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3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
课标要求
素养要求
1.了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系.
2.会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况.
用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况，提升直观想象素养、逻辑推理素养.
新知探究
从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等.
问题 你知道竹竿有多长吗？
提示 设竹竿长为x，则列方程(x－4)2＋(x－2)2＝x2，求方程的根.
1.二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当____________时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与__________________，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点.
函数值取零
x轴交点的横坐标
2.二次函数图象、一元二次方程的根与零点之间的关系(当a>0时
)
拓展深化
[微判断]
1.二次函数的零点是图象与x轴的交点.(
)
提示 零点不是点，是图象与x轴交点的横坐标.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c一定有零点.(
)
提示 当Δ＝b2－4ac<0时，没有零点.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点即为对应方程ax2＋bx＋c＝0的根.(
)
×
×
√
[微训练]
1.二次函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是________.
2.二次函数y＝x2－x＋1有________个零点.
解析 ∵Δ＝1－4＝－3<0，故没有零点.
答案 0
[微思考]
二次函数的零点与一元二次方程有何关系？零点是个点吗？
提示 二次函数的零点即对应一元二次方程的根，也是函数图象与x轴交点的横坐标.零点不是点，是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值为零.
题型一 二次函数零点的判断
【例1】 判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点.
(1)y＝－x2＋2x＋3.
(2)y＝x2－x－6.
(3)y＝2x2＋3x＋2.
解 (1)由y＝－x2＋2x＋3＝0，
∵Δ＝4＋4×3＝16>0，
∴方程有两个不等实根，得x1＝－1，x2＝3.
二次函数y＝－x2＋2x＋3有两个零点－1和3.
(2)由y＝x2－x－6＝0得x1＝－2，x2＝3.∴二次函数y＝x2－x－6有两个零点－2和3.
(3)由2x2＋3x＋2＝0得Δ＝9－4×2×2＝－7<0.
∴方程没有实数根，即二次函数y＝2x2＋3x＋2没有零点.
规律方法 二次函数的零点就是相应一元二次方程的实数根，判断是否有零点，即用Δ＝b2－4ac判断一元二次方程的根的情况，解一元二次方程得函数的零点.也可画出函数的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数零点.
【训练1】 判断下列函数零点的个数.
(1)y＝x2－7x＋12.
(2)y＝x2＋1.
(3)y＝3x2＋6x＋3.
解 (1)由y＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根，即函数有两个零点.
(2)由x2＋1＝0得Δ＝－4<0，即方程无实根，∴函数有0个零点.
(3)由y＝0，即3x2＋6x＋3＝0，∵Δ＝36－4×3×3＝0.
∴方程3x2＋6x＋3＝0有一个实数根，∴函数有一个零点.
题型二 函数零点与参数的值
【例2】 若函数y＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数y＝x2＋x－a其余的零点.
解 由题意知y|x＝－3＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，
∴y＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，
得x＝－3或2.∴函数其余的零点是2.
规律方法 由函数的零点(方程的根)求参数的取值时，由条件构建关于参数的关系式；解关系式求参数值；结合一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac及根与系数的关系列式求解.
【训练2】 (1)已知函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，则函数y2＝－bx2＋ax－1零点个数为________.
(2)若函数y1＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是( )
解析 (1)函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，
即方程x2－ax＋b＝0有两个不相等的实数根，或函数y1＝x2－ax＋b的图象与x轴有两个不同的交点，
因而Δ1＝a2－4b>0.
对于函数y2＝－bx2＋ax－1，当b＝0，a≠0时，y2＝－bx2＋ax－1只有1个零点；
当b≠0时，由于Δ2＝a2－4b>0，
因而y2＝－bx2＋ax－1有2个零点.
综上，函数y2＝－bx2＋ax－1的零点个数为1或2.
答案 (1)1或2 (2)B
题型三 一元二次方程根的分布
【例3】 已知一元二次方程x2＋mx＋1＝0的两根都在(0，2)内，求实数m的取值范围.
解 设y＝x2＋mx＋1，
规律方法 解决一元二次方程根的分布问题应注意
(1)可转化为函数问题，要画出符合题意的草图.
(2)结合二次函数草图考虑四个方面；①Δ的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③开口方向；④端点的函数值与零的关系.
(3)列出不等式(组)，要验证图象是否符合.
(4)若看根的正负问题，可利用根与系数的关系及根的判别式列式求解.
