7.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(一)
课标要求
素养要求
1.会用“五点法”画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.3.能用图象变换画y＝Asin(ωx＋φ)的简图.
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.
新知探究
在物理中，简谐运动中单摆相对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数.如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象.
将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似.那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin
x有什么关系呢？
问题 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值分别受哪些量的影响？
(2)如何做出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象？
提示 (1)在函数y＝Asin(ωx＋φ)中最值受A的影响，最大值为|A|，周期受ω的影响，T＝.
(2)方法一：五点作图法.方法二：图象的变换法.
1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
2.A对y＝Asin
x(A>0且A≠1)的图象的影响
3.ω对y＝sin
ωx(ω>0且ω≠1)的图象的影响
4.φ对y＝sin(ωx＋φ)(ω>0且ω≠0)的图象的影响
拓展深化
[微判断]
1.把函数y＝sin
x的图象向右平移2个单位得到函数y＝sin(x＋2)的图象.(×)
提示 应得到y＝sin(x－2)的图象.
2.把函数y＝sin
x的图象向左平移2π个单位后得到的图象与原图象重合.(√)
3.把函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象.(×)
提示 得到y＝sin
2＝sin的图象.
4.要得到函数y＝sin的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向左平移个单位长度得到.(×)
提示 y＝sin，
故要得到y＝sin的图象，
可把函数y＝sin(－x)的图象向右平移个单位长度.
5.把函数y＝sin
x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin
2x的图象.(×)
提示 应得到y＝sinx的图象.
[微训练]
1.为了得到y＝sin
4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线上所有点的( )
A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
解析 ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.
答案 B
2.把函数y＝2sin
3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到______的图象.
答案 y＝6sinx
3.将函数y＝cos
2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为________.
解析 由题意得所得图象对应的解析式为y＝cos
2(x－)＝cos(2x－).
答案 y＝cos(2x－)
[微思考]
1.在函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0、ω>0、A、ω、φ为常数)中，A、ω、φ对函数的图象各有什么影响呢？
提示 A影响函数的最值；ω影响函数的周期；φ影响函数图象的左右平移.
2.由y＝sin
x的图象如何得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0、ω>0)的图象呢？试写出变换过程.
题型一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例1】 已知函数y＝sin.利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图.
解 下面用“五点法”画函数y＝sin在一个周期T＝4π内的图象.令X＝x＋，则x＝2X－.
先列表，后描点并画图.
X
0
π
2π
x
－
y
0
1
0
－1
0
规律方法 用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”.同时也要注意“五点法”的逆用，即由y＝Asin(ωx＋φ)的图象反过来确定ωx＋φ的值.
【训练1】 请用“五点法”画出函数y＝sin(2x－)的图象.
解 函数y＝sin的周期T＝＝π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象，令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表：
X
0
π
2π
x
y
0
0
－
0
描点画图：
利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象向左、向右平移即得y＝sin(2x－)的图象(图略).
题型二 三角函数图象的平移变换
【例2】 (1)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A.y＝2sin
B.y＝2sin
C.y＝2sin
D.y＝2sin
(2)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin
2x的图象( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
解析 (1)函数y＝2sin的周期为T＝＝π，向右平移个周期，即向右平移后，得到图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
(2)y＝sin
2x＝cos＝cos
＝cos＝cos.
若设f(x)＝sin
2x＝cos
，
则f＝cos，
∴向左平移个单位.
答案 (1)D (2)A
规律方法 三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y＝sin
x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离.
【训练2】 将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为________.
解析 将函数y＝cos(2x＋)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos[2(x＋)＋]＝cos(2x＋π)＝－cos
2x.
答案 y＝－cos
2x
题型三 三角函数图象的伸缩变换
【例3】 说明y＝2sin(2x＋)的图象可由y＝sin
x的图象经过怎样的变换而得到.
解 法一 把y＝sin
x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象.
法二 将y＝sin
x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin
2x的图象；再将y＝sin
2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象.
规律方法 三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点：
(1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的.
(2)虽然两种平移单位长度不同，平移时平移的对象已有变化，但得到的结果是一致的.
【训练3】 (1)为了得到函数y＝sin的图象，需将函数y＝sin的图象( )
A.纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变
B.横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
C.横坐标变为原来的，纵坐标不变
D.纵坐标变为原来的，横坐标不变
(2)已知曲线C1：y＝cos
x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析 (1)只需将函数y＝sin的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数y＝sin的图象，故选C.
