第三课时 正切函数的图象与性质
课标要求
素养要求
1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题.
通过利用正切函数的图象，发现数学规律，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
学习了y＝sin
x，y＝cos
x的图象与性质后，明确了y＝sin
x，y＝cos
x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值.
问题 类比y＝sin
x，y＝cos
x的图象与性质.
(1)y＝tan
x是周期函数吗？有最大(小)值吗？
(2)正切函数的图象是连续的吗？
提示 (1)y＝tan
x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值.
(2)正切函数的图象在定义域上不是连续的.
函数y＝tan
x的图象和性质
图象与性质是函数的灵魂
解析式
y＝tan
x
正切曲线的图象
INCLUDEPICTURE
"S79.tif"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"S79.tif"
\
MERGEFORMAT
定义域
{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在区间(k∈Z)都是增函数
对称中心
(k∈Z)
拓展深化
[微判断]
1.函数y＝tan
x在其定义域上是增函数.(×)
提示 y＝tan
x在区间(k∈Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函数.
2.函数y＝tan
2x的周期为π.(×)
提示 y＝tan
2x的周期为.
3.正切函数y＝tan
x无单调递减区间.(√)
4.函数y＝2tan
x，x∈的值域是[0，＋∞).(√)
[微训练]
1.tan
x≥1的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵tan
x≥1，由图象知，＋kπ≤x<＋kπ(k∈Z).
故选D.
答案 D
2.函数y＝2tan
(－x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数，又是偶函数
D.非奇非偶函数
解析 y＝2tan
(－x)＝－2tan
x，为奇函数.
答案 A
3.与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是
( )
A.x＝
B.x＝－
C.x＝
D.x＝
解析 ∵2x＋≠＋kπ(k∈Z)，∴x≠＋(k∈Z)，故选D.
答案 D
[微思考]
1.正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形吗？
提示 y＝tan
x是中心对称图形，对称中心为(k∈Z)，不是轴对称图形.
2.正切函数在其定义域内为增函数是否正确？为什么？
提示 不正确，因为正切函数不连续，只能说在每个区间(k∈Z)上为增函数.
题型一 正切函数的定义域、值域问题
【例1】 (1)函数y＝3tan(－)的定义域为________；
(2)函数y＝tan2x－2tan
x的值域为________.
解析 (1)由－≠＋kπ，k∈Z，
得x≠－－4kπ，k∈Z，
即函数的定义域为{x|x≠－－4kπ，k∈Z}.
(2)令u＝tan
x，∵|x|≤，
∴由正切函数的图象知u∈[－，]，
∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，
∵二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，
∴当u＝1时，ymin＝－1，
当u＝－时，ymax＝3＋2，
∴原函数的值域为[－1，3＋2].
答案 (1){x|x≠－－4kπ，k∈Z} (2)[－1，3＋2]
规律方法 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解.
【训练1】 求函数y＝＋lg(1－tan
x)的定义域.
解 由题意得即－1≤tan
x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.
又y＝tan
x的周期为π，
所以函数的定义域是(k∈Z).
题型二 求正切函数的单调区间
【例2】 求函数y＝tan的单调区间.
解 y＝tan＝－tan，
由－＋kπ
规律方法 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
【训练2】 求函数y＝3tan的单调区间.
解 令kπ－<2x＋即－∴函数y＝3tan的单调增区间为
(k∈Z)，无递减区间.
题型三 利用正切函数的单调性比较大小
【例3】 比较大小：
(1)tan
32°________tan
215°；
(2)tan________tan.
解析 (1)tan
215°＝tan(180°＋35°)＝tan
35°，
∵当0°x单调递增，32°<35°，
∴tan
32°35°＝tan
215°.
(2)tan＝tan＝tan，
tan＝tan＝tan，
∵y＝tan
x在上单调递增，且－<－，
∴tan答案 (1)< (2)<
规律方法 运用正切函数的单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
【训练3】 比较下列正切值的大小：
(1)tan
1
320°与tan
70°；
(2)tan与tan.
解 (1)tan
1
320°＝tan(360°×3＋240°)
＝tan
240°＝tan
60°，
因为函数y＝tan
x在上为增函数，
所以tan
60°70°，即tan
1
320°70°.
(2)tan＝tan＝tan，
因为y＝tan
x在上为增函数，
所以tan>tan.即tan>tan.
题型四 正切函数图象、性质的应用
【例4】 设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
解 (1)∵ω＝，
∴最小正周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z).
(2)令－＝0，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝；令－＝，则x＝.
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图).
规律方法 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan
x的对称中心为，k∈Z.
【训练4】 画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.
解 f(x)＝tan|x|化为
f(x)＝
根据y＝tan
x的图象，作出f(x)＝tan|x|的图象，如图所示，
由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，)，(kπ＋，kπ＋π)(k∈N)；单调减区间为(－，0]，(kπ－π，kπ－)(k＝0，－1，－2，…).
一、素养落地
1.通过本节课的学习，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.
2.正切函数y＝tan
x有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.
3.(1)正切函数y＝tan
x的定义域是，
值域是R.
(2)正切函数y＝tan
x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)
(Aω≠0)的周期为T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上递增，不能写成闭区间.正切函数无单调减区间.
