第8章
函数应用
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
[读图探新]——发现现象背后的知识
函数是描述客观世界中变量关系和变化规律的最为重要的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画；面临一个实际问题，如何选择恰当的函数模型来刻画呢？
问题1：天体运动规律可以用什么函数模型来刻画呢？
问题2：翻滚过山车运动惊险、刺激，它的运动规律可以用什么函数模型来刻画呢？
问题3：2020年新冠状病毒在世界各国被发现，新冠状病毒是通过细胞的分裂进行复制的，那么细胞的分裂可以用什么函数模型来刻画呢？
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
课标要求
素养要求
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系.2.了解零点存在性定理、会判断函数零点的个数.
通过本节内容的学习，使学生体会转化思想在研究函数中的作用，提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象素养.
新知探究
路边有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型.
问题 如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B是人的起点和终点，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定曾渡过河？
提示 只要满足点A与点B分布在x轴的两侧即可，即图中A处的函数值与B处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识.
1.函数的零点
注意零点不是点，而是一个实数
(1)概念：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程根的关系.
2.零点存在性定理
一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.
拓展深化
[微判断]
1.设f(x)＝，由于f(－1)f(1)<0，所以f(x)＝在(－1，1)内有零点.(×)
提示 由于f(x)＝的图象在[－1，1]上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零点的结论.
2.若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(×)
提示 反例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)·f(3)>0.
3.若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点.(×)
提示 反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f(x)在(－1，3)内有0，1，2三个零点.
4.若函数y＝f(x)在[a，b]上图象连续，且f(a)f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点.(×)
提示 不正确，如函数f(x)＝x2在[－1，1]上有零点为0.
[微训练]
1.下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
解析 D中函数的图象与x轴无交点，故函数无零点，故选D.
答案 D
2.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是( )
A.1个
B.2个
C.0个
D.无法确定
解析 ∵Δ＝b2－4ac，ac<0，∴Δ>0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，故函数有两个零点.
答案 B
3.函数y＝1＋的零点是( )
A.(－1，0)
B.x＝－1
C.x＝1
D.x＝0
解析 令1＋＝0，则x＝－1，故选B.
答案 B
4.函数f(x)＝x3＋x－的零点所在的区间是( )
A.(－1，0)
B.(0，1)
C.(1，2)
D.(－2，－1)
解析 ∵f(－2)＝(－2)3＋(－2)－<0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)－<0，f(0)＝－<0，f(1)＝1＋1－>0，f(2)＝23＋2－>0，
∴f(0)f(1)<0，又f(x)的图象在[0，1]上是连续不断的，
故由函数零点存在定理知f(x)在(0，1)上存在零点.
答案 B
[微思考]
1.有的同学认为，对于函数f(x)＝x＋，有f(1)f(－1)<0，则函数f(x)一定有零点.你认为正确吗？
提示 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，它在(－1，1)上不是连续的，不能用零点存在定理判定.
事实上，∵f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴f(x)无零点.
2.若函数y＝f(x)不满足零点存在定理的两个条件，这个函数可能有零点吗？
提示 可能有零点，也可能没有零点.
3.在零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点.则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？
提示 满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0.
题型一 求函数的零点
【例1】 (1)函数f(x)＝x2－2x－3的零点为________.
(2)若x＝2是f(x)＝x2－mx－3的一个零点，则m的值为________.
解析 (1)令x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1，
∴f(x)＝x2－2x－3的零点为3，－1.
(2)由题意知f(2)＝4－2m－3＝0，
∴m＝.
答案 (1)3，－1 (2)
【迁移】 (变换结论)(1)函数f(x)＝x2－mx＋3在R上有两个不同的零点，则m的取值范围为________.
(2)函数f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零点，则m的取值范围为________.
解析 (1)函数f(x)＝x2－mx＋3在R上有两个不同的零点，等价于方程x2－mx＋3＝0有两个不等实根.
∴Δ＝m2－12>0，∴m>2或m<－2.
(2)法一 f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零点，
则x2－mx－3＝0在(1，2)上有唯一的实数根，
即m＝＝x－在(1，2)上有唯一实根，
即函数y＝m与y＝x－有唯一交点.
∵y＝x－在(1，2)上递增且y∈，
∴m∈.
法二 ∵f(x)＝x2－mx－3是开口向上的抛物线且f(0)＝－3.
∴f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一零点，只需满足∴∴
∴－2
答案 (1){m|m>2或m<－2} (2)
规律方法 探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
【训练1】 (1)函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.
(2)函数f(x)＝(lg
x)2－lg
x的零点为________.
解析 (1)∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，
∴2a＋b＝0?b＝－2a，
∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).
∵－ax(2x＋1)＝0?x＝0，x＝－，
∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－.
(2)由(lg
x)2－lg
x＝0，得lg
x(lg
x－1)＝0，
∴lg
x＝0或lg
x＝1，∴x＝1或x＝10.