(2)C1：y＝cos
x＝sin.
y＝sin
2＝sin
2.
答案 (1)C (2)D
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升直观想象、逻辑推理、数学抽象素养.
2.由y＝sin
x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两种：
(1)y＝sin
x―→y＝sin(x＋φ)―→y＝sin(ωx＋φ)―→y＝Asin(ωx＋φ)；
(2)y＝sin
x―→y＝sin
ωx―→y＝sin＝sin(ωx＋φ)―→y＝Asin(ωx＋φ).
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同，这是易出错的地方，应特别注意.
二、素养训练
1.要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin
x的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析 将函数y＝sin
x的图象上所有点向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin的图象.
答案 A
2.为了得到y＝cos的图象，只需把y＝cos
x的图象上的所有点( )
A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
解析 由图象的周期变换可知，A正确.
答案 A
3.要得到函数y＝sin的图象，可把函数y＝sin(－2x)的图象向________个单位.
解析 y＝sin(－2x)―→y＝sin
＝sin，可把y＝sin(－2x)的图象向右平移个单位.
答案 右平移
4.将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象.
解析 A＝3>1，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，即可得到函数y＝3sin的图象.
答案 伸长 3
5.把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式.
y＝3sin＝3sin＝3cos
x.
所以f(x)＝3cos
x.
基础达标
一、选择题
1.为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin
x的图象上所有的点( )
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移π个单位长度
D.向右平移π个单位长度
解析 只需把函数y＝sin
x的图象上所有的点向左平移1个单位长度，便得函数y＝sin(x＋1)的图象，故选A.
答案 A
2.函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析 当x＝0时，y＝sin＝－<0，故可排除B、D；当x＝时，sin＝sin
0＝0，排除C.故选A.
答案 A
3.把函数y＝cos
x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，最后把图象向左平移个单位长度，则所得图象表示的函数的解析式为( )
A.y＝2sin
2x
B.y＝－2sin
2x
C.y＝2cos
D.y＝2cos
解析 把函数y＝cos
x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，所得图象的函数解析式为y＝cos
2x，再把纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式为y＝2cos
2x，最后把图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝2cos＝－2sin
2x.故选B.
答案 B
4.有下列四种变换方式：
①向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)；
②横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度；
③横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度；
④向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变).
其中能将正弦函数y＝sin
x的图象变为y＝sin的图象的是( )
A.①和②
B.①和③
C.②和③
D.②和④
解析 ①向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sin
x的图象变为y＝sin的图象；②横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，正弦函数y＝sin
x的图象变为y＝sin
2＝sin的图象；③横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，正弦函数y＝sin
x的图象变为y＝sin
2＝sin的图象；④向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，正弦函数y＝sin
x的图象变为y＝sin的图象，因此①和②符合题意，故选A.
答案 A
5.要得到函数y＝cos
x的图象，只需将函数y＝
sin的图象上的所有点的( )
A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
解析 ∵y＝cos
x＝sin，
∴y＝sin的图象
y＝sin的图象.
答案 C
二、填空题
6.利用“五点法”作函数y＝2sin的图象时，所取的五个点的坐标为________________.
解析 令2x－＝0，，π，，2π得x＝，，，，，故五个点的坐标是，，，，.
答案 ，，，，
7.将函数y＝sin
x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________.
解析 将函数y＝sin
x的图象向左平移φ个单位后，得y＝sin(x＋φ)的图象，而y＝sin＝sin，所以φ＝.
答案
8.将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝cos
x的图象，则f＝________.
解析 y＝cos
x＝sin的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin图象，再对每一点横坐标缩短为原来的，得到y＝sin的图象即为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象，∴f(x)＝sin，∴f＝sin
π＝0.
答案 0
三、解答题
9.已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的简图.
解 (1)列表：
＋
0
π
2π
x
－
f(x)
3
6
3
0
3
(2)描点画图：
10.函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到的？
解 先把函数y＝sin
x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象(答案不唯一).
能力提升
11.若将函数y＝2sin
2x的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的，则所得图象的函数解析式为( )
A.y＝4sin
B.y＝sin
C.y＝sin
D.y＝sin
解析 将函数y＝2sin
2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝2sin＝2sin的图象，再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的，得到y＝sin的图象.
答案 D
12.已知函数f(x)＝3sin，x∈R.