二、素养训练
1.函数y＝2tan(2x＋)的定义域为( )
A.{x|x≠}
B.{x|x≠－}
C.{x|x≠＋kπ，k∈Z}
D.{x|x≠＋kπ，k∈Z}
解析 由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋kπ，k∈Z，故函数的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}.
答案 D
2.函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析 由－＋kπ答案 C
3.比较大小：tan________tan.
解析 因为tan>0，tan<0，所以tan>tan.
答案 >
4.若tan≤1，则x的取值范围是________.
解析 由题意可得－＋kπ<2x－≤＋kπ，k∈Z，解之得－＋kπ答案
5.求函数y＝tan
2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象.
解 由
2x≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋kπ，k∈Z，
即函数的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，
值域为(－∞，＋∞)，周期为T＝，对应图象如图所示：
基础达标
一、选择题
1.已知x∈[0，2π]，y＝＋的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意知
∴函数的定义域为，故选C.
答案 C
2.关于函数y＝tan，下列说法正确的是( )
A.是奇函数
B.在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为π
解析 利用排除法和代入法，T＝，故D错误，当x＝时，y＝tan＝tan
0＝0，故选C.
答案 C
3.已知f(x)＝tan，则使f(x)≥成立的x的集合是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析 因为f(x)＝tan，
所以f(x)≥化为tan≥，
即＋kπ≤2x＋<＋kπ，k∈Z；
解得＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z，
故使f(x)≥成立的x的集合是
，k∈Z.
答案 A
4.函数y＝2tan的最小正周期是( )
A.
B.
C.
D.π
解析 T＝＝.
答案 B
5.函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图象是( )
解析 当xx，y＝2tan
x<0；
当x＝π时，y＝0；当πx>sin
x，y＝2sin
x<0.故选D.
答案 D
二、填空题
6.比较大小：tan________tan.
解析 tan＝tan，tan＝tan，
又y＝tan
x在上是增函数，
所以tan答案 <
7.已知点M(－3，－1)，若函数y＝tanx(x∈(－2，2))的图象与直线y＝1交于点A，则MA＝________.
解析 令y＝tanx＝1，解得x＝1＋4k，k∈Z，
又x∈(－2，2)，所以x＝1，
所以函数y＝tanx与直线y＝1的交点为A(1，1)，
又M(－3，－1)，
所以MA＝＝2.
答案 2
8.已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为，则φ的值为________.
解析 由于是函数f(x)图象的对称中心，所以＋φ＝π，k∈Z，所以φ＝π－，k∈Z，由于|φ|<，故取k＝0，1，φ＝－，.
答案 或－
三、解答题
9.画出函数y＝|tan
x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.
解 由y＝|tan
x|得，
y＝
其图象如图：
由图象可知，函数y＝|tan
x|是偶函数.
函数y＝|tan
x|的周期T＝π，
函数y＝|tan
x|的单调递增区间(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z).
10.已知函数f(x)＝asin，g(x)＝btan(k>0)，它们的周期之和为，且f＝g，f＝－·g＋1，求这两个函数的解析式，并求g(x)的单调递增区间.
解 根据题意，可得
解得故f(x)＝sin，
g(x)＝tan.
令kπ－<2x－得－所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z).
能力提升
11.下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A.在区间上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点成中心对称
D.图象关于直线x＝成轴对称
解析 令kπ－答案 B
12.已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f的大小.
解 (1)∵f(x)＝3tan＝－3tan，
∴函数f(x)的最小正周期为T＝4π.
令kπ－<－得4kπ－∴函数y＝3tan的单调增区间为
，k∈Z，
∴函数f(x)＝－3tan的单调减区间为
，k∈Z.
(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，
f＝3tan＝3tan＝－3tan.
∵0<<<，且y＝tan
x在上单调递增.
∴tan∴－3tan>－3tan，即f(π)>f.
创新猜想
13.(多选题)已知函数f(x)＝tan
x，对任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论中正确的是( )
A.f(x1＋π)＝f(x1)
B.f(－x1)＝f(x1)
C.>0
D.f>(x1·x2>0)
解析 由于f(x)＝tan
x的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tan
x为奇函数，故B不正确；C表明函数为增函数，而f(x)＝tan
x为区间上的增函数，故C正确；由函数f(x)＝tan
x的图象可知，函数在区间上有f>，在区间上有f<，故D不正确.
答案 AC
14.(多空题)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)，则f(x)＝________，f(x)≥的x的取值范围为________.
解析 由题意可得f(x)的周期为
T＝－＝＝，所以ω＝，
得f(x)＝Atan，它的图象过点，
所以tan＝0，即tan＝0，
所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝－，
于是f(x)＝Atan，
它的图象过点(0，－3)，
所以Atan＝－3，得A＝3.
所以f(x)＝3tan.
由3tan≥，tan≥.
所以kπ＋≤x－解之得＋≤x<＋，k∈Z.
答案 3tan (k∈Z)(共38张PPT)
第三课时 正切函数的图象与性质
课标要求
素养要求
1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.
2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题.
通过利用正切函数的图象，发现数学规律，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
学习了y＝sin
x，y＝cos
x的图象与性质后，明确了y＝sin
x，y＝cos
x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值.
问题 类比y＝sin
x，y＝cos
x的图象与性质.