答案 (1)0，－ (2)1和10
题型二 判断或证明函数零点的存在性
【例2】 求证：函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点.
证明 法一 ∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)，
∴f(x)有两个零点为－2，1.故f(x)至少有一个零点.
法二 由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16，又∵f(x)图象在[－3，0]上是一条连续曲线，∴由函数零点存在定理，知f(x)在[－3，0]上至少有一个零点.
规律方法 1.若函数的零点易求，可直接求出零点，否则利用函数零点存在定理判断.
2.利用函数零点存在定理时，关键在于找准区间，且只能判定在区间上零点的存在性，但需注意，不满足定理的条件，也可能存在零点，另外要判定有几个零点，需结合函数的性质或图象进行判定.
【训练2】 证明：函数f(x)＝2x＋x在R上有零点.
证明 ∵f(－1)＝－1＝－<0，
f(0)＝20＋0＝1>0，
且函数f(x)在R上的图象是不间断的，所以函数f(x)在(－1，0)上有零点，
从而f(x)＝2x＋x在R上有零点.
题型三 函数零点个数问题
【例3】 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.
解 法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg
2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零点.又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数.
故函数f(x)有且只有一个零点.
法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图.
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
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MERGEFORMAT
规律方法 判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点问题.
【训练3】 函数f(x)＝ln
x－的零点的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 如图，画出y＝ln
x与y＝的图象，由图知y＝ln
x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点.故函数f(x)＝ln
x－的零点有2个.
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MERGEFORMAT
答案 C
题型四 判断函数零点所在的区间
【例4】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )
A.(－3，－1)和(2，4)
B.(－3，－1)和(－1，1)
C.(－1，1)和(1，2)
D.(－∞，－3)和(4，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，4)
D.(4，＋∞)
解析 (1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.故选A.
(2)∵f(x)＝－log2x，∴f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－2＝－<0，由零点存在定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4).
答案 (1)A (2)C
规律方法 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【训练4】 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1，0)
B.(0，1)
C.(1，2)
D.(2，3)
解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)≈0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)≈2.72－3<0，f(2)≈7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一根在(1，2)内.
答案 C
一、素养落地
1.通过学习函数零点与方程根的关系培养数学抽象素养，通过学习零点存在定理判断零点的个数及判断零点所在区间提升逻辑推理、直观想象素养.
2.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是不间断的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
3.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
二、素养训练
1.函数f(x)＝4x－2x－2的零点是( )
A.(1，0)
B.1
C.
D.－1
解析 由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.
答案 B
2.函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是( )
A.(1，＋∞)
B.
C.
D.
解析 f(1)＝2－1＝1>0，f＝2－2＝－2<0，即ff(1)<0，且f(x)的图象在内是一条连续不断的曲线，故f(x)的零点所在的区间是.
答案 B
3.若函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是________.
解析 f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.
答案 (1，＋∞)
4.已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数是________.
解析 法一 令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象(图略)，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.
法二 因为f(0)>0，f(1)<0，f(2)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以f(x)有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)上.
答案 2
5.已知函数f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.
令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2，
即函数f(x)的零点为－1和2.
(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－.
所以a的取值范围是.
基础达标
一、选择题
1.下列函数没有零点的是( )
A.f(x)＝0
B.f(x)＝2
C.f(x)＝x2－1
D.f(x)＝x－
解析 函数f(x)＝2，不能满足方程f(x)＝0，因此没有零点.
答案 B
2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238
由表可知函数f(x)存在零点的区间有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 ∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，∴函数f(x)存在零点的区间有4个，故选D.
答案 D
3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3)
B.(1，2)
C.(0，3)
D.(0，2)
解析 由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0答案 C
4.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0
B.－2，0
C.
D.0
解析 当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
当x>1时，令1＋log2x＝0,
得x＝(舍).
综上所述，函数零点为0.
答案 D
5.设a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若x0>a，则f(x0)的值满足( )
A.f(x0)＝0
B.f(x0)<0
C.f(x0)>0
D.f(x0)的符号不确定
解析 ∵函数y＝2x和y＝log2x在(0，＋∞)上均为增函数，
∴f(x)＝2x－logx＝2x＋log2x在(0，＋∞)上为增函数.
又∵a是函数f(x)＝2x＋log2x的零点，∴f(a)＝0，∴当x0>a时，f(x0)>0，故选C.
答案 C
二、填空题
6.若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________.
解析 函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系，知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6.所以g(x)＝－6x2－5x－1.
解得g(x)的零点为－，－.
答案 －，－
7.若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间为________.
①(－2，－1)；②(－1，0)；③(0，1)；④(1，2).
解析 构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调增函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0，1)上，所以ex＋x＝2的解在区间(0，1)上.