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin
x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
解 (1)函数f(x)的周期T＝＝4π.
列表如下：
x－
0
π
2π
x
3sin
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并用平滑的曲线连接，得到一个周期的简图.图象如下：
(2)先把y＝sin
x的图象向右平移个单位长度，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到f(x)的图象.
创新猜想
13.(多选题)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值可能为( )
A.4
B.6
C.8
D.12
解析 y＝f(x)的图象向左平移后得到y＝sin＝sin，其图象与原图象重合，有ω＝2kπ，即ω＝4k(k∈Z).故选A、C、D.
答案 ACD
14.(多空题)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin
x的图象，则f(x)的解析式f(x)＝________；f＝________.
解析 将y＝sin
x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来2倍可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝.
答案 sin (共39张PPT)
7.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(一)
课标要求
素养要求
1.会用“五点法”画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.
3.能用图象变换画y＝Asin(ωx＋φ)的简图.
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.
新知探究
在物理中，简谐运动中单摆相对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数.如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象.
将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似.那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin
x有什么关系呢？
问题 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值分别受哪些量的影响？
(2)如何做出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象？
(2)方法一：五点作图法.方法二：图象的变换法.
1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
左
右
|φ|
纵坐标
A
横坐标
横坐标
纵坐标
向左
向右
拓展深化
[微判断]
1.把函数y＝sin
x的图象向右平移2个单位得到函数y＝sin(x＋2)的图象.(
)
提示 应得到y＝sin(x－2)的图象.
2.把函数y＝sin
x的图象向左平移2π个单位后得到的图象与原图象重合.(
)
×
√
×
×
5.把函数y＝sin
x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin
2x的图象.(
)
×
[微训练]
1.为了得到y＝sin
4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线上所有点的( )
答案 B
2.把函数y＝2sin
3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到______的图象.
[微思考]
1.在函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0、ω>0、A、ω、φ为常数)中，A、ω、φ对函数的图象各有什么影响呢？
提示 A影响函数的最值；ω影响函数的周期；φ影响函数图象的左右平移.
2.由y＝sin
x的图象如何得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0、ω>0)的图象呢？试写出变换过程.
题型一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
先列表，后描点并画图.
描点画图：
题型二 三角函数图象的平移变换
答案 (1)D (2)A
规律方法 三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y＝sin
x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离.
题型三 三角函数图象的伸缩变换
答案 (1)C (2)D
一、素养落地
二、素养训练
答案 A
解析 由图象的周期变换可知，A正确.
答案 A
答案 伸长 3第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(二)
课标要求
素养要求
1.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式.2.整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题.
通过函数图象抽象出数学模型，并能研究函数的性质，逐步提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模素养.
新知探究
在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数(其中A，ω，φ为常数)，例如，在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示.
问题 (1)你能根据图象求出A，ω，φ吗？
(2)根据图象你能写出函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间吗？
(3)图象对应函数的对称中心坐标和对称轴方程分别是什么？
提示 (1)A＝0.5，∵T＝2，∴ω＝π，φ＝.
(2)递减区间为[2k，2k＋1](k∈Z)，
递增区间为[2k＋1，2k＋2](k∈Z).
(3)对称中心坐标为(k∈Z)，
对称轴的方程为x＝k(k∈Z).
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
对称中心
(k∈Z)
对称轴
x＝＋(k∈Z)
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性
由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间；由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
拓展深化
[微判断]
1.y＝Asin(ωx＋φ)的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.(√)
2.在y＝Asin(ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期.(×)
提示 相邻对称轴间距离为半个周期.
3.函数y＝sin的图象对称轴方程为x＝＋(k∈Z).(√)
4.函数f(x)＝sin的图象的对称中心是(k∈Z).(×)
提示 由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋kπ(k∈Z)，故对称中心是(k∈Z).
[微训练]
1.函数y＝2cos的最小正周期为________.
解析 T＝＝π.
答案 π
2.函数y＝2sin
x向右平移个单位，得到函数f(x)，则f(x)的最大值为________.
解析 由题意知f(x)＝2sin，所以f(x)max＝2.
答案 2
3.若f(x)＝cos(2x＋＋φ)(|φ|<)是奇函数，则φ＝________.
解析 由题意可知＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|<，故当k＝0时，得φ＝.
答案
4.函数f(x)＝2sin的单调递增区间为________.