(1)y＝tan
x是周期函数吗？有最大(小)值吗？
(2)正切函数的图象是连续的吗？
提示 (1)y＝tan
x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值.
(2)正切函数的图象在定义域上不是连续的.
函数y＝tan
x的图象和性质
图象与性质是函数的灵魂
解析式
y＝tan
x
正切曲线的图象
定义域
__________________________
R
π
奇函数
拓展深化
[微判断]
1.函数y＝tan
x在其定义域上是增函数.(
)
2.函数y＝tan
2x的周期为π.(
)
×
×
√
√
[微训练]
1.tan
x≥1的解集为( )
答案 D
2.函数y＝2tan
(－x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数，又是偶函数
D.非奇非偶函数
解析 y＝2tan
(－x)＝－2tan
x，为奇函数.
答案 A
答案 D
[微思考]
1.正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形吗？
2.正切函数在其定义域内为增函数是否正确？为什么？
题型一 正切函数的定义域、值域问题
∵二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，
∴当u＝1时，ymin＝－1，
规律方法 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解.
又y＝tan
x的周期为π，
题型二 求正切函数的单调区间
题型三 利用正切函数的单调性比较大小
【例3】 比较大小：
解析 (1)tan
215°＝tan(180°＋35°)＝tan
35°，
∵当0°x单调递增，32°<35°，
∴tan
32°35°＝tan
215°.
答案 (1)< (2)<
规律方法 运用正切函数的单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
【训练3】 比较下列正切值的大小：
(1)tan
1
320°与tan
70°；
解 (1)tan
1
320°＝tan(360°×3＋240°)
＝tan
240°＝tan
60°，
所以tan
60°70°，即tan
1
320°70°.
题型四 正切函数图象、性质的应用
【训练4】 画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.
根据y＝tan
x的图象，作出f(x)＝tan|x|的图象，如图所示，
一、素养落地
二、素养训练
答案 D
答案 C
答案 >
5.求函数y＝tan
2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象.(共35张PPT)
7.3.2 三角函数的图象与性质
第一课时 正、余弦函数的图象与性质(一)
课标要求
素养要求
1.能利用三角函数的定义画y＝sin
x，y＝cos
x的图象.
2.掌握“五点法”画y＝sin
x，y＝cos
x的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
3.理解y＝sin
x与y＝cos
x图象之间的联系.并能利用图象解决问题.
通过利用定义和“五点作图法”作y＝sin
x与y＝cos
x的图象，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
新知探究
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.图(2)就是某个简谐运动的图象.
问题 1.通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数图象的直观印象是怎样的？
2.你能比较精确地画出y＝sin
x在[0，2π]上的图象吗？
3.以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y＝sin
x，x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？
提示 1.正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线.
2.能，利用特殊角的三角函数的定义.
3.五点作图法
1.正弦函数、余弦函数的图象
两者的图象可以通过左右平移得到
2.正弦函数的图象叫作__________；
余弦函数的图象叫做__________.
3.正、余弦函数的性质(一)
[－1，1]
[－1，1]
(2kπ＋1)π(k∈Z)
?
y＝sin
x
y＝cos
x
定义域
R
R
值域
值域为：___________
当x＝_____________时，ymax＝1
当x＝________________时，ymin＝－1
值域为：___________
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1
当x＝_________________________时，ymin＝－1
正弦曲线
余弦曲线
周期性
T＝______
T＝______
奇偶性
_____
______
2π
2π
奇
偶
拓展深化
[微判断]
1.正弦函数y＝sin
x的图象向左右和上下无限伸展.(
)
提示 正弦函数y＝sin
x的图象向左右无限伸展，但上下限定在直线y＝1和y＝－1之间.
2.函数y＝sin
x与y＝sin(－x)的图象完全相同.(
)
提示 二者图象不同，而是关于y轴对称.
×
×
4.余弦函数y＝cos
x的图象与y＝sin
x的图象形状和位置都不一样.(
)
提示 函数y＝cos
x与y＝sin
x的图象形状一样，只是位置不同.
√
×
[微训练]
1.用“五点法”作函数y＝3－cos
x的图象，下列各点中不属于五点作图法中的五个关键点的是( )
解析 可以利用代入法，(π，－1)不满足解析式，故选A.
答案 A
2.函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是( )
解析 y＝sin(－x)＝－sin
x，故图象与y＝sin
x的图象关于x轴对称，故选B.
答案 B
3.下列函数图象相同的是( )
解析 利用诱导公式可知D图象相同.
答案 D
[微思考]
1.怎样由y＝sin
x的图象得y＝cos
x的图象？
2.观察正、余弦函数的图象，y＝sin
x与y＝cos
x是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？
提示 y＝sin
x与y＝cos
x既是中心对称图形又是轴对称图形.
题型一 “五点法”作图的应用
【例1】 利用“五点法”作出函数y＝1－sin
x(0≤x≤2π)的简图.
解 (1)取值列表：
(2)描点连线，如图所示：
【训练1】 利用“五点法”作出函数y＝－1－cos
x(0≤x≤2π)的简图.
解 (1)取值列表如下：
(2)描点连线，如图所示.
题型二 正弦、余弦函数图象的应用
解 画出y＝sin
x，x∈[0，2π]的草图如图.
【迁移2】 (变换结论)函数y＝log2(2sin
x＋1)的定义域为________.
