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8.2.2 函数的实际应用
课标要求
素养要求
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题.
通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.
新知探究
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y关于存期x的函数式.假设存入的本金为1
000元，每期的利率为2.25%.
问题 五期后的本利和是多少？
提示 解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.
1.常见的函数模型
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
?
(6)分段函数模型
?
2.解决实际问题的一般程序：
实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题
拓展深化
[微判断]
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.(
)
提示 两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.
2.函数模型中，要求的定义域只需使函数式有意义.(
)
提示 函数模型中定义域必须满足实际意义.
3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.(
)
提示 拟合函数预测的结果近似的符合实际结果即可.
4.利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.(
)
×
×
×
√
[微训练]
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A.分段函数
B.二次函数
C.指数函数
D.对数函数
答案 A
2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
答案 A
3.2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1，lg
7≈0.845
1).
答案 2043
[微思考]
在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？
提示 当x>0，n>0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图象在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数.
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
解 (1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10
000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，
(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12
500，
所以当x＝150时，有最大值12
500；
当x>200时，f(x)＝30
000－100x是减函数，
f(x)<30
000－100×200<12
500.
所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12
500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12
500元.
规律方法 1.利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
2.应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
【训练1】 在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N
)的收入函数为R(x)＝3
000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4
000(单位：元)，利润是收入与成本之差.
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？
解 (1)由题意知，x∈[1，100]，且x∈N
.
P(x)＝R(x)－C(x)＝3
000x－20x2－(500x＋4
000)＝－20x2＋2
500x－4
000，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)
＝－20(x＋1)2＋2
500(x＋1)－4
000－(－20x2＋2
500x－4
000)＝2
480－40x.
因为MP(x)＝2
480－40x是减函数，当x＝1时，MP(x)的最大值为2
440(元).
因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.
求a和m的值.
(2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值.
(1)已知生活中几种声音的强度如表：
声音来源
声音大小
风吹落叶沙沙声
轻声耳语
很嘈杂的马路
强度I(瓦/平方米)
1×10－11
1×10－10
1×10－3
强弱等级L(分贝)
10
m
90
规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法
(1)指数函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.
(2)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.
(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
故今后最多还能砍伐15年.
一、素养落地
1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养；通过建立函数模型解决实际问题，提升数据分析素养.
2.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
3.在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.
二、素养训练
1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
则下面的函数关系式中拟合效果最好的是( )
A.y＝2x－1
B.y＝x2－1
C.y＝2x－1
D.y＝1.5x2－2.5x＋2
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
解析 将数值代入各选项中，三个点均与D项吻合，故选D.
答案 D
2.已知国内邮寄1
000
g以内的包裹的邮资标准如下表：
如果某人在西安要邮寄800
g的包裹到距西安1
200
km的某地，那么他应付的邮资是( )
A.5.00元
B.6.00元
C.7.00元
D.8.00元
答案 C
运送距离x(km)
0≤500
500<
x≤
1
000
1
0001
500
1
500≤2
000
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
8.00
…
3.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg
A－lg
A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级.则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.
答案 100
4.有一位商人从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费(单位：元)由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)决定，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元.
解析 由于f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，则当m＝5.5时，[m]＝6，
即有f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案 4.24
解 设可获得总利润为R(x)万元，
∵R(x)在[0，210]上是增函数，
∴当x＝210时，
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1
660万元.8.2.2 函数的实际应用
课标要求
素养要求
1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.
通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.
新知探究
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y关于存期x的函数式.假设存入的本金为1
000元，每期的利率为2.25%.
INCLUDEPICTURE"补36.TIF"
INCLUDEPICTURE
"补36.TIF"
\
MERGEFORMAT
问题 五期后的本利和是多少？
提示 解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.
1.常见的函数模型
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝
2.解决实际问题的一般程序：
实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题
拓展深化
[微判断]
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.(×)
提示 两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.
2.函数模型中，要求的定义域只需使函数式有意义.(×)
提示 函数模型中定义域必须满足实际意义.
3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.(×)
提示 拟合函数预测的结果近似的符合实际结果即可.
4.利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.(√)
[微训练]
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
INCLUDEPICTURE"xj94.TIF"
INCLUDEPICTURE
"xj94.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.分段函数
B.二次函数
C.指数函数
D.对数函数
答案 A
2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A.y＝0.957
6
B.y＝(0.957
6)100x
C.y＝
D.y＝1－0.042
4
答案 A
3.2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1，lg
7≈0.845
1).
解析 设x年我国人口将超过20亿，由已知条件得14(1＋1.25%)x－2
014>20，x－2
014>＝≈28.7，则x>2
042.7，即x最小为2043.
