
基础达标
一、选择题
1.已知sin
25.3°＝a，则cos
115.3°＝( )
A.a
B.－a
C.a2
D.
解析 cos
115.3°＝cos(90°＋25.3°)＝－sin
25.3°＝－a.
答案 B
2.已知sin(π＋α)＝，则cos的值为( )
A.
B.－
C.
D.－
解析 由sin(π＋α)＝得sin
α＝－，所以cos＝cos＝－sin
α＝，故选A.
答案 A
3.已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A.
B.
C.－
D.－
解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(α＋75°)－90°]＋cos[180°－(α＋75°)]＝－2cos(α＋75°)＝－2×＝－.故选D.
答案 D
4.如果角θ的终边经过点，那么sin＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)等于( )
A.－
B.
C.
D.－
解析 易知sin
θ＝，cos
θ＝－，tan
θ＝－.
原式＝cos
θ－cos
θ－tan
θ＝.
答案 B
5.对于集合{x1，x2，…，xn},
定义：Ω＝为集合{x1，x2，…，xn}相对于x0的“余弦方差”，则集合相对于x0的“余弦方差”为( )
A.
B.
C.
D.
解析 根据定义，集合相对于x0的“余弦方差”为：
Ω＝，
注意到－＝－－x0，
－＝－－x0，∵cos＝sin
α，
∴cos2＝sin2，
cos2＝sin2
∴cos2＋cos2＝1，
cos2＋cos2＝1，∴Ω＝＝.故选A.
答案 A
二、填空题
6.若cos
α＝，且α是第四象限角，则tan(α＋)＝________.
解析 由题意得sin
α＝－＝－，
所以tan(α＋)＝tan＝＝－＝－＝.
答案
7.化简：＝________.
解析 原式＝
＝＝－1.
答案 －1
8.已知tan(3π＋α)＝2，则
＝________.
解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan
α＝2，
∴原式＝
＝＝＝＝2.
答案 2
三、解答题
9.已知角α的终边在第三象限，与单位圆的交点为A.
(1)求y0的值；
(2)求tan(α－3π)·sin2＋2cos·cos(π－α)的值.
解 (1)由题意，角α的终边在第三象限，与单位圆的交点为A，则OA＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))\s\up12(2)＋y)＝1，解得y0＝－.
(2)由(1)可知sin
α＝－，cos
α＝－，tan
α＝2，则tan(α－3π)·sin2＋2cos·cos(π－α)＝tan
α·cos2α＋2sin
α·cos
α＝sin
α·cos
α＋2sin
α·cos
α＝3sin
α·cos
α＝.
10.已知sin
α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求
的值.
解 因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，
所以sin
α＝－，又因为α为第三象限角，
所以cos
α＝－＝－.所以tan
α＝.
故原式＝
＝tan
α＝.
能力提升
11.已知cos＝2sin，
则＝________.
解析 因为cos＝2sin，
所以sin
α＝2cos
α.
原式＝＝＝.
答案
12.是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式
同时成立.
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由.
解 由条件得
①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋cos2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin
α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos
β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合.
当α＝－时，代入②得cos
β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合.
综上所述，存在α＝，β＝满足条件.
创新猜想
13.(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π＋α)＝－，则下列角β可能与角α“广义互余”的是( )
A.sin
β＝
B.cos(π＋β)＝
C.tan
β＝
D.tan
β＝
解析 ∵sin(π＋α)＝－sin
α＝－，
∴sin
α＝，若α＋β＝，
则β＝－α.
A中，sin
β＝sin＝cos
α＝±，
故A符合条件；
B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin
α＝－，故B不符合条件；
C中，tan
β＝，即sin
β＝cos
β，
又sin2β＋cos2β＝1，
所以sin
β＝±，故C符合条件；
D中，tan
β＝，即sin
β＝cos
β，又sin2β＋cos2β＝1，所以sin
β＝±，故D不符合条件.故选AC.
答案 AC
14.(多空题)已知sin＝，则sin＝________，cos＝________.
解析 sin＝sin
＝－sin＝－；
cos＝cos
＝sin＝.
答案 －