规律方法 用三角函数图象解三角方程或不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式一写出方程或不等式的解集.同时注意区间端点的取舍.
【训练2】 求下列函数的定义域.
解 (1)要使函数有定义，需满足2cos2x＋sin
x－1≥0，
即2sin2x－sin
x－1≤0，
一、素养落地
1.通过本节课的作图和正、余弦函数图象的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
2.对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)正弦函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.
3.作函数y＝asin
x＋b的图象的步骤
二、素养训练
1.用“五点法”作函数y＝2sin
x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
解析 由“五点法”可知选A.
答案 A
解析 函数y＝－sin
x与y＝sin
x的图象关于x轴对称，故选D.
答案 D
答案 两
解 (1)列表(共32张PPT)
第二课时 正、余弦函数的图象与性质(二)
课标要求
素养要求
1.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
2.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的单调性，并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.
借助y＝sin
x与y＝cos
x的图象，理清单调区间和取得最值的条件，构建直观模型，重点提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
新知探究
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径.
问题 (1)函数y＝sin
x与y＝cos
x也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是y＝sin
x，y＝cos
x的哪些性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝sin
x，y＝cos
x的哪些性质？y＝sin
x，y＝cos
x在什么位置取得最大(小)值？
提示 (1)单调性. (2)最值，波峰和波谷.
正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中k∈Z)
?
正弦函数
余弦函数
图象
[－1，1]
[－1，1]
[－π＋2kπ，2kπ]
[2kπ，π＋2kπ]
2kπ
π＋2kπ
拓展深化
[微判断]
1.正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.(
)
提示 正弦函数、余弦函数在定义域内不单调.
提示 余弦函数最大值为1.
3.余弦函数y＝cos
x在[0，π]上是减函数.(
)
×
×
√
[微训练]
答案 [1，3]
2.函数y＝2－sin
x取得最大值时x的值为________.
3.比较sin
250°与sin
260°的大小.
解 ∵sin
250°＝sin
(180°＋70°)＝－sin
70°，sin
260°＝sin
(180°＋80°)＝－sin
80°，而sin
70°80°，∴－sin
70°>－sin
80°.∴sin
250°>sin
260°.
[微思考]
2.正弦函数y＝sin
x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.
(1)除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？
(2)正弦函数是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？
(3)余弦函数y＝cos
x呢？有以上的性质吗？
提示 (1)y＝sin
x还有其他对称中心，它们为点(kπ，0)(k∈Z).
(3)y＝cos
x既是中心对称图形，又是轴对称图形.
题型一 求正弦、余弦函数的单调区间
要求y＝－2sin
z的单调递增区间，即求sin
z的单调递减区间，
规律方法 用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.
题型二 利用正弦、余弦函数的单调性比较大小
【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
规律方法 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.
【训练2】 比较下列各组数的大小：
题型三 正弦、余弦函数的最值(值域)问题
【例3】 求下列函数的值域：
(2)y＝cos2x－4cos
x＋5，令t＝cos
x，则－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，当t＝－1，函数取得最大值10；
t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2，10].
规律方法 求三角函数值域或最值的常用方法
(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性求出y＝sin
t的最值(值域).
(2)形如y＝asin2x＋bsin
x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin
x，将函数y＝asin2x＋bsin
x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).
(3)对于形如y＝asin
x(或y＝acos
x)的函数的最值还要注意对a的讨论.
解 ∵y＝a－bcos
x(b>0)，
∴y＝－4acos
bx＝－2cos
x，
所以函数y＝－4acos
bx的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.
一、素养落地
3.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
4.求三角函数值域或最值的常用方法：
将y表示成以sin
x(或cos
x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.
通过上述问题，不断提高学生的数学运算、逻辑推理的素养.
二、素养训练
A.[－2，2]
B.[0，2]
C.[－2，0]
D.[－1，1]
答案 A
2.下列关系式中正确的是( )
A.sin
11°10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
解析 因为sin
168°＝sin
12°，cos
10°＝sin
80°，由正弦函数的单调性得sin
11°12°80°，即sin
11°168°10°.
答案 C7.3.2 三角函数的图象与性质
第一课时 正、余弦函数的图象与性质(一)
课标要求
素养要求
1.能利用三角函数的定义画y＝sin
x，y＝cos
x的图象.2.掌握“五点法”画y＝sin
x，y＝cos
x的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解y＝sin
x与y＝cos
x图象之间的联系.并能利用图象解决问题.
通过利用定义和“五点作图法”作y＝sin
x与y＝cos
x的图象，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
教材知识探究
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.图(2)就是某个简谐运动的图象.
问题 1.通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数图象的直观印象是怎样的？
2.你能比较精确地画出y＝sin
x在[0，2π]上的图象吗？
3.以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y＝sin
x，x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？
提示 1.正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线.
2.能，利用特殊角的三角函数的定义.
3.五点作图法
y＝sin
x的五点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)；
y＝cos
x的五点：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
1.正弦函数、余弦函数的图象
两者的图象可以通过左右平移得到
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
图象
图象画法
“五点法”
“五点法”
关键五点
(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)
(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)
2.正弦函数的图象叫作正弦曲线；
余弦函数的图象叫做余弦曲线.