答案 ③
8.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析 因为y＝f(x)有两个零点，
所以|2x－2|－b＝0有两个实根.
即|2x－2|＝b有两个实根.
令y1＝|2x－2|，y2＝b，则y1与y2的图象有两个交点.
由图可知b∈(0，2)时y1与y2有两个交点.
答案 (0，2)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝1＋－xα(α∈R)，且f(3)＝－.
(1)求α的值；
(2)求函数f(x)的零点.
解 (1)由f(3)＝－，
得1＋－3α＝－，∴α＝1.
(2)由(1)得f(x)＝1＋－x，
令f(x)＝0，得1＋－x＝0，即＝0，
∴x＝，∴f(x)的零点为.
10.已知函数f(x)＝logax＋ax(1≤x≤2)的最大值与最小值之和为a2＋a＋1(a>1).
(1)求a的值；
(2)判断函数g(x)＝f(x)－3在[1，2]上的零点个数，并说明理由.
解 (1)易知函数f(x)＝logax＋ax在x∈[1，2]上单调递增，
∵函数f(x)＝logax＋ax(1≤x≤2)的最大值与最小值之和为a2＋a＋1，
∴f(1)＋f(2)＝0＋a＋loga2＋a2＝a2＋a＋1，解得a＝2.
(2)由(1)可得函数f(x)＝log2x＋2x，
f(x)在[1，2]内单调递增，
∴g(x)＝f(x)－3在[1，2]内单调递增.
∵g(1)＝f(1)－3＝2－3＝－1<0，g(2)＝f(2)－3＝log22＋22－3＝2>0，
∴函数f(x)在[1，2]内有且仅有一个零点.
能力提升
11.已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.b>a>c
解析 由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，∴c＝0.由f(x)＝0得2x＝－x；由g(x)＝0得log2x＝－x.在同一平面直角坐标系中画出y＝2x、y＝log2x、y＝－x的图象，由图象知a<0，b>0，∴aINCLUDEPICTURE"W75.TIF"
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MERGEFORMAT
答案 B
12.已知函数f(x)＝其中0≤m<1.
(1)当m＝0时，求函数y＝f(x)－2的零点个数；
(2)当函数y＝f2(x)－3f(x)的零点恰有3个时，求实数m的取值范围.
解 (1)当m＝0时，f(x)＝
令y＝f(x)－2＝0，得f(x)＝2，
则|lg
x|＋1＝2或2|x|＝2.
解|lg
x|＋1＝2，得x＝10或，
解2|x|＝2，得x＝－1或x＝1(舍).
所以当m＝0时，函数y＝f(x)－2的零点为－1，，10，共3个.
(2)令f2(x)－3f(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝3.
由题易知f(x)>0恒成立.
所以f(x)＝3必须有3个实根，即|lg
x|＋1＝3和2|x|＝3共有3个根.
①解2|x|＝3，得x＝－log23或x＝log23>1(舍)，故有1个根.
②解|lg
x|＋1＝3，得x＝100或x＝，
要使得两根都满足题意，则有m<.
又0≤m<1，所以0≤m<.
所以实数m的取值范围为.
创新猜想
13.(多选题)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m可以是( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 令g(x)＝f(x)－m＝0，则f(x)＝m，在同一直角坐标系中作出y＝f(x)与y＝m，只需两函数有两个交点即可.由图可知当m＝－1，0，1，两函数均有两个交点，故选ABC.
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MERGEFORMAT
答案 ABC
14.(多空题)函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1恰有一个零点为0，则m＝________；若f(x)＝0有两个根，且一根大于2，一根小于2，则m的取值范围为________.
解析 由f(0)＝0得m＝1；
由题意可知f(2)>0，即m<－7.
答案 1 (－∞，－7)(共41张PPT)
第8章
函数应用
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
[读图探新]——发现现象背后的知识
函数是描述客观世界中变量关系和变化规律的最为重要的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画；面临一个实际问题，如何选择恰当的函数模型来刻画呢？
问题1：天体运动规律可以用什么函数模型来刻画呢？
问题2：翻滚过山车运动惊险、刺激，它的运动规律可以用什么函数模型来刻画呢？
问题3：2020年新冠状病毒在世界各国被发现，新冠状病毒是通过细胞的分裂进行复制的，那么细胞的分裂可以用什么函数模型来刻画呢？
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
课标要求
素养要求
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系.
2.了解零点存在性定理、会判断函数零点的个数.
通过本节内容的学习，使学生体会转化思想在研究函数中的作用，提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象素养.
新知探究
路边有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型.
问题 如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B是人的起点和终点，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定曾渡过河？
提示 只要满足点A与点B分布在x轴的两侧即可，即图中A处的函数值与B处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识.
1.函数的零点
注意零点不是点，而是一个实数
(1)概念：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为____的实数x称为函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程根的关系.