解析 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，∴－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
答案 (k∈Z)
[微思考]
1.如何由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定A，ω，φ的值？
提示 在观察图象的基础上，A―→由图象上的最大(小)值确定；ω―→由T＝确定，相邻的两对称轴(中心)间的距离为，相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；φ―→由“五点法”中的点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置.
2.如何求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间、对称轴和中心呢？
提示 一般将ωx＋φ看作一个整体，然后借助正弦函数的性质求解.
求单调区间时，若ω<0，则需利用诱导公式化为正值，求最值时，应先确定ωx＋φ的范围，再结合图象求解.
题型一 由图象求三角函数的解析式
【例1】 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式.
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MERGEFORMAT
解 法一(逐一定参法)
由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ).
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin.
∴－·2＋φ＝kπ(k∈Z)，
得φ＝＋kπ(k∈Z).
∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin.
法二(待定系数法)
由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得∴y＝3sin.
法三 (图象变换法)
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin
2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin
2，即y＝3sin.
规律方法 已知图象求y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
法一：如果从图象可确定最值和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ.
法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.
法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin
ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数.
【训练1】 若函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
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"S100.TIF"
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A.ω＝，φ＝
B.ω＝，φ＝
C.ω＝，φ＝
D.ω＝，φ＝
解析 由所给图象可知，＝2，∴T＝8.
又∵T＝，∴ω＝.
∵在x＝1处取得最大值，∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，∵0≤φ<2π，∴φ＝.
答案 C
题型二 y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
【例2】 在①函数f为奇函数；②当x＝时，f(x)＝；③是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答，已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π，若________.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间.
解 ∵函数f(x)的图象相邻对称轴间的距离为π，∴T＝＝2π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sin(x＋φ).
方案一：选条件①
∵f＝2sin为奇函数，
∴f＝2sin＝0，解得φ＝＋kπ，k∈Z.
(1)∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin；
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
∴函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为，；
方案二：选条件②
f＝2sin＝，
∴sin＝，
∴φ＝2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z，
(1)∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin；
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
∴函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为，；
方案三：选条件③
∵π是函数f(x)的一个零点，
∴f＝2sin＝0，
∴φ＝kπ－，k∈Z.
(1)∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin；
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤.
∴函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为，.
规律方法 研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质的两种方法
(1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；若(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；若[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin
x单调区间的子区间.
(2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin
t的性质.
【训练2】 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示.
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"W52.TIF"
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(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的对称中心；
(2)当x∈[0，4]时，求f(x)的值域.
解 (1)由函数图象可知A＝2，∵T＝7－1＝6，
∴T＝8＝，∴则ω＝，
由图象可知函数f(x)经过点(1，2)，
∴f(1)＝2sin＝2，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin，
令x＋＝kπ，k∈Z，得x＝4k－1；所以函数f(x)
的图象的对称中心为(4k－1，0)，k∈Z.
(2)由(1)可知f(x)＝2sin，∵x∈[0，4]，
∴x＋∈，
由正弦函数的图象与性质可知，当x＋＝，即x＝1时，f(x)的最大值为2，
当x＋＝，即x＝4时，f(x)的最小值为－；
∴f(x)的值域为[－，2].
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模素养.
2.在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值.
3.正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数.
二、素养训练
1.若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是( )
A.
B.
C.
D.－
解析 令x＝0得f(0)＝2sin＝±2，
∴sin＝±1，又当φ＝时，
f(0)＝2sin＝2，则φ值可以是.
答案 A
2.若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f＝( )
A.3或0
B.－3或0
C.0
D.－3或3
解析 由f＝知，x＝是函数的对称轴，解得f＝3或－3，故选D.
答案 D
3.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝________.
解析 由题图知＝－＝，∴T＝，又T＝＝，∴ω＝.
答案
4.在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________.
解析 由4x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋kπ，k∈Z，所以当k＝1时，x＝－＝，即离原点最近.
答案
5.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的部分图象如图所示.
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(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合.
解 (1)由图可知T＝π－π＝π，ω＝2.
当x＝π时，y＝2，得φ＝－π，
又A＝2，所以f(x)＝2sin.
(2)ymin＝－2.此时2x－＝2kπ－，即x＝kπ－，k∈Z，
即此时自变量x的集合是.
三、审题答题
示范 三角函数的性质问题
【典型示例】
(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0，1)①，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点②的坐标分别为(x0，2)和(x0＋2π，－2)③.