3.正、余弦函数的性质(一)
y＝sin
x
y＝cos
x
定义域
R
R
值域
值域为：[－1，1]当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
值域为：[－1，1]当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1当x＝(2kπ＋1)π(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
T＝2π
T＝2π
奇偶性
奇
偶
拓展深化
[微判断]
1.正弦函数y＝sin
x的图象向左右和上下无限伸展.(×)
提示 正弦函数y＝sin
x的图象向左右无限伸展，但上下限定在直线y＝1和y＝－1之间.
2.函数y＝sin
x与y＝sin(－x)的图象完全相同.(×)
提示 二者图象不同，而是关于y轴对称.
3.直线y＝与函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象有两个交点.(√)
4.余弦函数y＝cos
x的图象与y＝sin
x的图象形状和位置都不一样.(×)
提示 函数y＝cos
x与y＝sin
x的图象形状一样，只是位置不同.
[微训练]
1.用“五点法”作函数y＝3－cos
x的图象，下列各点中不属于五点作图法中的五个关键点的是( )
A.(π，－1)
B.(0，2)
C.
D.
解析 可以利用代入法，(π，－1)不满足解析式，故选A.
答案 A
2.函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是( )
解析 y＝sin(－x)＝－sin
x，故图象与y＝sin
x的图象关于x轴对称，故选B.
答案 B
3.下列函数图象相同的是( )
A.y＝sin
x与y＝sin(π＋x)
B.y＝sin与y＝sin
C.y＝sin
x与y＝sin(－x)
D.y＝sin(2π＋x)与y＝sin
x
解析 利用诱导公式可知D图象相同.
答案 D
[微思考]
1.怎样由y＝sin
x的图象得y＝cos
x的图象？
提示 由y＝sin
x的图象向左平移个单位得到y＝cos
x的图象.
2.观察正、余弦函数的图象，y＝sin
x与y＝cos
x是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？
提示 y＝sin
x与y＝cos
x既是中心对称图形又是轴对称图形.
题型一 “五点法”作图的应用
【例1】 利用“五点法”作出函数y＝1－sin
x(0≤x≤2π)的简图.
解 (1)取值列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
1－sin
x
1
0
1
2
1
(2)描点连线，如图所示：
规律方法 “五点法”作形如y＝asin
x＋b(或y＝acos
x＋b)，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下：
(1)列表：取x＝0，，π，π，2π；
(2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内；
(3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来.
在连线过程中要注意曲线的“凸性”.
【训练1】 利用“五点法”作出函数y＝－1－cos
x(0≤x≤2π)的简图.
解 (1)取值列表如下：
X
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
－1－cos
x
－2
－1
0
－1
－2
(2)描点连线，如图所示.
题型二 正弦、余弦函数图象的应用
【例2】 利用正弦曲线，在[0，2π]内，求sin
x＝－的解集.
解 画出y＝sin
x，x∈[0，2π]的
草图如图.
因为sin＝，所以sin＝－，sin＝－.即在[0，2π]内，满足sin
x＝－的x＝或.
所以sin
x＝－的解集为.
【迁移1】 (变换结论)利用正弦曲线，求满足x≤的x的集合.
解 首先作出y＝sin
x在[0，2π]上的图象.如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin
x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin
x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0，2π]上，当x≤成立.
所以x≤的解集为，.
【迁移2】 (变换结论)函数y＝log2(2sin
x＋1)的定义域为________.
解析 要使函数有意义，则必有2sin
x＋1>0，即sin
x>－.画出y＝sin
x，x∈的草图，如图所示.
当－x>－成立，所以sin
x>－的解集为.
可知函数y＝log2(2sin
x＋1)的定义域为{x＋2kπ答案
规律方法 用三角函数图象解三角方程或不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
(3)根据公式一写出方程或不等式的解集.同时注意区间端点的取舍.
【训练2】 求下列函数的定义域.
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝lg
cos
x＋.
解 (1)要使函数有定义，需满足2cos2x＋sin
x－1≥0，
即2sin2x－sin
x－1≤0，
解得－≤sin
x≤1，由正弦函数的图象，可得函数的定义域为.
(2)由题意得x满足不等式组
即作出y＝cos
x的图象，如图所示.
结合图象可得函数的定义域为∪∪.
一、素养落地
1.通过本节课的作图和正、余弦函数图象的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
2.对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)正弦函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.
3.作函数y＝asin
x＋b的图象的步骤
二、素养训练
1.用“五点法”作函数y＝2sin
x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A.0，，π，，2π
B.0，，，，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，，，，
解析 由“五点法”可知选A.
答案 A
2.函数y＝－sin
x，x∈的简图是( )
解析 函数y＝－sin
x与y＝sin
x的图象关于x轴对称，故选D.
答案 D
3.函数y＝cos
x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有________个.
解析 作y＝cos
x，x∈[0，2π]的图象及直线y＝－(图略)，知两函数图象有两个交点.
答案 两
4.在[0，2π]上，sin
x≥的解集为________.
解析 如图所示，在同一坐标系内作出y＝sin
x在[0，2π]上的图象和y＝的图象.
由图可知，满足sin
x≥的x的取值范围是.
答案
5.用“五点法”作出函数y＝1－cos
x的简图.
解 (1)列表
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
1－cos
x
1
1
(2)描点，连线可得函数在[0，2π]上的图象，将函数图象向左，向右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到函数y＝1－cos
x的图象，如图所示.
