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2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
课标要求
素养要求
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
《韩非子》中记载着一个“自相矛盾”的故事.楚国有个卖矛和盾的人，夸他的盾时说：“我的盾很坚固，任何武器都刺不破它.”又夸他的矛说：“我的矛很锐利，没有东西刺不透的.”于是有人质问他：“拿你的矛去刺你的盾，结果会怎样？”那人便哑口无言了.
问题 你能从逻辑的角度说明那个卖矛与盾的人的话中的破绽是什么吗？
提示 全称量词命题的否定是存在量词命题；且命题与其命题的否定一真一假.
1.命题的否定
綈p(x)是对语句p(x)的______，对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“__________”或“此假彼真”.
否定
一真一假
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题的否定
一般地，全称量词命题“?x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题______________________.
(2)存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“?x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题___________________.
改量词，否定结论
?x∈M，綈p(x)
?
x∈M，綈q
(x)
拓展深化
[微判断]
1.命题“?x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题.(
)
提示 应该是存在量词命题.
2.若命题綈p是全称量词命题，则命题p是存在量词命题.(
)
×
√
[微训练]
1.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________.
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题.
答案 对任意的x∈R，2x>0
2.已知命题p：?x>2，x－2>0，则綈p是________.
解析 全称量词命题的否定为存在量词命题.
答案 ?x>2，x－2≤0
[微思考]
1.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
提示 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
2.对省略量词的命题怎样否定？
提示 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题.一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.
题型一 全称量词命题的否定
【例1】 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定.
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)任何一个平行四边形的对边都平行；
(4)负数的平方是正数.
解 (1)是全称量词命题且为真命题.
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°.
(2)是全称量词命题且为假命题.
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下.
(3)是全称量词命题且为真命题.
命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(4)是全称量词命题且为真命题.
命题的否定：某个负数的平方不是正数.
规律方法 全称量词命题否定的步骤
第一步改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
第二步否定结论：原命题中的“p(x)成立”改为“綈p(x)成立”.
【训练1】 写出下列全称量词命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0.
解 (1)该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)该命题的否定为：有些自然数的平方不是正数.
(3)该命题的否定为：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.
(4)该命题的否定为：存在实数x，使得x2＋1<0.
题型二 存在量词命题的否定
【例2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(2)至少有一个实数x，使x3＋1＝0；
解 (1)命题的否定：?x∈R，x2＋2x＋3>0.
∵?x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0恒成立，
∴命题的否定为真命题.
(2)命题的否定：?x∈R，x3＋1≠0.
∵当x＝－1时，x3＋1＝0，∴命题的否定为假命题.
∴命题的否定为假命题.
规律方法 存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论.即p：?x∈M，p(x)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立.綈p的真假判断：当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.
【训练2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形.
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.
题型三 由命题真假求参数
【例3】 已知p：?x∈[－1，2]，x2－m≥0.若綈p为假命题，求实数m的取值范围.
解 ∵綈p为假命题，∴p为真命题，
即x2－m≥0，x∈[－1，2]恒成立.
∴m≤x2，x∈[－1，2]恒成立，
易知y＝x2，x∈[－1，2]的最小值为0，∴m≤0.
即实数m的取值范围是(－∞，0].
规律方法 求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“?x∈M，a>y(或a
ymax(或a(2)对于存在量词命题“?x∈M，a>y(或aymin(或a【训练3】 已知命题p：?x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.
解 因为綈p为假命题，所以命题p：?x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即?x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}.(本题也可利用二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图象的顶点在x轴上方，转化为对应方程Δ>0进行解题)
一、素养落地
1.通过学习全称量词命题、存在量词命题的否定的概念，提升数学抽象素养，通过存在量词命题、全称量词命题否定的综合应用培养逻辑推理素养.
2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.
二、素养训练
1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是( )
A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
解析 命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.
答案 C
答案 A
3.命题：?x∈R，x2－x＋1＝0的否定是________.
解析 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以?x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：?x∈R，x2－x＋1≠0.
答案 ?x∈R，x2－x＋1≠0
4.命题“同位角相等”的否定为________________________________________.
解析 “同位角相等”是全称量词命题，其否定为存在量词命题.
答案 有的同位角不相等
5.写出下列命题的否定：
(1)?x∈R，x2－x＋3≤0；(2)?x∈R，x2＋1<0.
解 (1)命题的否定：?x∈R，x2－x＋3>0.
(2)命题的否定：?x∈R，x2＋1≥0.2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
课标要求
素养要求
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
《韩非子》中记载着一个“自相矛盾”的故事.楚国有个卖矛和盾的人，夸他的盾时说：“我的盾很坚固，任何武器都刺不破它.”又夸他的矛说：“我的矛很锐利，没有东西刺不透的.”于是有人质问他：“拿你的矛去刺你的盾，结果会怎样？”那人便哑口无言了.
