3.2.2 基本不等式的应用
课标要求
素养要求
1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.
通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.
新知探究
(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
(2)某农场主想用篱笆围成一个10
000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？
问题 在周长相等的矩形中，正方形的面积最大，那么在面积相等的矩形中，什么样的图形周长最小？
提示 在面积相等的矩形中，正方形的周长最小.
基本不等式与最大(小)值
对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值.(2)取等号的条件.
拓展深化
[微判断]
1.对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值.(×)
提示 a，b为正实数.
2.对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.(×)
提示 a，b为正实数.
3.若x>2，则x＋的最小值为2.(×)
提示 当且仅当x＝1时才能取得最小值，但x>2，取不到最小值2.
[微训练]
1.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.
解析 a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立.
答案 2
2.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.
解析 由m2＋n2≥2mn，∴mn≤＝50.当且仅当m＝n＝±5时等号成立.
答案 50
[微思考]
已知x，y为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值.
下面是某同学的解题过程：
解：因为x>0，y>0，所以1＝＋≥2×＝，所以≥4.从而x＋y≥2≥2×4＝8.故x＋y的最小值为8.
请分析上面解法是否正确，并说明理由.
提示 这个同学的解法是错误的.理由如下：
上述解法中连续使用两次基本不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当＝＝，即x＝2，y＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x＝y时，等号成立，因此x＋y不能等于8.
题型一 基本不等式的变形应用求最值
角度1 积定求和或和定求积的最值
【例1－1】 (1)若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A.25
B.
C.
D.
(2)若0解析 (1)a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab＝a·2b≤×＝.
当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时，等号成立.
(2)∵00，∴y＝2x·(1－3x)＝·3x·(1－3x)≤·＝，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立.
答案 (1)D (2)
角度2 “1”的代换求最值
【例1－2】 (1)已知x>0，y>0且＋＝1，则x＋y的最小值为________.
(2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________.
解析 (1)法一(1的代换)
因为＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
因为x>0，y>0，所以＋≥2＝6，
当且仅当＝，即y＝3x ①时，取“＝”.
又＋＝1，②
解①②可得x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
法二 (消元法)由＋＝1，得x＝.
因为x>0，y>0，所以y>9.
所以x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝
(y－9)＋＋10.
因为y>9，所以y－9>0，
所以(y－9)＋≥2＝6.
当且仅当y－9＝，即y＝12时，取“＝”，此时x＝4，
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
(2)∵x＋y＝1，
∴＋＝(x＋y)
＝1＋4＋＋.
∵x>0，y>0，∴>0，>0，
∴＋≥2＝4，
∴5＋＋≥9.
当且仅当即x＝，y＝时等号成立.
∴＝9.
答案 (1)16 (2)9
角度3 恒成立问题求最值
【例1－3】 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( )
A.10
B.9
C.8
D.7
解析 因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
答案 B
规律方法 利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.
(2)构造法：
①构造不等式：利用ab≤，将式子转化为含ab或a＋b的不等式，将ab，(a＋b)作为整体解出范围；
②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.
【训练1】 (1)若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则x＋y的最小值为( )
A.9
B.8
C.5
D.4
(2)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
A.4
B.2
C.8
D.16
解析 (1)根据题意，x＋4y－xy＝0?x＋4y＝xy?＋＝1，
则x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2×＝5＋4＝9，
当且仅当x＝2y＝6时等号成立，
则x＋y的最小值为9.
(2)由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立.故选B.
答案 (1)A (2)B
题型二 基本不等式的实际应用
【例2】 围建一个面积为360
m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2
m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45
元/m，新墙的造价为180
元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单元：元).
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MERGEFORMAT
(1)用x表示y；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
解 (1)设矩形的另一边长为a
m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知得xa＝360，得a＝.
∴y＝225x＋－360(x>0).
(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10
800.
∴y＝225x＋－360≥10
440.
当且仅当225x＝时，等号成立.
即当x＝24
m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10
440元.
规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y.
(2)建立相应的关系式.把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题.
(3)求出y的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
【训练2】 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，每件产品的平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？
解 设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝＝＋≥2＝20，
当且仅当＝，即x＝80(x＝－80舍去)时等号成立.
故每批生产产品80件时，可使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.
一、素养落地
1.通过运用基本不等式求解函数的最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用基本不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养.
2.利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.注意“1”的代换.
3.已知x，y是正数.
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值.
即：“和定积最大，积定和最小”.
(3)求解应用题的方法与步骤.
①审题，②建模(列式)，③解模，④作答.
二、素养训练
1.已知2a＋b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值是( )
A.2
B.3－2
C.3＋2
D.3＋
解析 ＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时，等号成立.∴＋的最小值是3＋2.
答案 C
2.已知x>－2，则x＋的最小值为( )
A.－
B.－1
C.2
D.0
解析 因为x>－2，∴x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝－1时“＝”成立.
答案 D
3.已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么xy的最大值是________.
解析 ∵x>0，y>0，∴x＋2y＝2≥2，∴2xy≤1，
∴xy≤，当且仅当x＝2y即x＝1，y＝时“＝”成立.
答案
4.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大.
解析 C＝＝.
因为t>0，所以t＋≥2＝4
.
所以C＝≤＝5，
当且仅当t＝，
即t＝2时，C取得最大值.
答案 2
5.已知正数x，y满足＋＝1，求x＋2y的最小值.
解 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，x＋2y取得最小值，最小值为18.
基础达标
一、选择题
1.若(x>1)在x＝t处取得最小值，则t等于( )
A.1＋
B.2
C.3
D.4
解析 ＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.
答案 B
2.若a>0，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值是( )
A.
B.1
C.4
D.8
解析 ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，取等号.