基础达标
一、选择题
1.对于余弦函数y＝cos
x的图象，有以下描述：
①向左向右无限延伸；②与x轴有无数多个交点；③与y＝sin
x的图象形状一样，只是位置不同.
其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析 如图所示为y＝cos
x的图象，可知①②③描述均正确.
答案 D
2.函数y＝1＋sin
x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 由函数
y＝1＋sin
x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点.
答案 B
3.函数y＝cos
x＋|cos
x|，x∈[0，2π]的大致图象为( )
解析 由题意得
y＝
显然只有D合适.
答案 D
4.如图中的曲线对应的函数解析式是( )
A.y＝|sin
x|
B.y＝sin
|x|
C.y＝－sin
|x|
D.y＝－|sin
x|
解析 排除法，可知C正确.
答案 C
5.方程|x|＝cos
x在(－∞，＋∞)内( )
A.没有根
B.有且仅有一根
C.有且仅有两个根
D.有无穷多个根
解析 在同一坐标系中作出函数y＝|x|及函数y＝cos
x的图象，如图所示.
由图知两函数的图象有两个交点，所以方程|x|＝cos
x有两个根.
答案 C
二、填空题
6.不等式sin
x<－，x∈[0，2π]的解集为________.
解析 如图所示，不等式sin
x<－的解集为.
答案
7.若方程sin
x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________.
解析 由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时，sin
x∈[－1，1]，要使得方程sin
x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
答案
8.有下列命题：
①y＝sin
|x|的图象与y＝sin
x的图象关于y轴对称；
②y＝cos
(－x)的图象与y＝cos
|x|的图象相同；
③y＝|sin
x|的图象与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos
x的图象与y＝cos
(－x)的图象关于y轴对称.
其中正确命题的序号是________.
解析 对于②，y＝cos
(－x)＝cos
x.y＝cos
|x|＝cos
x，故其图象相同；对于④，y＝cos
(－x)＝cos
x，故这两个函数图象关于y轴对称，作图(图略)可知①③均不正确.
答案 ②④
三、解答题
9.求函数y＝＋lg(2sin
x－1)的定义域.
解 要使函数有意义，只要
即
如图所示，
cos
x≤的解集为
.
sin
x>的解集为
，
它们的交集为
，
即为函数的定义域.
10.用“五点法”作出函数y＝1－2sin
x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的范围.
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin
x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围.
解 列表如下：
x
－π
－
0
π
sin
x
0
－1
0
1
0
1－2sin
x
1
3
1
－1
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：
(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，所以
①当x∈(－π，0)时，y>1；
②当x∈(0，π)时，y<1.
(2)由图可知，当直线y＝a与y＝1－2sin
x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1所以a的取值范围是(－1，1)∪(1，3).
能力提升
11.已知函数f(x)＝|sin
x|，x∈[－2π，2π]，则方程f(x)＝的所有根的和为( )
A.0
B.π
C.－π
D.－2π
解析 若f(x)＝，即|sin
x|＝，
则sin
x＝或sin
x＝－.因为x∈[－2π，2π]，
所以方程sin
x＝的4个根关于x＝－对称，
则对称的2个根之和为－π，则4个根之和为－2π，
由对称性可得sin
x＝－的四个根之和为2π.
综上，方程f(x)＝的所有根的和为0.故选A.
答案 A
12.已知函数f(x)＝
(1)作出该函数的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值.
解 (1)作出函数f(x)＝的图象，如图①所示.
(2)因为f(x)＝，所以在图①基础上再作直线y＝，如图②所示，则当－π≤x<0时，由图象知x＝－，当0≤x≤π时，x＝或x＝.
综上，可知x的值为－或或.
创新猜想
13.(多选题)若函数f(x)＝2cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是( )
A.当x∈时，y<0
B.f(0)＝1
C.f＝0
D.围成的封闭图形的面积为2π
解析 作出函数y＝2cos
x，x∈[0，2π]的图象，函数y＝2cos
x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分，由图可知，A正确；B错误；C正确；
INCLUDEPICTURE
"W48.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
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\
MERGEFORMAT
利用图象的对称性，可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，
∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π，
∴D错误.故选AC.
答案 AC
14.(多空题)函数y＝sin
x＋2|sin
x|在[0，2π]上的图象若与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________，若与直线y＝k有四个不同的交点，则k的取值范围是________.
解析 y＝sin
x＋2|sin
x|
＝
由题意在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，若有两个不同的交点，则1INCLUDEPICTURE
"B88.TIF"
\
MERGEFORMAT
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\
MERGEFORMAT
答案 (1，3) (0，1)第二课时 正、余弦函数的图象与性质(二)
课标要求
素养要求
1.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.
借助y＝sin
x与y＝cos
x的图象，理清单调区间和取得最值的条件，构建直观模型，重点提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
新知探究
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径.
INCLUDEPICTURE
"xj88.TIF"
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MERGEFORMAT
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"xj88.TIF"
\
MERGEFORMAT
问题 (1)函数y＝sin
x与y＝cos
x也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是y＝sin
x，y＝cos
x的哪些性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝sin
x，y＝cos
x的哪些性质？y＝sin
x，y＝cos
x在什么位置取得最大(小)值？
提示 (1)单调性. (2)最值，波峰和波谷.