问题 你能从逻辑的角度说明那个卖矛与盾的人的话中的破绽是什么吗？
提示 全称量词命题的否定是存在量词命题；且命题与其命题的否定一真一假.
1.命题的否定
綈p(x)是对语句p(x)的否定，对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”.
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
改量词，否定结论
(1)全称量词命题的否定
一般地，全称量词命题“?x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题?x∈M，綈q(x).
(2)存在量词命题的否定
一般地，存在量词命题“?x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题?x∈M，綈p(x).
拓展深化
[微判断]
1.命题“?x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题.(×)
提示 应该是存在量词命题.
2.若命题綈p是全称量词命题，则命题p是存在量词命题.(√)
[微训练]
1.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________.
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题.
答案 对任意的x∈R，2x>0
2.已知命题p：?x>2，x－2>0，则綈p是________.
解析 全称量词命题的否定为存在量词命题.
答案 ?x>2，x－2≤0
[微思考]
1.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
提示 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
2.对省略量词的命题怎样否定？
提示 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题.一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.
题型一 全称量词命题的否定
【例1】 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定.
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)任何一个平行四边形的对边都平行；
(4)负数的平方是正数.
解 (1)是全称量词命题且为真命题.
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°.
(2)是全称量词命题且为假命题.
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下.
(3)是全称量词命题且为真命题.
命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(4)是全称量词命题且为真命题.
命题的否定：某个负数的平方不是正数.
规律方法 全称量词命题否定的步骤
第一步改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
第二步否定结论：原命题中的“p(x)成立”改为“綈p(x)成立”.
【训练1】 写出下列全称量词命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0.
解 (1)该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)该命题的否定为：有些自然数的平方不是正数.
(3)该命题的否定为：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.
(4)该命题的否定为：存在实数x，使得x2＋1<0.
题型二 存在量词命题的否定
【例2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(2)至少有一个实数x，使x3＋1＝0；
(3)?x，y∈Z，x＋y＝3.
解 (1)命题的否定：?x∈R，x2＋2x＋3>0.
∵?x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0恒成立，
∴命题的否定为真命题.
(2)命题的否定：?x∈R，x3＋1≠0.
∵当x＝－1时，x3＋1＝0，∴命题的否定为假命题.
(3)命题的否定：?x，y∈Z，x＋y≠3.
∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
∴命题的否定为假命题.
规律方法 存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论.即p：?x∈M，p(x)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立.綈p的真假判断：当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.
【训练2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形.
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.
题型三 由命题真假求参数
【例3】 已知p：?x∈[－1，2]，x2－m≥0.若綈p为假命题，求实数m的取值范围.
解 ∵綈p为假命题，∴p为真命题，
即x2－m≥0，x∈[－1，2]恒成立.
∴m≤x2，x∈[－1，2]恒成立，
易知y＝x2，x∈[－1，2]的最小值为0，∴m≤0.
即实数m的取值范围是(－∞，0].
规律方法 求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“?x∈M，a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“?x∈M，a>y(或aymin(或a【训练3】 已知命题p：?x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.
解 因为綈p为假命题，所以命题p：?x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即?x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}.(本题也可利用二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图象的顶点在x轴上方，转化为对应方程Δ>0进行解题)
一、素养落地
1.通过学习全称量词命题、存在量词命题的否定的概念，提升数学抽象素养，通过存在量词命题、全称量词命题否定的综合应用培养逻辑推理素养.
2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.
二、素养训练
1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是( )
A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
解析 命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.
答案 C
2.已知命题p：?n∈N
，n2>n－1，则命题p的否定为( )
A.?n∈N
，n2≤n－1
B.?n∈N
，n2C.?n∈N
，n2≤n－1
D.?n∈N
，n2解析 命题p：“?n∈N
，n2>n－1”是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题，故命题p的否定为“?n∈N
，n2≤n－1”.
答案 A
3.命题：?x∈R，x2－x＋1＝0的否定是________.
解析 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以?x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：?x∈R，x2－x＋1≠0.
答案 ?x∈R，x2－x＋1≠0
4.命题“同位角相等”的否定为________________________________________.
解析 “同位角相等”是全称量词命题，其否定为存在量词命题.
答案 有的同位角不相等
5.写出下列命题的否定：
(1)?x∈R，x2－x＋3≤0；(2)?x∈R，x2＋1<0.
解 (1)命题的否定：?x∈R，x2－x＋3>0.
(2)命题的否定：?x∈R，x2＋1≥0.