答案 2043
[微思考]
在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？
提示 当x>0，n>0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图象在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数.
题型一 一次函数、二次函数、分段函数模型
【例1】 某车间生产一种仪器的固定成本为10
000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：
H(x)＝
其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
解 (1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10
000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，
∴f(x)＝
(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12
500，
所以当x＝150时，有最大值12
500；
当x>200时，f(x)＝30
000－100x是减函数，
f(x)<30
000－100×200<12
500.
所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12
500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12
500元.
规律方法 1.利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
2.应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
【训练1】 在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N
)的收入函数为R(x)＝3
000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4
000(单位：元)，利润是收入与成本之差.
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？
解 (1)由题意知，x∈[1，100]，且x∈N
.
P(x)＝R(x)－C(x)
＝3
000x－20x2－(500x＋4
000)
＝－20x2＋2
500x－4
000，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)
＝－20(x＋1)2＋2
500(x＋1)－4
000－(－20x2＋2
500x－4
000)＝2
480－40x.
(2)P(x)＝－20＋74
125，当x＝62或x＝63时，P(x)的最大值为74
120(元).
因为MP(x)＝2
480－40x是减函数，当x＝1时，MP(x)的最大值为2
440(元).
因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.
题型二 指数函数、对数函数模型
【例2】 科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I(单位：瓦/平方米)有关，在实际测量时，常用L(单位：分贝)来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：L＝a·lg(a是常数)，其中I0＝1×10－12瓦/平方米，如风吹落叶沙沙声的强度I＝1×10－11瓦/平方米，它的强弱等级L＝10分贝.
(1)已知生活中几种声音的强度如表：
声音来源
声音大小
风吹落叶沙沙声
轻声耳语
很嘈杂的马路
强度I(瓦/平方米)
1×10－11
1×10－10
1×10－3
强弱等级L(分贝)
10
m
90
求a和m的值.
(2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值.
解 (1)将I0＝1×10－12瓦/平方米，I＝1×10－11瓦/平方米代入L＝a·lg得
10＝a·lg＝alg10＝a?a＝10，
则m＝10lg＝10lg
100＝20?m＝20.
(2)由题意得L≤50，即10lg≤50，
得lg≤5，即≤105?I≤1×10－7，此时声音强度I的最大值为10－7瓦/平方米.
规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法
(1)指数函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.
(2)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.
(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论.
【训练2】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解 (1)由题意得a(1－p%)10＝，
即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，
则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年.
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，
令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
≥，得≤，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年.
一、素养落地
1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养；通过建立函数模型解决实际问题，提升数据分析素养.
2.函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
3.在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.
二、素养训练
1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
则下面的函数关系式中拟合效果最好的是( )
A.y＝2x－1
B.y＝x2－1
C.y＝2x－1
D.y＝1.5x2－2.5x＋2
解析 将数值代入各选项中，三个点均与D项吻合，故选D.
答案 D
2.已知国内邮寄1
000
g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km)
0500<
x≤1
000
1
000500
1
500000
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
8.00
…
如果某人在西安要邮寄800
g的包裹到距西安1
200
km的某地，那么他应付的邮资是( )
A.5.00元
B.6.00元
C.7.00元
D.8.00元
答案 C
3.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg
A－lg
A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级.则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.
解析 当M＝7时，∵7＝lg
A－lg
A0＝lg，∴＝107，∴A＝A0·A7.
当M＝5时，∵5＝lg
A－lg
A0＝lg，∴＝105，∴A＝A0·105.
∵＝100，从而可得，7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍.
答案 100
4.有一位商人从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费(单位：元)由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)决定，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元.
解析 由于f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，则当m＝5.5时，[m]＝6，
即有f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案 4.24
5.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8
000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8
000
＝－＋88x－8
000
＝－(x－220)2＋1
680(0≤x≤210).
∵R(x)在[0，210]上是增函数，
∴当x＝210时，
R(x)max＝－(210－220)2＋1
680＝1
660(万元).
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1
660万元.
基础达标
一、选择题
1.某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为( )
A.0.5元
B.0.8元
C.1元
D.1.1元
解析 设杂志的价格降低了x个0.1元，则此时价格为(1.20－x×0.1)元，卖出(12＋4x)万本，设总销售收入为y万元，则y＝(1.20－0.1x)(12＋4x)＝－0.4x2＋3.6x＋14.4(x∈N
)，要使y≥20，即x2－9x＋14≤0，解得2≤x≤7，当x＝7时，价格最低为1.20－0.7＝0.5(元).
