(共33张PPT)
第二课时 一元二次不等式的应用
课标要求
素养要求
1.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
从函数观点认识不等式，解决不等式的实际问题，提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养，在解决实际问题时，培养数学建模素养.
新知探究
春天到了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为大熊猫建一个室外活动室，现有可以做出20
m栅栏的材料，要使得活动室的面积不小于42
m2.
问题 能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？
1.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案.
2.简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于零要取“两端”，小于零要取“中间”
拓展深化
[微判断]
提示 两不等式等价，但函数图象不同.
2.对于ax2＋3x＋2>0，当a＝1时与a＝－1时，对应的不等式解集不能求并集.(
)
提示 当a>0时成立，a<0时不等价.
×
√
×
[微训练]
2.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A.m≥2
B.m≤－2
C.m≤－2或m≥2
D.－2≤m≤2
解析 由题意得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.
答案 D
[微思考]
提示 (1)同解.
(2)不同解.
(3)不是同解不等式.
想一想 (1)不等式①与(x＋1)(x＋2)>0同解吗？
(2)不等式②与(x＋1)(x＋2)≥0同解吗？
(3)不等式①和②是同解不等式吗？
题型一 简单分式不等式的解法
【例1】 解不等式：
故原不等式的解集为{x|x<－2}.
【训练1】 解下列不等式：
题型二 不等式在实际中的应用
【例2】 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).
化简得x2＋40x－84≤0，
解得－42≤x≤2.
又因为0
即x的取值范围为{x|0规律方法 解不等式应用题的步骤
【训练2】 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解 (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
题型三 不等式恒成立问题
角度1 在R上恒成立问题
【例3－1】 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y<0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
解得－1综上，实数k的取值范围是(－1，0].
(2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4(a2－3a－3)≤0，
即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞).
角度2 在给定闭区间上的恒成立问题
【例3－2】 设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解 (1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
∴－4即m的取值范围是(－4，0]
(2)当x∈[1，3]时，y<－m＋5恒成立，
即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.
又m(x2－x＋1)－6<0，
【训练3】 若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对?x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
解 由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，
原不等式可化为2x－6<0，解得x<3，不符合题意，应舍去.当m＋1≠0时，由(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对?x∈R恒成立，
一、素养落地
1.从函数观点认识不等式，列不等式解决实际问题，提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.在实际问题解决中，提升数学建模素养.
2.解分式不等式的思路是转化为整式不等式.注意分母不为零.
3.一元二次不等式恒成立问题
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
二、素养训练
A.[1，2]
B.(－∞，1]∪[2，＋∞)
C.[1，2)
D.(－∞，1]∪(2，＋∞)
答案 D
A.{t|1≤t≤3}
B.{t|3≤t≤5}
C.{t|2≤t≤4}
D.{t|4≤t≤6}
答案 B
解析 由题意知x＋1≠0，因此(x＋1)2>0，原不等式两边同时乘以(x＋1)2可得(x－1)(x＋1)≥2(x＋1)2且x＋1≠0，即(x＋1)(x＋3)≤0且x≠－1，因此原不等式的解集为[－3，－1).
答案 [－3，－1)
4.对任意的x∈R，函数y＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________.
解析 由题意知，y开口向上，故要使y>0恒成立，
只需Δ<0即可，
即(a－4)2－4(5－2a)<0，
解得－2答案 {a|－25.当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.
解 令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在[1，2]上恒成立，
∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2.
∴实数m的取值范围为(－∞，－5).(共36张PPT)
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第一课时 一元二次不等式的解法
课标要求
素养要求
1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系.
2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
新知探究
某项体育活动中，甲小组有n人(n>5)，游戏规则是每人在规定时间内，从A地跑到B地可得(n－4)分，经测试甲小组至多有5人不能在比赛时完成这个任务，如果甲小组在比赛中得分要多于56分，问至少应有多少人参赛？
问题 列出怎样的关系式求解？
提示 (n－5)(n－4)>56，即不等式n2－9n－36>0.
“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
“三个二次”之间的关系非常重要，它是研究函数、方程及不等式的关系的重要依据
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
?
?
?
{x|xx2}
R
{x|x1?
?
拓展深化
[微判断]
1.不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(
)
提示 当a≠0时，ax2＋x－1<0是关于x的一元二次不等式.
2.如果关于x的方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式ax2＋bx＋c>0也无解.(
)
提示 当a>0时，解集为R；当a<0时，解集为?.
3.x2－1>0与1－x2<0的解集相等.(
)
4.不等式x2>1的解集是{x|x>1或x>－1}.(
)
提示 解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
×
×
√
×
[微训练]
1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 ②④一定是一元二次不等式.
答案 B
2.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________.
答案 {x|x>3或x<－2}
3.不等式x2<2的解集是________.
[微思考]
一元二次不等式与二次函数有什么关系？
提示 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.
题型一 一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0；
(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).
