(共30张PPT)
8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
课标要求
素养要求
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.
3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.
通过本节的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.
新知探究
理财的方式有很多，如储蓄、债券、股票、保险、外汇、基金、P2P等，因为不同的理财方式有不同的特点，要选择自己合适的理财方式，一定要了解理财产品的收益与风险情况，根据我们所学习的数学知识，并结合自己的经济实力和需求进行选择，最好是多掌握一些理财知识和科学的理财技巧.如果你需要理财的话，你选择理财方式的依据是风险低，相同时间内收益最大化.
问题 函数与我们的日常生活联系密切，不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，我们怎样选择函数模型去拟合呢？
提示 不同的函数，变化趋势不同，我们根据实际问题选择拟合效果较好的函数.
比较三种函数模型的性质，填写下表：
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xα
(α>0)
在(0，＋∞)上的增减性
_________
____________
___________
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随α值而不同
增长速度
ax的增长_______xα的增长，xα的增长_______logax的增长
增长后果
当x足够大时，有_____________
(a>1)
增函数
增函数
增函数
快于
快于
ax>xα>logax
拓展深化
[微判断]
1.当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(
)
2.一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合又能很好地推演和预测.(
)
4.由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>x2(a>1).(
)
提示 当x趋于无穷大时ax>x2(a>1)恒成立.
√
√
√
×
[微训练]
1.已知函数为y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是( )
A.y减少1个单位
B.y增加1个单位
C.y减少2个单位
D.y增加2个单位
解析 结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确.
答案 C
3.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A.y＝log2x
B.y＝2x
C.y＝x2
D.y＝2x
解析 逐个检验可得答案为B.
答案 B
[微思考]
对数函数y＝logax(a>1)，指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，哪个函数的增长速度最快？
提示 在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式，当x足够大时，总有ax>xn>logax(a>1).
题型一 函数模型的增长差异
【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A.y＝2
019x
B.y＝x2
019
C.y＝log2
019x
D.y＝2
019x
则关于x呈指数型函数变化的变量是________.
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1
024
32
768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
解析 (1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
答案 (1)A (2)y2
规律方法 指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.
【训练1】 函数f(x)＝2x和g(x)＝3x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，比较f(3)，g(3)，f(2
021)，g(2
021)的大小.
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝3x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(3)＝8，g(3)＝9，∴f(3)又f(4)>g(4)，∴3从图象上可以看出，当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2
021)>g(2
021).
又g(2
021)>g(3)，∴f(2
021)>g(2
021)>g(3)>f(3).
题型二 函数模型的选取
【例2】 科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9
000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3
000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金
y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.
(1)现有三个奖励函数模型：①f(x)＝0.03x＋8，②f(x)＝0.8x＋200，③f(x)＝100log20x＋50，x∈[3
000，9
000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？
(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？
解 (1)由题意符合公司要求的函数f(x)在[3
000，9
000]为增函数，
①对于函数f(x)＝0.03x＋8，当x＝3
000时，f(3
000)＝98<100，不符合要求；
②对于函数f(x)＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；
③对于函数f(x)＝100log20x＋50，x∈[3
000，9
000]，
显然f(x)为增函数，且当x＝3
000时，f(3
000)>100log2020＋50＝150≥100；又因为f(x)≤f(9
000)
＝100log209
000＋50<100log20160
000＋50＝450；
(2)由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8
000，
所以公司的投资收益至少要达到8
000万元.
规律方法 不同的函数增长模型的特点
对于函数模型选择的问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关键.一次函数模型的增长是匀速的，二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律.
【训练2】 某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
如果我们分别将2016，2017，2018，2019年定义为第一、二、三、四年，现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1).哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？
年份
2016
2017
2018
产量(万)
8
18
30
解 建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30).
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
由(1)(2)可得f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系.
一、素养落地
1.通过对函数增长模型的选取，提升数学建模、数据分析素养.
2.四类不同增长的函数模型
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.
(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.
(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.