(1)求f(x)的解析式及x0的值④；
(2)求f(x)的单调递增区间⑤.
联想解题
看到①想到利用特殊点(0，1)求φ；
看到②想到周期为4π，则可求得ω＝；
看到③想到函数f(x)的最大、最小值，从而求得A＝2；
看到④想到对称轴的方程；
看到⑤想到整体代换，从而解出递增区间.
满分示范
解 (1)由题意作出f(x)的简图如图.
由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，2分
∴4π＝，即ω＝，4分
∴f(x)＝2sin，5分
∴f(0)＝2sin
φ＝1，即sin
φ＝，又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，6分
∵f(x0)＝2sin＝2，∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z，∴x0＝4kπ＋，k∈Z，8分
又(x0，2)是y轴右侧的第一个最高点，
∴x0＝.9分
(2)令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，11分
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).12分
满分心得
1.此类问题解法的一般步骤
第一步：f(x)＝Asin(ωx＋φ)中的A由最大值、最小值确定；
第二步：ω由周期确定，需注意相邻的两对称轴(对称中心)之间的距离为；
第三步：φ由特殊点确定；
第四步：把ωx＋φ看作一个整体，代入单调区间，解出x的范围；
第五步：若求f(x)在闭区间上的最值，需确定ωx＋φ的范围.
2.此类问题要求较强的逻辑推理能力和运算能力，解答时应注意规范性，防止不必要的失分.
基础达标
一、选择题
1.已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
INCLUDEPICTURE"xj118.TIF"
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"xj118.TIF"
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A.ω＝1，φ＝
B.ω＝1，φ＝－
C.ω＝2，φ＝
D.ω＝2，φ＝－
解析 依题意得T＝＝4×＝π，所以ω＝2.
又sin＝sin＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，
由|φ|<，得φ＝－.故选D.
答案 D
2.设点P是函数f(x)＝sin
ωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )
A.2π
B.π
C.
D.
解析 因为相邻的对称中心和对称轴相距个周期，所以＝，所以T＝π.
答案 B
3.若将函数y＝2sin
2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A.x＝－(k∈Z)
B.x＝＋(k∈Z)
C.x＝－(k∈Z)
D.x＝＋(k∈Z)
解析 将函数y＝2sin
2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin
2＝2sin，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.
答案 B
4.将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.
B.
C.0
D.－
解析 将函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到y＝sin(2x＋φ＋)的图象，因为它是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝.
答案 B
5.设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为－2π
B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x＋π)的一个零点为x＝
D.f(x)在单调递减
解析 函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos
x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误.
答案 D
二、填空题
6.已知函数y＝sin(ωx＋φ)
(ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.
解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为
2＝，∴＝，∴ω＝.
∵当x＝时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－
(k∈Z).
∵－π≤φ<π，∴φ＝.
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答案
7.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，其图象最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是和，则f(x)图象的对称轴方程为________.
解析 由题意得A＝，T＝2＝π，∴＝π，
∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ).∵点在f(x)的图象上，∴f＝0，∴sin＝0，
∴sin＝0.又∵－π<φ<0，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.令2x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z).∴f(x)图象的对称轴方程是x＝＋(k∈Z).
答案 x＝＋(k∈Z)
8.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f()＝－，则f(0)＝________.
解析 由题图可知＝－＝，T＝，
则可补全函数图象得f＝0，
故f为函数的一个中心对称点，
所以得f(0)＝－f＝.
答案
三、解答题
9.已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤)上一个最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的连线与x轴交于点(6，0).
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在x∈[－6，0]上的值域.
解 (1)由题意可知A＝，＝6－2＝4，
∴T＝16.即＝16，∴ω＝，
∴y＝sin.
又图象过最高点(2，)，∴sin＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
φ＝＋2kπ，k∈Z，
由|φ|≤，得φ＝，
∴y＝sin.
(2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.
即函数在x∈[－6，0]上的值域为[－，1].
10.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示.
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(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求函数g(x)在上的最值并求出相应x的值.
解 (1)由题图知A＝2，T＝－＝＝，
∴T＝π＝，∴|ω|＝2，∵ω>0，∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，
∵由题图知f(x)过，
∴f＝2sin＝2，
∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
∵2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的递增区间为，k∈Z.
(2)g(x)＝2sin＝2sin，
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值为－2，
当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取最大值为1.
能力提升
11.若将函数y＝sin
2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调递增区间是________.