解 (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1，或x>6}.
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3，或x>2}.
(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
规律方法 解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零.
(2)计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.
【训练1】 解下列不等式：
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为?.
题型二 “三个二次”间对应关系的应用
∴2x2＋bx＋a<0可化为2x2－2x－12<0，
即x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，解得－2∴2x2＋bx＋a<0的解集为{x|－2规律方法 三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的方向易写错不等式的解集形式.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解得a＝－6，c＝－1.
题型三 解含参数的一元二次不等式
角度1 讨论两根大小
【例3－1】 解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R).
解 原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.
(1)当－1－a<－1＋a，即a>0时，－1－a≤x≤－1＋a；
(2)当－1－a＝－1＋a，即a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1；
(3)当－1－a>－1＋a，即a<0时，－1＋a≤x≤－1－a.
综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a<0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}.
角度2 讨论二次项系数
【例3－2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
角度3 讨论判别式
【例3－3】 解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R).
方程x2－2ax＋3＝0有两个不相等的实数根，
方程x2－2ax＋3＝0没有实数根，所以不等式的解集为R.
方程x2－2ax＋3＝0有两个相等的实数根，所以不等式的解集为R.
规律方法 解含参数的一元二次不等式的步骤
【训练3】 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
解 (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}.
即原不等式的解集为?；
一、素养落地
1.从函数观点认识不等式，感悟“三个二次”之间的关系，提升数学抽象素养和数学运算素养.
2.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般方法是：
(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类.
(2)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.
(3)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.
3.三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题.
二、素养训练
1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
答案 D
2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
3.不等式x2－3x－10<0的解集是________.
解析 由于x2－3x－10＝0的两根为－2，5，故x2－3x－10<0的解集为{x|－2答案 {x|－24.已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是______________.
解析 x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
答案 {k|k≥4或k≤2}
5.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
解 ∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.
代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第一课时 一元二次不等式的解法
课标要求
素养要求
1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系.2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
新知探究
某项体育活动中，甲小组有n人(n>5)，游戏规则是每人在规定时间内，从A地跑到B地可得(n－4)分，经测试甲小组至多有5人不能在比赛时完成这个任务，如果甲小组在比赛中得分要多于56分，问至少应有多少人参赛？
问题 列出怎样的关系式求解？
提示 (n－5)(n－4)>56，即不等式n2－9n－36>0.
“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
“三个二次”之间的关系非常重要，它是研究函数、方程及不等式的关系的重要依据
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实根x1，x2，且x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
拓展深化
[微判断]
1.不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(×)
提示 当a≠0时，ax2＋x－1<0是关于x的一元二次不等式.
2.如果关于x的方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式ax2＋bx＋c>0也无解.(×)
提示 当a>0时，解集为R；当a<0时，解集为?.
3.x2－1>0与1－x2<0的解集相等.(√)
4.不等式x2>1的解集是{x|x>1或x>－1}.(×)
提示 解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
[微训练]
1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 ②④一定是一元二次不等式.
答案 B
2.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________.
答案 {x|x>3或x<－2}
3.不等式x2<2的解集是________.
答案 {x|－[微思考]
一元二次不等式与二次函数有什么关系？
提示 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.
题型一 一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0；
(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).
解 (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1，或x>6}.
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3，或x>2}.
(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
规律方法 解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零.
(2)计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.
【训练1】 解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0；(4)－x2＋3x－5>0.
解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为?.
题型二 “三个二次”间对应关系的应用
【例2】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，求2x2＋bx＋a<0的解集.
解 ∵ax2＋bx＋2>0的解集为，
∴－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根.
由根与系数的关系得解得
∴2x2＋bx＋a<0可化为2x2－2x－12<0，
即x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，解得－2∴2x2＋bx＋a<0的解集为{x|－2规律方法 三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的方向易写错不等式的解集形式.
【训练2】 已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
由根与系数的关系得
解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.
题型三 解含参数的一元二次不等式
角度1 讨论两根大小
【例3－1】 解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R).
解 原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.
(1)当－1－a<－1＋a，
即a>0时，－1－a≤x≤－1＋a；
(2)当－1－a＝－1＋a，
即a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，
∴x＝－1；
(3)当－1－a>－1＋a，即a<0时，－1＋a≤x≤－1－a.
综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a<0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}.
角度2 讨论二次项系数
【例3－2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当<－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为.
角度3 讨论判别式
【例3－3】 解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R).
解 当Δ＝4a2－12>0，即a>或a<－时，
方程x2－2ax＋3＝0有两个不相等的实数根，
x1＝a－，x2＝a＋，且x1所以不等式的解集为{x|x≤a－，或x≥a＋}.当Δ＝4a2－12<0，即－方程x2－2ax＋3＝0没有实数根，所以不等式的解集为R.
当Δ＝4a2－12＝0，即a＝±时，
方程x2－2ax＋3＝0有两个相等的实数根，所以不等式的解集为R.