正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中k∈Z)
正弦函数
余弦函数
图象
值域
[－1，1]
[－1，1]
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ]上单调递增，在[＋2kπ，＋2kπ]上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ]上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]上单调递减
最值
x＝＋2kπ时，ymax＝1；x＝－＋2kπ时，ymin＝－1
x＝2kπ时，ymax＝1；x＝π＋2kπ时，ymin＝－1
拓展深化
[微判断]
1.正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.(×)
提示 正弦函数、余弦函数在定义域内不单调.
2.存在实数x，使得cos
x＝.(×)
提示 余弦函数最大值为1.
3.余弦函数y＝cos
x在[0，π]上是减函数.(√)
[微训练]
1.y＝2＋cos
的值域为________.
解析 ∵cos∈[－1，1]，∴2＋cos∈[1，3].
答案 [1，3]
2.函数y＝2－sin
x取得最大值时x的值为________.
解析 当sin
x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，函数y＝2－sin
x的最大值为3.
答案 －＋2kπ(k∈Z)
3.比较sin
250°与sin
260°的大小.
解 ∵sin
250°＝sin
(180°＋70°)＝－sin
70°，sin
260°＝sin
(180°＋80°)＝－sin
80°，而sin
70°80°，∴－sin
70°>－sin
80°.∴sin
250°>sin
260°.
[微思考]
1.函数f(x)＝sin
x在上值域为[－1，1]吗？
提示 不是，利用f(x)＝sin
x在上的图象可以得到.
当x＝时，f(x)max＝1；当x＝时，f(x)min＝－.
2.正弦函数y＝sin
x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.
(1)除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？
(2)正弦函数是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？
(3)余弦函数y＝cos
x呢？有以上的性质吗？
提示 (1)y＝sin
x还有其他对称中心，它们为点(kπ，0)(k∈Z).
(2)y＝sin
x是轴对称图形，对称轴的方程为x＝kπ＋(k∈Z).
(3)y＝cos
x既是中心对称图形，又是轴对称图形.
对称中心的坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z).
题型一 求正弦、余弦函数的单调区间
【例1】 求函数y＝2sin的单调递增区间.
解 y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，则y＝－2sin
z.
要求y＝－2sin
z的单调递增区间，即求sin
z的单调递减区间，
即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z).
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z).
∴函数y＝2sin的单调递增区间为
(k∈Z).
规律方法 用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.
【训练1】 求函数f(x)＝2cos(2x－)的单调递增区间.
解 令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z).
题型二 利用正弦、余弦函数的单调性比较大小
【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
(1)sin
与cos
；
(2)cos与cos.
解 (1)sin
＝sin＝－sin
，
cos
＝cos＝－cos
＝－sin
，
∵0<<<，且y＝sin
x在上是增函数，
∴sin
；
从而－sin
>－sin
，即sin
>cos
.
(2)cos＝cos
π＝cos＝cos
π，
cos＝cos
π＝cos＝cos
.
∵0<<π<π，且y＝cos
x在[0，π]上是减函数，
∴cos
π，即cos规律方法 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.
【训练2】 比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；
(2)cos
与sin
.
解 (1)sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin
，
∵y＝sin
x在上是增函数，
∴sin，即sinπ.
(2)cos
＝cos＝cos
，sin
＝sin＝sin
＝sin＝cos
，
∵0<<<π，且y＝cos
x在[0，π]上是减函数，
∴cos
>cos
，即cos
>sin
.
题型三 正弦、余弦函数的最值(值域)问题
【例3】 求下列函数的值域：
(1)求y＝cos，x∈的值域；
(2)求y＝cos2x－4cos
x＋5的值域.
解 (1)由y＝cos，x∈可得x＋∈，
因为函数y＝cos
x在区间上单调递减，所以函数的值域为.
(2)y＝cos2x－4cos
x＋5，令t＝cos
x，则－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1，函数取得最大值10；
t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2，10].
规律方法 求三角函数值域或最值的常用方法
(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性求出y＝sin
t的最值(值域).
(2)形如y＝asin2x＋bsin
x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin
x，将函数y＝asin2x＋bsin
x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).
(3)对于形如y＝asin
x(或y＝acos
x)的函数的最值还要注意对a的讨论.
【训练3】 若函数y＝a－bcos
x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4acos
bx的最值和最小正周期.
解 ∵y＝a－bcos
x(b>0)，
∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.
由解得
∴y＝－4acos
bx＝－2cos
x，
所以函数y＝－4acos
bx的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋
(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.
3.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
4.求三角函数值域或最值的常用方法：
将y表示成以sin
x(或cos
x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.
通过上述问题，不断提高学生的数学运算、逻辑推理的素养.
二、素养训练
1.y＝2sin的值域是( )
A.[－2，2]
B.[0，2]
C.[－2，0]
D.[－1，1]
解析 因为sin∈[－1，1]，
所以y∈[－2，2].
答案 A
2.下列关系式中正确的是( )
A.sin
11°10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
解析 因为sin
168°＝sin
12°，cos
10°＝sin
80°，由正弦函数的单调性得sin
11°12°80°，即sin
11°168°10°.
答案 C
3.函数f(x)＝cos的单调递减区间是________.
解析 令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即f(x)的单调递减区间是
(k∈Z).