基础达标
一、选择题
1.关于命题p：“?x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是( )
A.綈p：?x∈R，x2＋1≠0
B.綈p：?x∈R，x2＋1＝0
C.p是真命题，綈p是假命题
D.p是假命题，綈p是真命题
解析 命题p：“?x∈R，x2＋1≠0”的否定是“?x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题，綈p是假命题.
答案 C
2.设命题p：?x∈Z，(x＋1)2－1>0，则綈p为( )
A.?x∈Z，(x＋1)2－1>0
B.?x∈Z，(x＋1)2－1>0
C.?x?Z，(x＋1)2－1≤0
D.?x∈Z，(x＋1)2－1≤0
解析 全称量词命题的否定为存在量词命题.
答案 D
3.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：?x∈A，2x∈B，则( )
A.綈p：?x∈A，2x∈B
B.綈p：?x?A，2x?B
C.綈p：?x?A，2x∈B
D.綈p：?x∈A，2x?B
解析 命题p：?x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，綈p应为：?x∈A，2x?B.选D.
答案 D
4.已知命题p：?x>0，总有x＋1>1，则綈p为( )
A.?x≤0，使得x＋1≤1
B.?x>0，使得x＋1≤1
C.?x>0，总有x＋1≤1
D.?x≤0，总有x＋1≤1
解析 “?x>0，总有x＋1>1”的否定是“?x>0，使得x＋1≤1”.故选B.
答案 B
5.对下列命题的否定说法错误的是( )
A.p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C.p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D.p：?n∈N，2n≤100；p的否定：?n∈N，2n>100.
解析 “有的三角形为正三角形”为存在量词，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.
答案 C
二、填空题
6.命题“?x0∈(0，＋∞)，x＝x0－1”的否定是________.
答案 ?x0∈(0，＋∞)，x≠x0－1
7.命题“每个函数都有最大值”的否定是______________.
解析 命题的量词是“每个”，即为全称量词，因此其否定是存在量词，故应填：有些函数没有最大值.
答案 有些函数没有最大值
8.已知命题p：任意x∈R，x2＋2ax＋a>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________.
解析 若命题p为真命题，
则Δ＝4a2－4a<0，∴0答案 {a|a≤0或a≥1}
三、解答题
9.写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)p：每一个素数都是奇数；
(2)q：有理数都能写成分数的形式；
(3)s：有些实数的绝对值是正数；
解 (1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，綈p：存在一个素数不是奇数，是真命题.
(2)q是全称量词命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，綈q：存在一个有理数不能写成分数的形式，是假命题.
(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因为，綈s：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题.
10.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：?x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x∈R，x2＋2x＋2≤0.
解 (1)綈p：?x∈R，x2－x＋＜0，假命题.
∵?x∈R，x2－x＋＝≥0，
∴綈p是假命题.
(2)綈q：有的正方形不是矩形，假命题.
(3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题.
∵?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，
∴綈r是真命题.
能力提升
11.命题“?x∈R，?n∈N＋，使得n≥2x＋1”的否定形式是( )
A.?x∈R，?n∈N＋，使得n<2x＋1
B.?x∈R，?n∈N＋，使得n<2x＋1
C.?x∈R，?n∈N＋，使得n<2x＋1
D.?x∈R，?n∈N＋，使得n<2x＋1
解析 由题意可知，全称量词命题“?x∈R，?n∈N＋，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“?x∈R，?n∈N＋，使得n<2x＋1”，故选D.
答案 D
12.已知命题p：?x∈R，x2－2x＋m＝0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围.
解 因为綈p为假命题，所以p为真命题，即?x∈R，x2－2x＋m＝0成立，即方程x2－2x＋m＝0有实根，有Δ＝(－2)2－4m≥0，∴m≤1.
故实数m的取值范围为{m|m≤1}.
创新猜想
13.(多选题)下列命题的否定是假命题的是( )
A.三角形角平分线上的点到角两边的距离相等
B.所有平行四边形都不是矩形
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.3是方程x2－9＝0的一个根
解析 A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到角两边的距离不相等，假命题，
B的否定：有些平行四边形是矩形，真命题，
C的否定：有些等边三角形不相似，假命题，
D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题.
答案 ACD
14.(多空题)已知命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”，若命题是假命题，则实数a的取值范围为________.若命题是真命题，则实数a的取值范围为________.
解析 因为全称量词命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，函数y＝x2＋ax＋1<0”.
由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知，这个否定形式的命题是真命题.
由于函数y＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数图象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.
所以实数a的取值范围是a<－2或a>2.
当命题是真命题时，知Δ≤0，
则a2－4≤0，得－2≤a≤2.
答案 {a|a<－2或a>2} {a|－2≤a≤2}