答案 A
2.据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3
000只，估计到2019年冬有越冬白鹤( )
A.4
000只
B.5
000只
C.6
000只
D.7
000只
解析 当x＝1时，由3
000＝alog3(1＋2)，得a＝3
000，所以到2019年冬，即第7年，y＝3
000×log3(7＋2)＝6
000.故选C.
答案 C
3.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0
℃的保鲜时间是192小时，在22
℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33
℃的保鲜时间是( )
A.16小时
B.20小时
C.24小时
D.28小时
解析 由题意，得即
所以当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb
＝×192＝24(小时).
答案 C
4.一种放射性元素最初的质量为500
g，按每年10%衰减，则这种放射性元素的半衰期为(注：剩余量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期)(精确到0.1，已知lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)( )
A.5.2年
B.6.6年
C.7.1年
D.8.3年
解析 设半衰期为x年，则有500(1－10%)x＝250，即＝，取对数得x(lg
9－1)＝－lg
2，所以x＝≈≈6.6(年).
答案 B
5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg
1.12≈0.05，lg
1.3≈0.11，lg
2≈0.30)( )
A.2018年
B.2019年
C.2020年
D.2021年
解析 设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，
∴1.12x＝，∴x＝log1.12＝log1.1220－log1.1213
＝－＝
≈＝3.8.
即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元.
答案 B
二、填空题
6.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
解析 设彩电的原价为a元，
∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，
∴0.12a＝270，解得a＝2
250.
∴每台彩电的原价为2
250元.
答案 2
250
7.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v
m/s和燃料质量M
kg、火箭(除燃料外)质量m
kg的关系是v＝2
000ln，则当燃料质量是火箭质量的______倍时，火箭的最大速度可达12
km/s.
解析 由题意得2
000ln＝12
000.
∴ln＝6，从而＝e6－1.
答案 e6－1
8.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等.它是未来汽车的发展方向，一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系.已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为40
000辆时，创造的价值达到最大6
000万元.若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5
625万元，则它可能生产的新能源汽车数量是________辆.
解析 设二次函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则根据题意得：
解得
故y＝－×10－5·x2＋x，
令y＝56
25，解得x＝30
000或x＝50
000.
答案 30
000或50
000
三、解答题
9.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯用88
℃热水冲的速溶咖啡，放在24
℃的房间中，如果咖啡降温到40
℃需要20
min，那么降温到35
℃时，需要多少时间？(参考数据：lg11≈1.04，lg
2≈0.30)
解 由题意知40－24＝(88－24)·，
即＝，解得h＝10.
故T－24＝(88－24)·.
当T＝35时，代入上式，得
35－24＝(88－24)·，即＝.
两边取对数，求得t≈25.
因此，约需要25
min，可降温到35
℃.
10.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5(2A＋1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解 (1)由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5(2A＋1)进行奖励，∴当0≤x≤8时，y＝0.15x；
当x>8时，y＝1.2＋log5(2x－15).
∴奖金y关于销售利润x的关系式为y＝
(2)由题意，1.2＋log5(2x－15)＝3.2，解得x＝20，
故小江的销售利润是20万元.
能力提升
11.已知14C的半衰期为5
730年(是指经过5
730年后，14C的残余量占原始量的一半).设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系如下：b＝ae－kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年(已知log20.767≈－0.4).
解析 由题意可知，当x＝5
730时，ae－5
730k＝a，解得k＝.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%，所以76.7%＝e－x，得ln
0.767＝－x，x＝－5
730×＝－5
730×log20.767≈2
292.
答案 2
292
12.某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%(0(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义.
解 (1)由题意知，当3040，即x2－65x＋900>0，解得x<20或x>45，
∴x∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
(2)当0当30∴g(x)＝
当0当32.5说明该地上班族S有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为32.5%，人均通勤时间最少.
创新猜想
13.(多选题)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)和乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则( )
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A.甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1
C.当印刷证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D.当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝x＋
解析 由题可知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1＝0.5x＋1，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元，故C正确；易知当x>2时，y2与x之间的函数关系式为y2＝x＋，故D正确.
答案 ABCD
14.(多空题)2019年7月中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可，良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2－(N0表示碳14原有的质量)，则经过5
730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5
730年之间.(参考数据：log23≈1.6，log25≈2.3)
解析 当t＝5
730时，N＝N0·2－1＝N0，
∴经过5
730年后，碳14的质量变为原来的.
令N＝N0，则2－＝，
∴－＝log2＝log23－log25≈－0.7，
∴t＝0.7×5
730＝4
011，
∴良渚古城存在的时期距今约在4
011年到5
730年之间.
答案 4
011