答案 (k∈Z)
4.函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值.
解析 当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z).
答案 4kπ＋(k∈Z)
5.已知函数f(x)＝asin＋b(a>0).当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值.
解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，又a>0，∴f(x)max＝a＋b＝，f(x)min＝－a＋b＝－2.
由得
基础达标
一、选择题
1.函数y＝sin
2x的单调递减区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 令＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
则y＝sin
2x的单调递减区间是(k∈Z).
答案 B
2.下列关于函数y＝4sin
x，x∈[－π，π]的单调性的叙述正确的是( )
A.在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B.在上是增函数，在和上是减函数
C.在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D.在上是增函数，在上是减函数
解析 函数y＝4sin
x的单调增区间是
，k∈Z，
单调减区间是，k∈Z.
∵x∈[－π，π]，∴函数y＝4sin
x
在上是增函数，在和上是减函数，故选B.
答案 B
3.函数y＝|sin
x|的一个单调递增区间是( )
A.
B.(π，2π)
C.
D.(0，π)
解析 作出函数y＝|sin
x|的图象，如图，观察图象可知C正确.
答案 C
4.函数f(x)＝sin在区间上的最小值是( )
A.－1
B.－
C.
D.0
解析 ∵x∈，∴2x－∈，
∴sin∈，
∴f(x)min＝－.
答案 B
5.若函数y＝sin
x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和为( )
A.
B.
C.2π
D.4π
解析 如图所示，当x∈[a1，b]时，值域为，且b－a最大为.当x∈[a2，b]时，值域为，且b－a最小为.∴最大值与最小值之和为(b－a1)＋(b－a2)＝2b－(a1＋a2)＝＋＝2π.
答案 C
二、填空题
6.将sin
1，sin
2，sin
3按从小到大排列的顺序为________________________.
解析 ∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin
2，sin(π－3)＝sin
3.
y＝sin
x在上是增函数，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)1即sin
312.
答案 sin
312
7.若函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________.
解析 因为y＝cos
x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
所以只有－π答案 (－π，0]
8.若f(x)＝2sin
ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
解析 ∵x∈，即0≤x≤，且0<ω<1，
∴0≤ωx≤<.∵f(x)max＝2sin＝，
∴sin＝，＝，即ω＝.
答案
三、解答题
9.求下列函数的最大值和最小值：
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)f(x)＝－2cos2x＋2sin
x＋3，x∈.
解 (1)当x∈时，
2x－∈，由函数图象知，
f(x)＝sin∈＝.
所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.
(2)f(x)＝－2(1－sin2x)＋2sin
x＋3
＝2sin2x＋2sin
x＋1＝2＋.
因为x∈，所以≤sin
x≤1.
当sin
x＝1时，ymax＝5；
当sin
x＝时，ymin＝.
所以f(x)在上的最大值和最小值分别为5，.
10.已知f(x)＝－sin2x＋sin
x＋a.
(1)当f(x)＝0有实数解时，求实数a的取值范围；
(2)若对x∈R，恒有1≤f(x)≤，求实数a的取值范围.
解 (1)由f(x)＝0，
得a＝sin2x－sin
x＝－.
当sin
x＝－1时，amax＝2；当sin
x＝，amin＝－.
∴实数a的取值范围为.
(2)由1≤f(x)≤，得1≤－sin2x＋sin
x＋a≤，
即a≤sin2x－sin
x＋，且a≥sin2x－sin
x＋1对x∈R恒成立.
由sin2x－sin
x＋＝＋4≥4，得a≤4.
由sin2x－sin
x＋1＝＋≤3，得a≥3.
故3≤a≤4，∴实数a的取值范围为[3，4].
能力提升
11.已知函数f(x)＝sin，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)在上递减
C.f(x)的值域是[0，1]
D.当0≤x≤时，f(x)的最小值为－
解析 函数f(x)＝sin的最小正周期为＝π，故排除A；
f＝－1，f＝1，显然不是减函数，故排除B；
由题意知f(x)的值域是[－1，1]，故排除C；
当x∈时，2x－∈，
所以其最小值为sin＝－，故D正确.
答案 D
12.已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.
解 (1)因为f(x)＝cos，x∈R，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
所以当2x－＝0，
即x＝时，
f(x)max＝f＝，
当2x－＝，即x＝时，
f(x)min＝f＝－1.
所以函数f(x)在区间上的最大值为，
此时x＝；最小值为－1，此时x＝.
创新猜想
13.(多选题)关于函数f(x)＝sin
2x，下列选项中错误的是( )
A.f(x)在上是递增的
B.f(x)的图象关于原点对称
C.f(x)的最小正周期为2π
D.f(x)的最大值为2
解析 因为函数y＝sin
x在上是单调递减的，所以f(x)＝sin
2x在上是单调递减的，故A错误；因为f(－x)＝sin
2(－x)＝sin(－2x)＝－sin
2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误.
答案 ACD
14.(多空题)已知函数f(x)＝acos
x＋b(a>0)的最大值为1，最小值为－3，则函数g(x)＝bsin
x＋a的最大值为________；最小值为________.
解析 由题意知解得
故函数g(x)＝－sin
x＋2，因此g(x)max＝1＋2＝3，
g(x)min＝－1＋2＝1.
答案 3 1