3.2 基本不等式≤(a，b≥0)
3.2.1 基本不等式的证明
课标要求
素养要求
1.掌握基本不等式≤(a≥0，b≥0).2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.
通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.
新知探究
如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.
问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
提示 由图可知
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.
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MERGEFORMAT
基本不等式
(1)如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时等号成立).
我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式.
(2)当a，b∈R时，ab≤(当且仅当a＝b时等号成立)，ab≤(当且仅当a＝b时等号成立).
拓展深化
[微判断]
1.当x≠0时，x＋≥2.(×)
提示 当x>0时，x＋≥2成立.
2.≥对任意实数a，b都成立.(×)
提示 只有当a≥0且b≥0时，≥才能成立.
3.当a，b∈R时，ab≤成立.(√)
[微训练]
设0
A.
B.b
C.2ab
D.a2＋b2
解析 法一 ∵ab<，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0.∴>，∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大.
法二 令a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝，故选B.
答案 B
[微思考]
1.不等式≥ab和≥中“＝”成立的条件相同吗？
提示 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立.
2.“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？
提示 a＝b?＝ab；a＝b>0?＝.
题型一 利用基本不等式比较大小
【例1】 设0A.aB.a<<C.a<D.解析 法一 ∵00，即>a，排除D项，故选B.
法二 取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a<<答案 B
规律方法 在利用基本不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用基本不等式的使用条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向.
【训练1】 (1)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是( )
A.x>y
B.y>x
C.x>y
D.y>x
(2)比较大小：________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).
解析 (1)∵a，b是不相等的正数，∴y2＝()2＝a＋b＝>＝＝x2.
∵x>0，y>0，∴y>x.
(2)＝＋≥2，当且仅当＝.即x＝0时，等号成立.
答案 (1)B (2)≥
题型二 利用基本不等式证明不等式
【例2】 已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
解 ∵a，b，c>0，∴利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
规律方法 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到.
【训练2】 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；(2)≥9.
证明 (1)＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8.
(2)法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
∴≥9.
法二 ＝1＋＋＋.
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立.
题型三 用基本不等式求最值
角度1 求简单代数式的最值
【例3－1】 (1)已知x>0，求x＋的最小值；
(2)已知m，n>0，且m＋n＝16，求mn的最大值.
解 (1)∵x>0，∴由基本不等式可得x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，∴所求的最小值为6.
(2)∵m，n>0，且m＋n＝16，
∴由基本不等式可得mn≤＝＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.
∴mn的最大值为32.
角度2 利用配凑法求最值
【例3－2】 (1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0解 (1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时ymax＝1.
(2)∵00，
∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，上式等号成立，
故当x＝时，ymax＝.
规律方法 在利用基本不等式求最值时要注意三点：
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.
【训练3】 (1)当x>0时，求＋4x的最小值；
(2)当x<0时，求＋4x的最大值；
(3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值.
解 (1)∵x>0，∴>0，4x>0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8.
(2)∵x<0，∴－x>0.
则＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号.
∴＋4x≤－8.
∴当x<0时，＋4x的最大值为－8.
(3)4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，∴a＝36.
一、素养落地
1.通过学习基本不等式培养数学抽象素养，通过运用基本不等式进行证明提升数学运算及逻辑推理素养.
2.两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
3.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
二、素养训练
1.下列等式中最小值为4的是( )
A.y＝x＋
B.y＝2t＋
C.y＝4t＋(t>0)
D.y＝t＋
解析 A中x＝－1时，
y＝－5<4；B中t＝－1时，y＝－3<4；C中y＝4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时等号成立；D中t＝－1时，y＝－2<4.故选C.
答案 C
2.下列不等式中正确的是( )
A.a＋≥4
B.a2＋b2≥4ab
C.≥
D.x2＋≥2
解析 a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；
a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；
a＝4，b＝16，则<，故C错误；
由基本不等式可知D正确.
答案 D
3.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号).
①＋≥2；②a－b≥2；
③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
解析 根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错误，只有③正确.
答案 ③
4.已知a>b>c，则与的大小关系是________.
解析 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.
∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号.
答案 ≤
5.已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.
证明 ＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
基础达标
一、选择题
1.不等式a2＋≥4中等号成立的条件是( )
A.a＝4
B.a＝
C.a＝－
D.a＝±
解析 此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±，故选D.
答案 D
2.已知y＝x＋－2(x<0)，则y有( )
A.最大值为0
B.最小值为0
C.最大值为－4
D.最小值为－4
解析 ∵x<0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝时，即x＝－1时“＝”成立.