0
f(x)＝0
横坐标
2.零点存在性定理
一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且___________，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.
f(a)·f(b)<0
拓展深化
[微判断]
2.若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(
)
提示 反例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)·f(3)>0.
×
×
3.若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点.(
)
提示 反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f(x)在(－1，3)内有0，1，2三个零点.
4.若函数y＝f(x)在[a，b]上图象连续，且f(a)f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点.(
)
提示 不正确，如函数f(x)＝x2在[－1，1]上有零点为0.
×
×
[微训练]
1.下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
解析 D中函数的图象与x轴无交点，故函数无零点，故选D.
答案 D
2.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是( )
A.1个
B.2个
C.0个
D.无法确定
解析 ∵Δ＝b2－4ac，ac<0，∴Δ>0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，故函数有两个零点.
答案 B
A.(－1，0)
B.x＝－1
C.x＝1
D.x＝0
答案 B
答案 B
[微思考]
提示 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，它在(－1，1)上不是连续的，不能用零点存在定理判定.
事实上，∵f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴f(x)无零点.
2.若函数y＝f(x)不满足零点存在定理的两个条件，这个函数可能有零点吗？
提示 可能有零点，也可能没有零点.
3.在零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点.则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？
提示 满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0.
题型一 求函数的零点
【例1】 (1)函数f(x)＝x2－2x－3的零点为________.
(2)若x＝2是f(x)＝x2－mx－3的一个零点，则m的值为________.
解析 (1)令x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1，
∴f(x)＝x2－2x－3的零点为3，－1.
(2)由题意知f(2)＝4－2m－3＝0，
【迁移】 (变换结论)(1)函数f(x)＝x2－mx＋3在R上有两个不同的零点，则m的取值范围为________.
(2)函数f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零点，则m的取值范围为________.
解析 (1)函数f(x)＝x2－mx＋3在R上有两个不同的零点，等价于方程x2－mx＋3＝0有两个不等实根.
(2)法一 f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零点，
则x2－mx－3＝0在(1，2)上有唯一的实数根，
法二 ∵f(x)＝x2－mx－3是开口向上的抛物线且f(0)＝－3.
规律方法 探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
【训练1】 (1)函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.
(2)函数f(x)＝(lg
x)2－lg
x的零点为________.
解析 (1)∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，
∴2a＋b＝0?b＝－2a，
∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).
(2)由(lg
x)2－lg
x＝0，得lg
x(lg
x－1)＝0，
∴lg
x＝0或lg
x＝1，∴x＝1或x＝10.
题型二 判断或证明函数零点的存在性
【例2】 求证：函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点.
证明 法一 ∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)，
∴f(x)有两个零点为－2，1.故f(x)至少有一个零点.
法二 由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16，又∵f(x)图象在[－3，0]上是一条连续曲线，∴由函数零点存在定理，知f(x)在[－3，0]上至少有一个零点.
规律方法 1.若函数的零点易求，可直接求出零点，否则利用函数零点存在定理判断.
2.利用函数零点存在定理时，关键在于找准区间，且只能判定在区间上零点的存在性，但需注意，不满足定理的条件，也可能存在零点，另外要判定有几个零点，需结合函数的性质或图象进行判定.
【训练2】 证明：函数f(x)＝2x＋x在R上有零点.
f(0)＝20＋0＝1>0，
且函数f(x)在R上的图象是不间断的，所以函数f(x)在(－1，0)上有零点，
从而f(x)＝2x＋x在R上有零点.
题型三 函数零点个数问题
【例3】 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.
解 法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg
2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零点.又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数.
故函数f(x)有且只有一个零点.
法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图.
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
规律方法 判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点问题.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 C
题型四 判断函数零点所在的区间
【例4】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )
A.(－3，－1)和(2，4)
B.(－3，－1)和(－1，1)
C.(－1，1)和(1，2)
D.(－∞，－3)和(4，＋∞)
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
答案 (1)A (2)C
解析 (1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.故选A.
规律方法 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【训练4】 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
A.(－1，0)
B.(0，1)
C.(1，2)
D.(2，3)
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)≈0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)≈2.72－3<0，f(2)≈7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一根在(1，2)内.
答案 C
一、素养落地
1.通过学习函数零点与方程根的关系培养数学抽象素养，通过学习零点存在定理判断零点的个数及判断零点所在区间提升逻辑推理、直观想象素养.
2.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是不间断的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
3.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
二、素养训练
1.函数f(x)＝4x－2x－2的零点是( )
解析 由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.
答案 B
答案 B
3.若函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是________.
解析 f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.
答案 (1，＋∞)
4.已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数是________.
解析 法一 令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象(图略)，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.
法二 因为f(0)>0，f(1)<0，f(2)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以f(x)有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)上.
答案 2
5.已知函数f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.
令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2，
即函数f(x)的零点为－1和2.