2.3 全称量词命题与存在量词命题
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
课标要求
素养要求
1.理解全称量词与存在量词的意义.2.会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假.
用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
有下列几个命题：①有些集合没有子集；
②所有三角形都有外接圆；
③有些四边形有内切圆.
问题 在这些命题中有一些短语“有些，所有的”在逻辑中如何定义？
提示 短语“所有的，全部，任一个”等在逻辑中通常叫做全称量词.而“有些”“有一个”“有的”是存在量词.
1.全称量词和全称量词命题
(1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，常用符号“?x”表示“对任意x”.
(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，它的一般形式可表示为：?x∈M，p(x).
2.存在量词和存在量词命题
(1)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，常用符号“?x”表示“存在x”.
(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，它的一般形式可表示为：?x∈M，p(x).
拓展深化
[微判断]
1.存在量词命题“?x∈R，x2＜0”是真命题.(×)
2.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(√)
3.“?x∈R，x2＋1≥1”是真命题.(√)
4.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(×)
提示 是无理数，但()2＝3是有理数.
[微训练]
用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；
(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(3)所有的梯形都不是平行四边形；
(4)任意x∈R，都有－x2＋2x－4<0.
解 (1)?(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.
(2)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
(3)?x∈{x|x是梯形}，x不是平行四边形.
(4)?x∈R，－x2＋2x－4<0.
[微思考]
1.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
提示 元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”.
2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？
提示 在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.
题型一 全称量词与存在量词命题的识别
【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
规律方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
【训练1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
解 (1)全称量词命题.表示为?n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题.?一次函数，它的图象过原点.
(3)全称量词命题.?二次函数，它的图象的开口都向上.
题型二 命题真假的判断
【例2】 判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数；
(2)任意矩形的对角线相等；
(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
解 (1)2是素数，但2不是奇数.
所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)是真命题.
(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
规律方法 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.
【训练2】 判断下列命题的真假：
(1)有一些二次函数的图象过原点；
(2)?x∈R，2x2＋x＋1<0；
(3)?x∈R，x2>0.
解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
∵2x2＋x＋1＝2＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.
题型三 由命题的真假求参数范围
【例3】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围.
解 (1)由于命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，
所以B?A，B≠?，
所以解得2≤m≤3.
(2)q为真，则A∩B≠?，
因为B≠?，所以m≥2.
所以解得2≤m≤4.
规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
【训练3】 (1)已知命题“?x∈[－3，2]，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围.
(2)?x∈[1，5]，－2m＋3≥0恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)由3a＋x－2＝0得－x＝3a－2.
∵x∈[－3，2]，∴－2≤－x≤3，∴－2≤3a－2≤3，
即0≤a≤.
即实数a的取值范围是.
(2)令y＝，由图象可知y∈，∴2m－3≤，
∴m≤，即m的取值范围为.
一、素养落地
1.通过学习命题、全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.
2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
二、素养训练
1.下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是(n－2)×180°.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 ①③是全称量词命题.
答案 C
2.下列存在量词命题是假命题的是( )
A.存在x∈Q，使4－x2＝0
B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C.有的素数是偶数
D.有的实数为正数
解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立.
答案 B
3.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
答案 (－∞，3]
4.给出下列四个命题：
①有理数是实数；②矩形都不是梯形；
③?x，y∈R，x2＋y2≤1；
④凡是三角形都有内切圆.
其中全称量词命题是________(填序号).
解析 在④中含有全称量词“凡是”为全称量词命题；③为存在量词命题；①的实质为：所有的有理数都是实数；②的实质是：所有的矩形都不是梯形，故①②④为全称量词命题.
答案 ①②④
5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：
(1)?x，x－2≤0；
(2)三角形两边之和大于第三边；
(3)有些整数是偶数.
解 (1)存在量词命题.x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“?x，x－2≤0”是真命题.
(2)全称量词命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.
基础达标
一、选择题
1.下列命题中存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.
答案 B
2.已知命题p：?x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A.0
B.a>4
C.a<0
D.a≥4
解析 ∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4.
答案 B
3.下列命题不是“?x∈R，x2>3”的表述方法的是( )
A.有一个x∈R，使得x2>3成立
B.对有些x∈R，使得x2>3成立
C.任选一个x∈R，都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立
解析 “任选一个”“任意一个”是全称量词.
答案 C
4.将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为( )
A.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C.对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立
D.存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立
解析 B，D有存在量词“存在”，C中，x，y的范围与原命题不符.
答案 A
5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
解析 B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.
答案 C
二、填空题
6.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“?”写成存在量词命题为________.
解析 存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“?x∈M，p(x)”.
答案 ?x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
7.若命题“?x∈R，使x2＋2x－3m＝0”为真命题，则m的取值范围为________.
解析 由方程有实根，即Δ＝4＋12m≥0，∴m≥－.
答案
8.下列全称量词命题中真命题的个数为________.
①?x∈R，x2＋2>0；
②?x∈N，x4≥1；
③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
解析 ①由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“?x∈R，x2＋2>0”是真命题.
②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题.
③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.
答案 1
三、解答题
9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？
(1)矩形有一个外接圆.
(2)非负实数有两个平方根.
(3)方程x2－x＋1＝0有实数根.
解 (1)原命题可改写为“所有的矩形都有一个外接圆”是全称量词命题.
(2)原命题改写为“任意的非负实数都有两个平方根”是全称量词命题.