【训练3】 (1)若函数y＝x2＋(1－m)x＋m－2的一个零点大于0，另一个零点小于0，则实数m的取值范围是________.
(2)若关于x的方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则实数m的取值范围是( )
解析 (1)由题意知方程x2＋(1－m)x＋m－2＝0有两个异号的实数根.∴Δ＝(1－m)2－4(m－2)>0，x1·x2＝m－2<0，即m<2.
(2)设y＝4x2＋(m－2)x＋m－5，依题意得出函数f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(0，2)内，画出函数的大致图象如图所示.
答案 (1)(－∞，2) (2)B
一、素养落地
1.结合二次函数的图象判断一元二次方程根的分布，提升直观想象素养和逻辑推理素养.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是方程y＝0的实数根，也就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标；所以函数的零点是一个数而不是一个点，在写函数零点时，所写的一定是一个数，而不是一个坐标.注意问题的相互转化.
二、素养训练
1.函数y＝x2＋x＋3的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 由x2＋x＋3＝0得Δ＝1－12<0，∴方程没有实数根，而函数没有零点.
答案 A
2.函数y＝2x2－5x＋2的零点是( )
答案 C
3.若一元二次方程x2－4x＋2k＝0有实数根，则k的取值范围是________.
解析 由Δ＝16－8k≥0，得k≤2.
答案 (－∞，2]
4.函数y＝x2－5x－14的零点是________.
解析 由x2－5x－14＝0，得x1＝－2，x2＝7.
答案 －2和7
5.判断下列函数是否有零点，若有，求出零点.
(1)y＝x2－3x－4；
(2)y＝x2－4x＋15.
解 (1)由y＝x2－3x－4＝0，得x1＝－1，x2＝4.
∴函数y＝x2－3x－4有两个零点为－1和4.
(2)由y＝x2－4x＋15＝0，因为Δ＝16－4×15<0，
∴方程x2－4x＋15＝0没有实数解，则函数没有零点.3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
课标要求
素养要求
1.了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系.2.会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况.
用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况，提升直观想象素养、逻辑推理素养.
新知探究
从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等.
问题 你知道竹竿有多长吗？
提示 设竹竿长为x，则列方程(x－4)2＋(x－2)2＝x2，求方程的根.
1.二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点.
2.二次函数图象、一元二次方程的根与零点之间的关系(当a>0时
)
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0的根
有两个相异实根x1，2＝
两相等实数x1＝x2＝－
没有实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点
有两个零点x1，2＝
有一个零点x1＝x2＝－
无零点
拓展深化
[微判断]
1.二次函数的零点是图象与x轴的交点.(×)
提示 零点不是点，是图象与x轴交点的横坐标.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c一定有零点.(×)
提示 当Δ＝b2－4ac<0时，没有零点.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点即为对应方程ax2＋bx＋c＝0的根.(√)
[微训练]
1.二次函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是________.
解析 方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝，故零点为1，.
答案 1和
2.二次函数y＝x2－x＋1有________个零点.
解析 ∵Δ＝1－4＝－3<0，故没有零点.
答案 0
[微思考]
二次函数的零点与一元二次方程有何关系？零点是个点吗？
提示 二次函数的零点即对应一元二次方程的根，也是函数图象与x轴交点的横坐标.零点不是点，是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值为零.
题型一 二次函数零点的判断
【例1】 判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点.
(1)y＝－x2＋2x＋3.
(2)y＝x2－x－6.
(3)y＝2x2＋3x＋2.
解 (1)由y＝－x2＋2x＋3＝0，
∵Δ＝4＋4×3＝16>0，
∴方程有两个不等实根，得x1＝－1，x2＝3.
二次函数y＝－x2＋2x＋3有两个零点－1和3.
(2)由y＝x2－x－6＝0得x1＝－2，x2＝3.∴二次函数y＝x2－x－6有两个零点－2和3.
(3)由2x2＋3x＋2＝0得Δ＝9－4×2×2＝－7<0.
∴方程没有实数根，即二次函数y＝2x2＋3x＋2没有零点.
规律方法 二次函数的零点就是相应一元二次方程的实数根，判断是否有零点，即用Δ＝b2－4ac判断一元二次方程的根的情况，解一元二次方程得函数的零点.也可画出函数的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数零点.
【训练1】 判断下列函数零点的个数.
(1)y＝x2－7x＋12.
(2)y＝x2＋1.