3.函数模型的应用
(1)可推演原则：建立模型一定要有意义，既能作理论分析又能计算、推理且能得出正确结论.
(2)反映性原则：建立模型应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
二、素养训练
1.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表所示：
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A.y1，y2，y3
B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1
D.y1，y3，y2
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
655
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
解析 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，变量y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，变量
y1随x的变化符合此规律.故选C.
答案 C
2.下列函数中增长速度越来越慢的是( )
A.y＝6x
B.y＝log6x
C.y＝x6
D.y＝6x
解析 D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意.
答案 B
3.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看更为有前途的生意是________(填序号).
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；
③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
解析 增长速度最快的函数为y＝10×1.05x，故选①.
答案 ①
4.现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型.
解析 将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型.
答案 甲
5.某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解 作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示
).
观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求.8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
课标要求
素养要求
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.
通过本节的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.
新知探究
理财的方式有很多，如储蓄、债券、股票、保险、外汇、基金、P2P等，因为不同的理财方式有不同的特点，要选择自己合适的理财方式，一定要了解理财产品的收益与风险情况，根据我们所学习的数学知识，并结合自己的经济实力和需求进行选择，最好是多掌握一些理财知识和科学的理财技巧.如果你需要理财的话，你选择理财方式的依据是风险低，相同时间内收益最大化.
问题 函数与我们的日常生活联系密切，不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，我们怎样选择函数模型去拟合呢？
提示 不同的函数，变化趋势不同，我们根据实际问题选择拟合效果较好的函数.
比较三种函数模型的性质，填写下表：
函数性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xα(α>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随α值而不同
增长速度
ax的增长快于xα的增长，xα的增长快于logax的增长
增长后果
当x足够大时，有ax>xα>logax(a>1)
拓展深化
[微判断]
1.当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(√)
2.一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合又能很好地推演和预测.(√)
3.函数y＝logx衰减的速度越来越慢.(√)
4.由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>x2(a>1).(×)
提示 当x趋于无穷大时ax>x2(a>1)恒成立.
[微训练]
1.已知函数为y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是( )
A.y减少1个单位
B.y增加1个单位
C.y减少2个单位
D.y增加2个单位
解析 结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确.
答案 C
2.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A.y＝ex
B.y＝ln
x
C.y＝x2
D.y＝e－x
解析 结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确.
答案 A
3.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A.y＝log2x
B.y＝2x
C.y＝x2
D.y＝2x
解析 逐个检验可得答案为B.
答案 B
[微思考]
对数函数y＝logax(a>1)，指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，哪个函数的增长速度最快？
提示 在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式，当x足够大时，总有ax>xn>logax(a>1).
题型一 函数模型的增长差异
【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A.y＝2
019x
B.y＝x2
019
C.y＝log2
019x
D.y＝2
019x
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1
024
32
768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________.
解析 (1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
答案 (1)A (2)y2
规律方法 指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.
【训练1】 函数f(x)＝2x和g(x)＝3x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1INCLUDEPICTURE"W80.TIF"
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\
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(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，比较f(3)，g(3)，f(2
021)，g(2
021)的大小.
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝3x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(3)＝8，g(3)＝9，∴f(3)又f(4)>g(4)，∴3从图象上可以看出，当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2
021)>g(2
021).
又g(2
021)>g(3)，∴f(2
021)>g(2
021)>g(3)>f(3).
题型二 函数模型的选取
【例2】 科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9
000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3
000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金
y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.
(1)现有三个奖励函数模型：①f(x)＝0.03x＋8，②f(x)＝0.8x＋200，③f(x)＝100log20x＋50，x∈[3
000，9
000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？
(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？
解 (1)由题意符合公司要求的函数f(x)在[3
000，9
000]为增函数，
且对?x∈[3
000，9
000]，恒有f(x)≥100且f(x)≤.