(3)原命题改写为“存在实数x，使x2－x＋1＝0”是存在量词命题.
10.用量词符号“?”“?”表示下列命题，并判断其真假.
(1)实数都能写成分数形式；
(2)有一个实数x，使＝0；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)至少有一个集合A，满足A?{1，2，3}.
解 (1)?x∈R，x能写成分数形式.因为无理数不能写成分数形式，所以该命题是假命题.
(2)?x∈R，＝0.因为不存在x∈R，使＝0，所以该命题是假命题.
(3)?x∈{x|x是平行四边形}，x的对角线互相平分.由平行四边形的性质可知此命题是真命题.
(4)?A∈{A|A是集合}，A?{1，2，3}.存在A＝{3}，使A?{1，2，3}成立，所以该命题是真命题.
能力提升
11.已知命题p：?x≥3，使2x－1解析 命题p为假命题，则任意x≥3，2x－1答案 5
12.若?x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解 (1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，
所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒在m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}.
创新猜想
13.(多选题)下列说法错误的是( )
A.对所有的正实数t，有B.存在实数x，使x2－3x－4＝0
C.不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D.任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4
解析 t＝时，>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错.
答案 ACD
14.(多选题)下列命题中的真命题是( )
A.?x∈R，|x|＋1>0
B.?x∈N＋，(x－1)2>0
C.?x∈R，<1
D.?x∈R，5x－3＝2
解析 A项，∵x∈R，∴|x|＋1>0，故A正确；B项，∵x∈N＋，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾，故B错误；C项，当x>1时，<1，故C正确；D项，当x＝1时，5x－3＝2，故D正确.
答案 ACD(共28张PPT)
2.3 全称量词命题与存在量词命题
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
课标要求
素养要求
1.理解全称量词与存在量词的意义.
2.会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假.
用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
有下列几个命题：①有些集合没有子集；
②所有三角形都有外接圆；
③有些四边形有内切圆.
问题 在这些命题中有一些短语“有些，所有的”在逻辑中如何定义？
提示 短语“所有的，全部，任一个”等在逻辑中通常叫做全称量词.而“有些”“有一个”“有的”是存在量词.
1.全称量词和全称量词命题
(1)“所有”“任意”“每一个”等表示______的词在逻辑学中称为全称量词，常用符号“?x”表示“对任意x”.
(2)含有______量词的命题称为全称量词命题，它的一般形式可表示为：____________________.
全体
全称
?x∈M，p(x)
2.存在量词和存在量词命题
(1)“存在”“有的”“有一个”等表示____________的词在逻辑学中称为存在量词，常用符号“?x”表示“________”.
(2)含有存在量词的命题称为______________，它的一般形式可表示为：________________.
部分或个体
存在x
存在量词命题
?x∈M，p(x)
拓展深化
[微判断]
1.存在量词命题“?x∈R，x2＜0”是真命题.(
)
2.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(
)
3.“?x∈R，x2＋1≥1”是真命题.(
)
4.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(
)
√
√
√
×
[微训练]
用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；
(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(3)所有的梯形都不是平行四边形；
(4)任意x∈R，都有－x2＋2x－4<0.
解 (1)?(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.
(2)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
(3)?x∈{x|x是梯形}，x不是平行四边形.
(4)?x∈R，－x2＋2x－4<0.
[微思考]
1.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
提示 元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”.
2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？
提示 在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.
题型一 全称量词与存在量词命题的识别
【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
规律方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
【训练1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
解 (1)全称量词命题.表示为?n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题.?一次函数，它的图象过原点.
(3)全称量词命题.?二次函数，它的图象的开口都向上.
题型二 命题真假的判断
【例2】 判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数；
(2)任意矩形的对角线相等；
(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
解 (1)2是素数，但2不是奇数.
所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)是真命题.
(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
规律方法 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.
【训练2】 判断下列命题的真假：
(1)有一些二次函数的图象过原点；
(2)?x∈R，2x2＋x＋1<0；
(3)?x∈R，x2>0.
解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.
题型三 由命题的真假求参数范围
【例3】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围.
解 (1)由于命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，
所以B?A，B≠?，
(2)q为真，则A∩B≠?，
因为B≠?，所以m≥2.
规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
【训练3】 (1)已知命题“?x∈[－3，2]，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围.
解 (1)由3a＋x－2＝0得－x＝3a－2.
∵x∈[－3，2]，∴－2≤－x≤3，∴－2≤3a－2≤3，
一、素养落地
1.通过学习命题、全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.
2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
二、素养训练
1.下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是(n－2)×180°.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 ①③是全称量词命题.
答案 C
2.下列存在量词命题是假命题的是( )
A.存在x∈Q，使4－x2＝0
B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C.有的素数是偶数
D.有的实数为正数
答案 B
3.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
答案 (－∞，3]
4.给出下列四个命题：
①有理数是实数；②矩形都不是梯形；
③?x，y∈R，x2＋y2≤1；
④凡是三角形都有内切圆.
其中全称量词命题是________(填序号).
解析 在④中含有全称量词“凡是”为全称量词命题；③为存在量词命题；①的实质为：所有的有理数都是实数；②的实质是：所有的矩形都不是梯形，故①②④为全称量词命题.
答案 ①②④
5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：
(1)?x，x－2≤0；
(2)三角形两边之和大于第三边；
(3)有些整数是偶数.
解 (1)存在量词命题.x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“?x，x－2≤0”是真命题.
(2)全称量词命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.