(3)y＝3x2＋6x＋3.
解 (1)由y＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根，即函数有两个零点.
(2)由x2＋1＝0得Δ＝－4<0，即方程无实根，∴函数有0个零点.
(3)由y＝0，即3x2＋6x＋3＝0，∵Δ＝36－4×3×3＝0.
∴方程3x2＋6x＋3＝0有一个实数根，∴函数有一个零点.
题型二 函数零点与参数的值
【例2】 若函数y＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数y＝x2＋x－a其余的零点.
解 由题意知y|x＝－3＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，
∴y＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，
得x＝－3或2.∴函数其余的零点是2.
规律方法 由函数的零点(方程的根)求参数的取值时，由条件构建关于参数的关系式；解关系式求参数值；结合一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac及根与系数的关系列式求解.
【训练2】 (1)已知函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，则函数y2＝－bx2＋ax－1零点个数为________.
(2)若函数y1＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是( )
A.－1，
B.1，－
C.，
D.－，－
解析 (1)函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，
即方程x2－ax＋b＝0有两个不相等的实数根，或函数y1＝x2－ax＋b的图象与x轴有两个不同的交点，
因而Δ1＝a2－4b>0.
对于函数y2＝－bx2＋ax－1，当b＝0，a≠0时，y2＝－bx2＋ax－1只有1个零点；
当b≠0时，由于Δ2＝a2－4b>0，
因而y2＝－bx2＋ax－1有2个零点.
综上，函数y2＝－bx2＋ax－1的零点个数为1或2.
(2)由2和3是函数的零点，故2＋3＝a，2×3＝b，∴a＝5，b＝6，则y2＝6x2－5x－1的零点为1，－.
答案 (1)1或2 (2)B
题型三 一元二次方程根的分布
【例3】 已知一元二次方程x2＋mx＋1＝0的两根都在(0，2)内，求实数m的取值范围.
解 设y＝x2＋mx＋1，
由题意知
∴∴－∴实数m的取值范围为.
规律方法 解决一元二次方程根的分布问题应注意
(1)可转化为函数问题，要画出符合题意的草图.
(2)结合二次函数草图考虑四个方面；①Δ的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③开口方向；④端点的函数值与零的关系.
(3)列出不等式(组)，要验证图象是否符合.
(4)若看根的正负问题，可利用根与系数的关系及根的判别式列式求解.
【训练3】 (1)若函数y＝x2＋(1－m)x＋m－2的一个零点大于0，另一个零点小于0，则实数m的取值范围是________.
(2)若关于x的方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.∪(5，＋∞)
D.
解析 (1)由题意知方程x2＋(1－m)x＋m－2＝0有两个异号的实数根.∴Δ＝(1－m)2－4(m－2)>0，x1·x2＝m－2<0，即m<2.
(2)设y＝4x2＋(m－2)x＋m－5，依题意得出函数f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(0，2)内，画出函数的大致图象如图所示.
由图象得
即
解得－答案 (1)(－∞，2) (2)B
一、素养落地
1.结合二次函数的图象判断一元二次方程根的分布，提升直观想象素养和逻辑推理素养.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是方程y＝0的实数根，也就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标；所以函数的零点是一个数而不是一个点，在写函数零点时，所写的一定是一个数，而不是一个坐标.注意问题的相互转化.
二、素养训练
1.函数y＝x2＋x＋3的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 由x2＋x＋3＝0得Δ＝1－12<0，∴方程没有实数根，而函数没有零点.
答案 A
2.函数y＝2x2－5x＋2的零点是( )
A.(2，0)，
B.(－2，0)，
C.2，
D.－2，－
解析 由2x2－5x＋2＝0得x1＝2，x2＝.且零点不是点的坐标.
答案 C
3.若一元二次方程x2－4x＋2k＝0有实数根，则k的取值范围是________.
解析 由Δ＝16－8k≥0，得k≤2.
答案 (－∞，2]
4.函数y＝x2－5x－14的零点是________.
解析 由x2－5x－14＝0，得x1＝－2，x2＝7.
答案 －2和7
5.判断下列函数是否有零点，若有，求出零点.
(1)y＝x2－3x－4；
(2)y＝x2－4x＋15.
解 (1)由y＝x2－3x－4＝0，得x1＝－1，x2＝4.
∴函数y＝x2－3x－4有两个零点为－1和4.
