7.4 三角函数应用
课标要求
素养要求
1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.
新知探究
温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝 朝朝朝 朝朝朝散；下联是：潮长长 长长长 长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：
INCLUDEPICTURE"xj122.TIF"
INCLUDEPICTURE
"xj122.TIF"
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MERGEFORMAT
江心屿
时间
0
1
3
6
8
9
12
15
18
21
24
水深
6
6.25
7.5
5
2.84
2.5
5
7.5
5
2.5
5
问题 (1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？
(2)以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？
提示 (1)水深随时间的变化呈周期变化.
(2)若用平滑的曲线连结各点，则大致呈正弦曲线.
简谐运动(单摆、弹簧振子等)是一种周期运动，其运动规律可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离；
①A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；
②往复运动一次所需的时间T＝称为这个运动的周期；
③单位时间内往复运动的次数f＝＝称为运动的频率；
④ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相.
拓展深化
[微判断]
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)x∈R的最大值为A.(×)
提示 当A>0时，ymax＝A；当A<0时，ymax＝－A.
2.函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.(×)
提示 初相为－φ.
3.函数y＝2sin的周期、振幅依次为4π，2.(√)
[微训练]
1.已知电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝
s时，电流I为________A.
解析 I＝5sin＝5cos＝2.5(A).
答案 2.5
2.已知振动量y＝sin(ωx＋φ)(φ>0)的初相和频率分别为－π和，则它的相位是________.
解析 ∵T＝，∴ω＝3π，初相为－π，∴相位为3πx－π.
答案 3πx－π
3.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，则单摆来回摆动一次所需的时间为________s.
INCLUDEPICTURE"xj124.TIF"
INCLUDEPICTURE
"xj124.TIF"
\
MERGEFORMAT
解析 因为单摆运动的周期为T＝＝1，故单摆来回摆动一次所需时间为1
s.
答案 1
[微思考]
1.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
提示 三角函数模型.
2.在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相，振幅、周期分别为多少？
提示 初相φ；振幅为|A|；周期为T＝.
题型一 三角函数模型在物理中的应用
【例1】 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：厘米)与时间t(单位：秒)的函数关系是：s＝6sin(2πt＋).
(1)画出它一个周期的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)周期T＝＝1(秒).
列表：
t
0
1
2πt＋
π
2π
2π＋
6sin(2πt＋)
3
6
0
－6
0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3
厘米.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6
厘米.
③小球来回摆动一次需要1
秒(即周期).
规律方法 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：
(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；
(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；
(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数.
【训练1】 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解 (1)由题图知A＝300，设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝.
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意，周期T≤，
即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N＋，
故所求最小正整数ω＝943.
题型二 三角函数模型在生活中的应用
【例2】 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题.
INCLUDEPICTURE"xj117.TIF"
INCLUDEPICTURE
"xj117.TIF"
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MERGEFORMAT
(1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式；
(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？
(3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值.
解 (1)可以用余弦型函数来表示该函数解析式，
由已知可设y＝40.5－40cos
ωt(t≥0)，
由周期为12分钟可知，当t＝6分钟时到达最高点，
即函数取得最大值，
故80.5＝40.5－40cos
6ω，即得cos
6ω＝－1，
∴6ω＝π，解得ω＝，
∴y＝40.5－40cos
t(t≥0).
(2)令y＝40.5－40cost＝60.5，得cost＝－，
∴t＝π＋2kπ，k∈Z或t＝π＋2kπ，k∈Z，
解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z，
又∵t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).
(3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过(6k＋2)(k∈N)分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米.
规律方法 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论.(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化.(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解.(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解.(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.
【训练2】 已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16].
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
解 (1)x∈[4，16]，则x－∈.
由函数解析式易知，当x－＝，
即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30
℃，当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10
℃，所以最大温差为30－10＝20(
℃).
(2)令10sin＋20＝15，可得sin＝－，而x∈[4，16]，所以x＝.令10sin＋20＝25，可得sin＝，而x∈[4，16]，所以x＝.故该细菌在这段时间内能存活－＝(小时).
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养.
2.三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
二、素养训练
1.如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是( )
INCLUDEPICTURE"xj128.TIF"
INCLUDEPICTURE
"xj128.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.，
B.2，
C.，π
D.2，π
解析 当t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知，单摆的周期为＝π，故单摆的频率为，故选A.
答案 A
2.已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
解析 由题意可知A＝，32＋＝52，
则T＝8，ω＝＝，∴y＝sin.