解析 由题意得平移后的函数解析式为
y＝sin＝sin，
其单调递增区间满足－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
答案 ，k∈Z
12.在①f(x)的图象关于点对称；②对任意的x∈R都有f＝f(x)；③f(x)的最小正周期为π；④f(x)在上为增函数，这四个条件中任选两个补充在下面的题目中，并解答.
已知f(x)＝sin(ωx＋φ)，，若________，则ω、φ唯一确定.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在x∈上的图象与直线y＝m有三个交点，横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1注：如果选择条件多于两个，就按前两个条件的解答记分.
解 本题选①②、①④、②④答案不唯一，选①③、②③、③④所得答案均为f(x)＝sin.
(1)若选①③，f(x)的最小正周期为π，∴＝π，即ω＝2，
又f(x)的图象关于点对称，
∴sin＝0，
∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)令t＝2x＋，x∈，则t∈，则m∈，
设t1＝2x1＋，t2＝2x2＋，t3＝2x3＋，由y＝sin
t图象得t1＋t2＝π，t2＋t3＝3π；
t1＋2t2＋t3＝2(x1＋2x2＋x3)＋＝4π；
则x1＋2x2＋x3＝.
创新猜想
13.(多选题)已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列命题中正确的是( )
A.函数y＝g(x)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为
B.函数y＝g(x)的图象关于x＝对称
C.函数y＝g(x)的图象关于对称
D.函数y＝g(x)在内为减函数
解析 由题意得ω＝＝2，所以将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度后得到g(x)＝cos，故A正确.
函数g(x)的对称中心的横坐标满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，故C不正确.
对称轴的方程为2x＋＝kπ，
∴x＝－，故B正确.
利用递减区间可求得D正确，故选ABD.
答案 ABD
14.(多空题)将函数f(x)＝2sin
x的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)＝________；若函数g(x)在区间，上单调递增，则实数a的取值范围是________.
解析 将函数f(x)＝2sin
x的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，可得y＝2sin
2x的图象；再向左平移个单位长度得到g(x)＝2sin的图象.
若函数g(x)在区间，上单调递增，
则求得≤a≤，
则实数a的取值范围是.
答案 2sin (共42张PPT)
第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(二)
课标要求
素养要求
1.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式.
2.整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题.
通过函数图象抽象出数学模型，并能研究函数的性质，逐步提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模素养.
新知探究
在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数(其中A，ω，φ为常数)，例如，在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示.
问题 (1)你能根据图象求出A，ω，φ吗？
(2)根据图象你能写出函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间吗？
(3)图象对应函数的对称中心坐标和对称轴方程分别是什么？
(2)递减区间为[2k，2k＋1](k∈Z)，
递增区间为[2k＋1，2k＋2](k∈Z).
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质
R
[－A，A]
kπ
单调递增
单调递减
拓展深化
[微判断]
1.y＝Asin(ωx＋φ)的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.(
)
2.在y＝Asin(ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期.(
)
提示 相邻对称轴间距离为半个周期.
√
×
√
×
[微训练]
答案 π
答案 2
[微思考]
1.如何由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定A，ω，φ的值？
2.如何求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间、对称轴和中心呢？
提示 一般将ωx＋φ看作一个整体，然后借助正弦函数的性质求解.
求单调区间时，若ω<0，则需利用诱导公式化为正值，求最值时，应先确定ωx＋φ的范围，再结合图象求解.
题型一 由图象求三角函数的解析式
解 法一(逐一定参法)
法二(待定系数法)
法三 (图象变换法)
规律方法 已知图象求y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
法一：如果从图象可确定最值和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ.
法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式.
法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin
ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数.
【训练1】 若函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
答案 C
题型二 y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间.
方案一：选条件①
方案二：选条件②
方案三：选条件③
规律方法 研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质的两种方法
(1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；若(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；若[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin
x单调区间的子区间.
(2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin
t的性质.
(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的对称中心；
(2)当x∈[0，4]时，求f(x)的值域.
由图象可知函数f(x)经过点(1，2)，
一、素养落地
二、素养训练
答案 A
A.3或0
B.－3或0
C.0
D.－3或3
答案 D
3.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝________.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合.
满分示范
解 (1)由题意作出f(x)的简图如图.
2.此类问题要求较强的逻辑推理能力和运算能力，解答时应注意规范性，防止不必要的失分.