①对于函数f(x)＝0.03x＋8，当x＝3
000时，f(3
000)＝98<100，不符合要求；
②对于函数f(x)＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；
③对于函数f(x)＝100log20x＋50，x∈[3
000，9
000]，
显然f(x)为增函数，且当x＝3
000时，f(3
000)>100log2020＋50＝150≥100；又因为f(x)≤f(9
000)
＝100log209
000＋50<100log20160
000＋50＝450；
而≥＝600，所以当x∈[3
000，9
000]时，f(x)max≤.
所以f(x)≥恒成立；因此f(x)＝100log20x＋50为满足条件的函数模型.
(2)由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8
000，
所以公司的投资收益至少要达到8
000万元.
规律方法 不同的函数增长模型的特点
对于函数模型选择的问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关键.一次函数模型的增长是匀速的，二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律.
【训练2】 某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2016
2017
2018
产量(万)
8
18
30
如果我们分别将2016，2017，2018，2019年定义为第一、二、三、四年，现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1).哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？
解 建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30).
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，
可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点的坐标代入可得
解得a＝，b＝，c＝－42，
则g(x)＝×－42，
故g(4)＝×－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由(1)(2)可得f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系.
一、素养落地
1.通过对函数增长模型的选取，提升数学建模、数据分析素养.
2.四类不同增长的函数模型
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.
(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.
(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.
3.函数模型的应用
(1)可推演原则：建立模型一定要有意义，既能作理论分析又能计算、推理且能得出正确结论.
(2)反映性原则：建立模型应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
二、素养训练
1.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表所示：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
655
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A.y1，y2，y3
B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1
D.y1，y3，y2
解析 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，变量y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，变量
y1随x的变化符合此规律.故选C.
答案 C
2.下列函数中增长速度越来越慢的是( )
A.y＝6x
B.y＝log6x
C.y＝x6
D.y＝6x
解析 D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意.
答案 B
3.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看更为有前途的生意是________(填序号).
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；
③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
解析 增长速度最快的函数为y＝10×1.05x，故选①.
答案 ①
4.现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型.
解析 将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型.
答案 甲
5.某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解 作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示
).
观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求.
基础达标
一、选择题
1.下表是函数值y随自变量x变化而变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型
B.幂函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
解析 根据已知数据可知自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.
答案 A
2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A.y＝2t
B.y＝2t2
C.y＝t3
D.y＝log2t
解析 由图知该函数可能是y＝log2t.故选D.
答案 D
3.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N
)之间关系的是( )
A.y＝100x
B.y＝50x2－50x＋100
C.y＝50×2x
D.y＝100x
解析 将数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.
答案 C
4.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041
8
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2
B.y＝(x2－1)
C.y＝log2
x
D.y＝2x
解析 由表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
答案 B
5.2003年至2015年河北省电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，下列函数模型中最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是( )
A.f(x)＝aln
x＋b
B.f(x)＝aex＋b
C.f(x)＝eax＋b
D.f(x)＝ax2＋bx＋c
解析 由图象可得这13年间电影放映场次逐年变化规律是随着x的增大，f(x)逐渐增大，图象逐渐上升.对于A，a>0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a<0时，为单调递减函数，不符合图象的特征；对于B，取a>0，b>0，可得满足条件的函数；对于C，取a>0，b>0，可得满足条件的函数；对于D，f(x)＝ax2＋bx＋c，取a>0，－<0，可得满足条件的函数.
答案 A
二、填空题
6.某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.62
7.00
8.86
则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的序号是________.
解析 若模型为②，则f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3,
此时f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得即解得经检验是最适合的函数模型.
答案 ①
7.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品________万件.
解析 由题意得解得
∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份该产品的产量为
y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件).
答案 1.75
8.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年(记为第1年)全年投入研发资金5
300万元，在此基础上以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7
000万元的年份是________(参考数据：lg
1.08≈0.03，lg
5.3≈0.72，lg
7≈0.85).
解析 设从第n年开始超过7
000万元，
则5
300×(1＋8%)n－1>7
000，
即(n－1)lg
1.08>lg
7－lg
5.3，
n－1>≈≈4.3，取n＝5，又2
018＋5＝2
023，
因此开始超过7
000万元的年份是2023年.