由图象过点得sin
φ＝，
∴sin
φ＝，∵|φ|<，∴φ＝，
因此频率是，初相为，故选B.
答案 B
3.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋)＋60(美元)，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时，油价最低，则ω最小值为________.
解析 A＋60＝80得A＝20，且150πω＋＝－＋2kπ，k∈Z，即k＝1时，ω最小值为.
答案
4.已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5
s内往复运动________次.
解析 据I＝5sin知ω＝100π
rad/s，
该电流的周期为T＝＝＝0.02
s，
则这种交流电电流在0.5
s内往复运行次数为
n＝2·＝2×
s＝50(次).
答案 50
5.如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
INCLUDEPICTURE"B95.TIF"
INCLUDEPICTURE
"B95.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
解 (1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝＝，
∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin
φ＝－1，
∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800(0≤t≤11，t∈N
).
(2)当t＝2时，
y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
基础达标
一、选择题
1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
INCLUDEPICTURE"S++120.tif"
INCLUDEPICTURE
"S++120.tif"
\
MERGEFORMAT
A.5
B.6
C.8
D.10
解析 由题意可知当sin(x＋φ)取最小值－1时，
函数取最小值ymin＝－3＋k＝2，得k＝5，
∴y＝3sin(x＋φ)＋5，当sin(x＋φ)取最大值1时，
函数取最大值ymax＝3＋5＝8.
答案 C
2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列时间段中人流量是增加的是( )
A.[0，5]
B.[5，10]
C.[10，15]
D.[15，20]
解析 由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，
知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.
当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]?[3π，5π]，故选C.
答案 C
3.已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A.T＝6，φ＝
B.T＝6，φ＝
C.T＝6π，φ＝
D.T＝6π，φ＝
解析 由题意知f(0)＝2sin
φ＝1，又|φ|<，所以φ＝，T＝＝6.故选A.
答案 A
4.如图所示，秒针尖的位置为M(x，y)，若初始位置为M0，当秒针从M0(此时t＝0)正常开始走时，那么点M的横坐标与时间t的函数关系为( )
INCLUDEPICTURE"Jx1.TIF"
INCLUDEPICTURE
"Jx1.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.x＝sin
B.x＝sin
C.x＝cos
D.x＝cos
解析 初始角为－，周期T＝＝60，所以ω＝，设x与时间t的函数关系式x＝cos(因为秒针是顺时针走动)，所以，当秒针运动到M点时，x＝1·cos＝cos.故选C.
答案 C
5.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10
000
9
500
？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A.10
000元
B.9
500元
C.9
000元
D.8
500元
解析 因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9
500＝10
000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9
500＝9
500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9
500.当x＝3时，y＝9
000.
答案 C
二、填空题
6.简谐运动y＝sin(x－2)的频率f＝________.
解析 f＝＝.
答案
7.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为________.
解析 设h＝Asin(ωt＋φ)，由图象知A＝6，T＝12，
∴＝12，得ω＝＝.
点(6，0)为“五点法”作图中的“第一点”，
故·6＋φ＝0，得φ＝－π，
∴h＝6sin＝－6sint(0≤t≤24).
答案 h＝－6sint(0≤t≤24)
8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos
(x＝1，2，3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28
℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析 由题意得 ∴
∴y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.
答案 20.5
三、解答题
9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin，t∈[0，24).
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11
℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解 (1)因为f(t)＝10－2sin，又0≤t<24，
所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24]上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12
℃，最低温度为8
℃，最大温差为4
℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，即sin<－.
又0≤t<24，因此即1010.如图，摩天轮的半径为50
m，圆心O距地面的高度为65
m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30
min转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱.
INCLUDEPICTURE"W58.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W58.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)游客进入摩天轮的舱位，开始转动t
min后，他距离地面的高度为h，求h关于t的函数解析式；
(2)已知在距离地面超过40
m的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？
解 (1)如图以摩天轮的圆心为坐标原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系.设游客的位置为点P.
因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每30
min转动一圈，所以OP在t
min内所转过的角为＝.因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，所以，以x轴正半轴为始边，以OP为终边的角为－，因此P点的纵坐标为50sin.从而游客距离地面的高度h＝50sin＋65＝65－50cos，t≥0.
INCLUDEPICTURE"W59.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W59.TIF"
\
MERGEFORMAT
(2)令h＝65－50cos>40，得cos<，所以2kπ＋<<2kπ＋，即30k＋5由于在距离地面超过40
m的高度，游客可以观看到游乐场全景，因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为25－5＝20
min.