答案 C
3.已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为( )
A.16
B.25
C.9
D.36
解析 因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25，
因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.
答案 B
4.已知m＝a＋(a>2)，n＝－b2＋2b＋2(b∈R)，则m，n的大小关系是( )
A.m>n
B.mC.m＝n
D.不确定
解析 ∵a>2，∴a－2>0，
又∵m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当a－2＝，
即a＝3(a＝1舍去)时等号成立，
∴m≥4.
又n＝－b2＋2b＋2＝－(b－1)2＋3≤3，
∴m>n.
答案 A
5.设p＝，q＝，r＝(b>a>0)，则下列关系正确的是( )
A.r>q>p
B.q>p>r
C.q>r>p
D.r＝q>p
解析 ∵b>a>0，∴a2＋b2>2ab，
∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴>，
∴>.
又∵>，
∴>>，即r>q>p.
答案 A
二、填空题
6.已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为______.
解析 因为x>0，y>0，2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·
＝·＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
答案
7.设a，b为非零实数，给出下列不等式：
①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2.其中恒成立的是________(填序号).
解析 由基本不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；
＝＝≥＝＝，可知②正确；
当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；
当a＝1，b＝－1时，可知④不正确.
答案 ①②
8.已知x>－1，则的最小值为________.
解析 ＝
＝
＝(x＋1)＋＋10，
∵x>－1，∴x＋1>0，
∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16.
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立.
答案 16
三、解答题
9.已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
证明 ∵a，b>0，∴＋b≥2＝2a，＋a≥2＝2b，∴＋b＋＋a≥2a＋2b，∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立.
10.设x>0，求证：x＋≥.
证明 ∵x>0，∴x＋>0，x＋＝x＋＝x＋＋－≥2－＝.
当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立.
能力提升
11.(数学文化)三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们利用该图证明( )
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MERGEFORMAT
A.如果a>b，b>c，那么a>c
B.如果a>b>0，那么a2>b2
C.对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
D.如果a>b，c>0那么ac>bc
解析 可将直角三角形的两直角边长取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2).则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.
对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.
答案 C
12.(1)设0(2)已知a>b>c，求(a－c)的最小值.
解 (1)∵00，
∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.
∵0<<，
∴4x(3－2x)的最大值为.
(2)(a－c)
＝(a－b＋b－c)
＝1＋1＋＋.
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a－b＝b－c，
即2b＝a＋c时取等号，
∴(a－c)的最小值为4.
创新猜想
13.(多选题)下列求最值正确的是( )
A.y＝x＋的最小值为4
B.y＝(x>0)的最大值为
C.y＝x－1＋(x>－1)的最小值为0
D.y＝＋的最小值为2
解析 A中，没有考虑x<0的情况，错误；
B中，y＝＝≤＝，当x＝，即x＝1时取等号，正确；
C中，y＝x－1＋＝x＋1＋－2≥2－2＝0，当x＋1＝，即x＝0时，取等号，正确；
D中，当＝时，x无解，故取不到2，错误.
答案 BC
14.(多选题)已知a，b>0，则下列不等式中成立的是( )
A.a＋b＋≥2
B.(a＋b)≥4
C.≥2
D.>
解析 a＋b＋≥2＋≥2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；
(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
∵a2＋b2≥2ab>0，
∴≥2，
当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
∵a＋b≥2，且a，b>0，
∴≤1，≤.
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立.
答案 ABC(共34张PPT)
3.2.1 基本不等式的证明
新知探究
如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.
问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
提示 由图可知
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.
基本不等式
≤
≤
拓展深化
[微判断]
×
×
√
[微训练]
设0∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大.
答案 B
[微思考]
提示 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立.
2.“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？
题型一 利用基本不等式比较大小
【例1】 设0答案 B
规律方法 在利用基本不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用基本不等式的使用条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向.
∵x>0，y>0，∴y>x.
答案 (1)B (2)≥
题型二 利用基本不等式证明不等式
规律方法 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到.
【训练2】 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
(2)法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
题型三 用基本不等式求最值
角度1 求简单代数式的最值
(2)∵m，n>0，且m＋n＝16，
角度2 利用配凑法求最值
故当x＝1时ymax＝1.
规律方法 在利用基本不等式求最值时要注意三点：
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.
(2)∵x<0，∴－x>0.
一、素养落地
1.通过学习基本不等式培养数学抽象素养，通过运用基本不等式进行证明提升数学运算及逻辑推理素养.
3.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
二、素养训练
1.下列等式中最小值为4的是( )
答案 C
2.下列不等式中正确的是( )
a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；
答案 D
3.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号).
答案 ③
5.已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，