(2)由y＝x2－4x＋15＝0，因为Δ＝16－4×15<0，
∴方程x2－4x＋15＝0没有实数解，则函数没有零点.
基础达标
一、选择题
1.函数y＝－x2＋x＋2的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 由－x2＋x＋2＝0得Δ＝1＋8＝9>0，∴方程有两个实根，即函数有两个零点.
答案 C
2.已知关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则实数a的取值范围是( )
A.(4，＋∞)
B.(－∞，4)
C.(－∞，2)
D.(2，＋∞)
解析 ∵关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，
∴令y＝x2－ax＋3，其图象开口向上，只需y|x＝1＝1－a＋3＝4－a<0，得a>4.故选A.
答案 A
3.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足y|x＝1＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为( )
A.1
B.2
C.0
D.不能确定
解析 由y|x＝1＝a＋b＋c＝0，又a>b>c，
∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0，∴函数的零点有2个.
答案 B
4.若二次函数y＝ax2＋2x＋1(a≠0)有一个正零点和一个负零点，则有( )
A.a<0
B.a>0
C.a<－1
D.a>1
解析 法一 由y＝ax2＋2x＋1(a≠0)的图象过(0，1)点，要使函数的图象与x轴的交点分别在y轴的左右两侧，则a<0.
法二 由方程ax2＋2x＋1＝0有两相异号实根，设两根为x1，x2，则x1x2＝<0，且Δ＝4－4a>0，∴a<0.
答案 A
5.若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1，2，则函数y＝cx2＋bx＋a的零点为( )
A.1，2
B.－1，－2
C.1，
D.－1，－
解析 1和2是ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴－＝3，＝2.
则y＝cx2＋bx＋a＝a·＝a·(2x2－3x＋1)＝a(x－1)(2x－1)，故零点为1，.
答案 C
二、填空题
6.函数y＝2x2－ax＋3有一零点为，则y|x＝1＝________.
解析 ∵是函数的零点，∴2×－a×＋3＝0，
∴a＝5，∴y＝2x2－5x＋3，∴y|x＝1＝0.
答案 0
7.已知函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________.
解析 ax2＋2ax＋c＝0的一个根为1，设另一根为x0.则1＋x0＝－2，∴x0＝－3.
答案 －3
8.函数y＝x2－5x－6在区间[1，4]上的零点个数是________.
解析 由x2－5x－6＝0得x1＝－1，x2＝6.
即函数的零点是－1，6，∴函数在[1，4]上的零点个数为0.
答案 0
三、解答题
9.已知二次函数y＝－x2－x＋a只有一个零点，求实数a的值.
解 二次函数y＝－x2－x＋a只有一个零点，即方程－x2－x＋a＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝1＋4a＝0.∴a＝－.
10.已知函数y＝ax2＋2ax＋1有两个零点x1，x2且x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)，求a的取值范围.
解 因为y＝ax2＋2x＋1有两个零点，则函数的图象过(0，1)且与x轴有两个交点，又x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)，又∵y|x＝0＝1>0，∴∴a<－，即a的取值范围是.
能力提升
11.若函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点，则a＝________.
解析 当a＝0时，由y＝0得－2x－1＝0，即x＝－，符合题意；
当a≠0时，ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0为一元二次方程有且仅有一个根.
∴Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)＝12a＋4＝0，∴a＝－.
答案 0或－
12.若关于x的方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，试说明关于x的方程x2＋mx＋12m＝1一定有实数根.
解 ∵方程x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，
∴此方程的判别式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0.而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判别式Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，
∵m<0，∴m2>0，－48m>0，∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，
∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不等的实数根，即一定有实数根.
创新猜想
13.(多选题)函数y1＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1A.x1<2且2B.x1>2且x2>5
C.x1<2且x2>5
D.25
解析 令y2＝(x－2)(x－5)，则y1＝y2－1，
∴函数y1＝(x－2)(x－5)－1的零点就是函数y2＝(x－2)(x－5)与函数y＝1图象交点的横坐标.
在同一坐标系内画出y2＝(x－2)(x－5)的图象与y＝1的图象如图所示，结合图象知只有C正确.
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MERGEFORMAT
答案 ABD
14.(多空题)函数y＝x2－mx－2的一个零点是－1，则m＝________，另一个零点是________.
解析 由y|x＝－1＝1＋m－2＝0得m＝1，
∴y＝x2－x－2，由x2－x－2＝0得x1＝－1或x2＝2.
答案 1 2