答案 C
3.欲用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18
m，则这个矩形的长、宽分别为( )
A.15，
B.15，
C.7，
D.7，
解析 设矩形的长为x
m，宽为y
m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
答案 A
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5
m
B.6.8
m
C.7
m
D.7.2
m
解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m).∵要求够用且浪费最少，故选C.
答案 C
5.已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A.8
B.7
C.6
D.5
解析 由已知可得6＝1，
∴2a＋b＝6×(2a＋b)
＝6≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，
∴9m≤54，即m≤6，故选C.
答案 C
二、填空题
6.已知x，y都是正数.
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________.
解析 (1)x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时等号成立，即x＋y的最小值是2.
(2)xy≤＝＝，当且仅当x＝y＝时等号成立，即xy的最大值是.
答案 (1)2 (2)
7.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________.
解析 根据题意，3a＋b＝2ab?＋＝1，
则a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋，当且仅当b＝a时等号成立，
则a＋b的最小值为2＋.
答案 2＋
8.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.
解析 因为x>0，所以＝≤＝.
当且仅当x＝1时，等号成立，
所以的最大值为.
所以a≥.
答案
三、解答题
9.已知x，y都是正数.
(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
(2)若x＋2y＝3，求＋的最小值.
解 (1)∵3x＋2y＝12，
∴xy＝·3x·2y≤×＝6，
当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立.
∴xy取得最大值为6.
(2)∵x＋2y＝3，∴1＝＋，
∴＋＝＝＋＋＋
≥1＋2＝1＋，
当且仅当＝，即x＝3－3，y＝3－时取等号，
∴＋的最小值为1＋.
10.某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100
km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间.假设目前油价为7.2
元/L，汽车的耗油率为L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)
解 设总费用为y元.
由题意得
y＝76.4×＋7.2××
＝＋2x(40≤x≤100).
因为y＝＋2x≥2＝280.
当且仅当＝2x，即x＝70时取等号.
所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70
km/h.
能力提升
11.已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________.
解析 正数x，y满足x＋y＝1，
即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
则＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]
＝≥＝×(5＋4)＝，
当且仅当x＝2y＝时，取得最小值.
答案
12.设计用32
m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2
m，求车厢的最大容积是多少m3?
解 设车厢的长为b
m，高为a
m.
由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，
∴V＝a··2＝2·.
设a＋1＝t，
则V＝2≤2＝16，
当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立.
故车厢的最大容积是16
m3.
创新猜想
13.(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是( )
A.ab有最小值
B.＋有最大值
C.＋有最小值4
D.a2＋b2有最小值
解析 ∵a>0，b>0,
且a＋b＝1，
∴ab≤＝，
当且仅当a＝b时等号成立.
∴ab有最大值，∴A错误.
(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋(a＋b)＝2，
当且仅当a＝b＝时等号成立，即＋≤，
∴B正确.
＋＝·(a＋b)＝2＋＋≥4，
当且仅当a＝b时等号成立，∴C正确.
又a2＋b2≥2ab，
∴a2＋b2≥＝＝，即a＝b时，a2＋b2有最小值，故D错误.
答案 BC
14.(多空题)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m，面积最大为________m2.
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"b22.TIF"
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MERGEFORMAT
解析 设矩形花园的宽为y，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)≤＝400，当且仅当x＝20时，等号成立，即当x＝20
m时，面积最大，最大值为400
m2.
答案 20 400(共33张PPT)
3.2.2 基本不等式的应用
课标要求
素养要求
1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.
2.能够利用基本不等式解决实际问题.
通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.
新知探究
(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
(2)某农场主想用篱笆围成一个10
000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？
问题 在周长相等的矩形中，正方形的面积最大，那么在面积相等的矩形中，什么样的图形周长最小？
提示 在面积相等的矩形中，正方形的周长最小.
基本不等式与最大(小)值
a＝b
最小值
最大值
拓展深化
[微判断]
1.对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值.(
)
提示 a，b为正实数.
2.对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.(
)
提示 a，b为正实数.
提示 当且仅当x＝1时才能取得最小值，但x>2，取不到最小值2.
×
×
×
[微训练]
1.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.
2.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.
答案 50
[微思考]
提示 这个同学的解法是错误的.理由如下：
题型一 基本不等式的变形应用求最值
角度1 积定求和或和定求积的最值
【例1－1】 (1)若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
角度2 “1”的代换求最值
解析 (1)法一(1的代换)
解①②可得x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
因为x>0，y>0，所以y>9.
因为y>9，所以y－9>0，
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
(2)∵x＋y＝1，
答案 (1)16 (2)9
角度3 恒成立问题求最值
A.10
B.9
C.8
D.7
答案 B
规律方法 利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.
(2)构造法：
【训练1】 (1)若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则x＋y的最小值为( )
A.9
B.8
C.5
D.4
当且仅当x＝2y＝6时等号成立，
则x＋y的最小值为9.
答案 (1)A (2)B
题型二 基本不等式的实际应用
【例2】 围建一个面积为360
m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2
m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45
元/m，新墙的造价为180
元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单元：元).
(1)用x表示y；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
解 (1)设矩形的另一边长为a
m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
即当x＝24
m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10
440元.
规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y.
(2)建立相应的关系式.把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题.
(3)求出y的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
故每批生产产品80件时，可使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.
一、素养落地
1.通过运用基本不等式求解函数的最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用基本不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养.
2.利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.注意“1”的代换.
3.已知x，y是正数.
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值.
即：“和定积最大，积定和最小”.
(3)求解应用题的方法与步骤.
①审题，②建模(列式)，③解模，④作答.
二、素养训练
答案 C
答案 D
3.已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么xy的最大值是________.
答案 2
即t＝2时，C取得最大值.