能力提升
11.已知电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(0<φ<π)的图象如图所示，则t＝(秒)时的电流强度为( )
INCLUDEPICTURE"W60.TIF"
INCLUDEPICTURE
"W60.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.0
B.－5
C.10
D.－10
解析 由题图知A＝10，函数的周期T＝2×＝，
所以ω＝＝＝100π，将点代入
I＝10sin(100πt＋φ)得φ＝，故函数解析式为
I＝10sin，再将t＝代入函数解析式得I＝0.
答案 A
12.为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
解 (1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.
根据上述分析可得，＝12，
故ω＝，且解得
根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，
当x＝8时，f(x)最大，
故sin＝－1，且sin＝1.
又因为0<|φ|<π，故φ＝－.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sin＋300(1≤x≤12，x∈N
).
(2)由条件可知，200sin＋300≥400，化简得
sin≥?2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N
，且1≤x≤12，
所以x＝6，7，8，9，10.
即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物.
创新猜想
13.(多选题)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE"W59A.TIF"
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"W59A.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.该函数的周期是16
B.该函数图象的一条对称轴是直线x＝14
C.该函数的解析式是y＝10sin＋20(6≤x≤14)
D.该市这一天中午12时天气的温度大约是27
℃
解析 由图象知A＋B＝30，－A＋B＝10，
∴A＝10，B＝20，∵＝14－6，∴T＝16，A正确；
∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin＋20，
∵图象经过点(14，30)，∴30＝10sin＋20，
∴sin＝1，
∴φ可取，∴y＝10sin＋20，
0≤x≤24，∴B正确；C错误；当x＝12时，
y＝10sin＋20＝10×＋20≈27
℃.故D正确.
答案 ABD
14.(多空题)一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝Asin，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝，且每经过π
s小球回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是________.
INCLUDEPICTURE"W59B.TIF"
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"W59B.TIF"
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MERGEFORMAT
解析 ∵当t＝0时，α＝，∴＝Asin，∴A＝，
又∵周期T＝π，∴＝π，解得ω＝2.
故所求的函数解析式是α＝sin，t∈[0，＋∞).
答案 α＝sin，t∈[0，＋∞)(共33张PPT)
7.4 三角函数应用
课标要求
素养要求
1.会用三角函数解决简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.
新知探究
温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝 朝朝朝 朝朝朝散；下联是：潮长长 长长长 长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：
江心屿
问题 (1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？
(2)以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？
提示 (1)水深随时间的变化呈周期变化.
(2)若用平滑的曲线连结各点，则大致呈正弦曲线.
时间
0
1
3
6
8
9
12
15
18
21
24
水深
6
6.25
7.5
5
2.84
2.5
5
7.5
5
2.5
5
简谐运动(单摆、弹簧振子等)是一种周期运动，其运动规律可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示______，y表示相对于__________的偏离；
①A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为______；
时间
平衡位置
振幅
周期
频率
相位
初相
拓展深化
[微判断]
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)x∈R的最大值为A.(
)
提示 当A>0时，ymax＝A；当A<0时，ymax＝－A.
2.函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.(
)
提示 初相为－φ.
×
×
√
[微训练]
答案 2.5
答案 3πx－π
答案 1
1.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
提示 三角函数模型.
2.在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相，振幅、周期分别为多少？
[微思考]
③小球来回摆动一次需要多少时间？
列表：
描点画图：
(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3
厘米.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6
厘米.
③小球来回摆动一次需要1
秒(即周期).
【训练1】 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
∴ω≥300π>942，又ω∈N＋，
故所求最小正整数ω＝943.
题型二 三角函数模型在生活中的应用
【例2】 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题.
(1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式；
(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？
(3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值.
解 (1)可以用余弦型函数来表示该函数解析式，
由已知可设y＝40.5－40cos
ωt(t≥0)，
由周期为12分钟可知，当t＝6分钟时到达最高点，
即函数取得最大值，
故80.5＝40.5－40cos
6ω，即得cos
6ω＝－1，
解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z，
又∵t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).
(3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过(6k＋2)(k∈N)分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米.
规律方法 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论.(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化.(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解.(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解.(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养.
2.三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
二、素养训练
答案 A
答案 B
答案 50
5.如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
解 (1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
解得A＝100，b＝800.
又当t＝6时，y＝900，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin
φ＝－1，
(2)当t＝2时，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