答案 2023
三、解答题
9.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.
(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由.
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2
L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5
L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
解 (1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适.
(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2
L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5
L，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，得解得a＝－，b＝，所以函数解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5，8]).
因为y＝－x2＋x＝－＋，所以当x＝时，年人均A饮料的销售量最多是
L.
10.某工厂生产一种产品，根据预测可知该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.52
7.00
8.49
现有三种函数模型：f(x)＝ax＋b，f(x)＝a·2x＋b，f(x)＝log0.5x＋a
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取x＝1，3这两年的数据求出相应的函数解析式；
(2)因受市场环境的影响，2020年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2020年的年产量.
解 (1)符合条件的函数模型是f(x)＝ax＋b；若模型为f(x)＝a·2x＋b，
由已知得∴a＝，b＝3，∴f(x)＝×2x＋3，
所以f(2)＝5，f(4)＝11，与已知差距较大；
若模型为f(x)＝log0.5x＋a，f(x)为减函数，与已知不符；
若模型为f(x)＝ax＋b，由∴a＝，b＝，
∴f(x)＝x＋，所以f(2)＝5.5，f(4)＝8.5，与已知符合较好.所以相应的函数为f(x)＝x＋.
(2)2020年预计年产量为f(6)＝×6＋＝11.5，
11.5×(1－30%)＝8.05，
所以估计2020年产量应为8.05万件.
能力提升
11.安徽怀远石榴(Punicagranatum)自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是( )
(参考数据：1.015100≈4.432，lg
11≈1.041)
A.y＝0.04x
B.y＝1.015x－1
C.y＝tan
D.y＝log11(3x－10)
解析 对于函数：y＝0.04x，当x＝100时，y＝4>3不合题意；
对于函数：y＝1.015x－1，当x＝100时，y＝3.432>3不合题意；
对于函数：y＝tan，不满足递增，不合题意；
对于函数：y＝log11(3x－10)，满足x∈(6，100]时，函数增函数，
且y≤log11(3×100－10)＝log11290331＝3，知符合题意.故选D.
答案 D
12.假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2002年以来经过的年数.
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
40
P2/万元
20
40
(1)求函数P1＝f(t)的解析式；
(2)求函数P2＝g(t)的解析式；
(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异.
解 (1)因为P1是按直线上升的房价，设f(t)＝kt＋b，t≥0，
由f(0)＝k·0＋b＝20，f(10)＝k·10＋b＝40，
可得k＝2，b＝20，即P1＝2t＋20，t≥0.
(2)因为P2是按指数增长的房价，设g(t)＝a0at，t≥0，
由g(0)＝a0a0＝20，g(10)＝a0a10＝40，
可得a0＝20，a＝2，即P2＝20×2t，t≥0.
(3)由(1)和(2)知，当t＝5时，P1＝30，P2＝20；
当t＝15时，P1＝50，P2＝40；当t＝20时，P1＝60，
P2＝80，
则表格如下：
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
30
40
50
60
P2/万元
20
20
40
40
80
则图象为：
根据表格和图象可知：房价按函数P1＝f(t)呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按函数P2＝g(t)呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例.
创新猜想
13.(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为：f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，以下说法正确的是( )
A.当x>1时，乙走在最前面
B.当01时，丁走在最后面
C.丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
解析 f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型.当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，∴A不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x＝1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当01时，丁走在最后面，B正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴D正确.结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正确.
答案 BCD
14.(多空题)已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2
500
mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y
mg.
(1)y与x的关系式为________；
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1
500
mg以上时，才有疗效；而低于500
mg时，病人就有危险.则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过________小时(精确到0.1).
(参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1)
解析 (1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2
500
mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2
500×(1－20%)x＝2
500×0.8x(mg)，即y与x的关系式为y＝2
500×0.8x.
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1
500
mg以上时，才有疗效；而低于500
mg时，病人就有危险，∴令2
500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2，∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调递减函数，∴x≤7.2，
∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.
答案 (1)y＝2
500×0.8x (2)7.2