综上所述，当a>或a<－时，不等式的解集为{x|x≤a－，或x≥a＋}，当－≤a≤时，不等式的解集为R.
规律方法 解含参数的一元二次不等式的步骤
【训练3】 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
解 (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}.
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a<－时，解不等式得－即原不等式的解集为；
②当a＝－时，不等式无解，
即原不等式的解集为?；
③当－即原不等式的解集为；
④当a>0时，解不等式得x<－或x>2，
即原不等式的解集为.
一、素养落地
1.从函数观点认识不等式，感悟“三个二次”之间的关系，提升数学抽象素养和数学运算素养.
2.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般方法是：
(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类.
(2)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.
(3)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.
3.三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题.
二、素养训练
1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A.
B.
C.?
D.
解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.
答案 D
2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A.1
B.2
C.3
D.4
解析 由题意可知－7和－1为ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝，解得a＝3.
答案 C
3.不等式x2－3x－10<0的解集是________.
解析 由于x2－3x－10＝0的两根为－2，5，故x2－3x－10<0的解集为{x|－2答案 {x|－24.已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是______________.
解析 x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
答案 {k|k≥4或k≤2}
5.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
解 ∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.
由根与系数的关系得得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.
解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
基础达标
一、选择题
1.不等式6x2＋x－2≤0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析 因为6x2＋x－2≤0?(2x－1)(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.
答案 A
2.若0A.
B.
C.
D.
解析 ∵0∴>1，∴>t.
∴(x－t)<0?t答案 D
3.如果关于x的不等式x2A.－81
B.81
C.－64
D.64
解析 不等式x2x2－ax－b<0，其解集是{x|1由根与系数的关系得
解得a＝4，b＝－3.
所以ba＝(－3)4＝81.故选B.
答案 B
4.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A.{x|0B.{x|－2C.{x|x<－2或x>1}
D.{x|－1解析 根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－2答案 B
5.若一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－3或x>5}，则ax2－bx＋c<0的解集为( )
A.{x|x<－5或x>3}
B.{x|－5C.{x|x<－3或x>5}
D.{x|－3解析 由根与系数的关系得：
?
代入得ax2＋2ax－15a<0，
又由解集的形式知a<0，∴x2＋2x－15>0，
∴(x－3)(x＋5)>0
∴x>3或x<－5.
答案 A
二、填空题
6.不等式－x2＋5x>6的解集是________.
解析 不等式－x2＋5x>6变形为x2－5x＋6<0，
因式分解为(x－2)(x－3)<0，解得2∴不等式－x2＋5x>6的解集为{x|2答案 {x|27.不等式－1解析 ∵
∴－3≤x<－2或0答案 {x|－3≤x<－2或08.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为2，－1，则当a＜0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为________.
解析 由题意ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x＋1)，故原不等式可化为a(x－2)(x＋1)≥0，又∵a＜0，∴(x－2)(x＋1)≤0，所求解集为[－1，2].
答案 [－1，2]
三、解答题
9.解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.
解 (1)方程2x2＋5x－3＝0的两实根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①.由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝36－4×3×2＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝.作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②，由图可得原不等式的解集为.
(3)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图③.由图可得原不等式的解集为.
③
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为?.
10.已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B.
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋bx＋3<0的解集.
解 (1)由x2＋x－6<0得－3∴A＝{x|－3∴B＝{x|－1(2)由已知得解得
∴－x2－2x＋3<0，即x2＋2x－3>0，
解得x<－3或x>1.
∴原不等式的解集为{x|x<－3或x>1}.
能力提升
11.关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________.
解析 ∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m<0，
∴m的取值范围是{m|m<0}.
答案 (－∞，0)
12.解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R).
解 原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；
当0a}；
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a>1时，aa2}.
综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}.
创新猜想
13.(多选题)下列不等式的解集为R的是( )
A.x2＋2x＋>0
B.x2＋6x＋10>0
C.－x2＋x－2<0
D.2x2－3x＋4<1
解析 A中，Δ＝(2)2－4>0，解集不为R；D中不等式化为2x2－3x＋3<0，解集为?.
答案 BC
14.(多空题)若不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，则a＋b＝________，ax2－3x＋2≤0的解集为________.
解析 由题意知1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，则a－3＋2＝0，ab2－3b＋2＝0，所以a＝1，b＝2.故a＋b＝3，而ax2－3x＋2≤0的解集为[1，2].
答案 3 [1，2]第二课时 一元二次不等式的应用
课标要求
素养要求
1.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
从函数观点认识不等式，解决不等式的实际问题，提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养，在解决实际问题时，培养数学建模素养.
新知探究
春天到了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为大熊猫建一个室外活动室，现有可以做出20
m栅栏的材料，要使得活动室的面积不小于42
m2.
问题 能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？
提示 设与墙平行的栅栏长度为x，则x·≥42.由不等式求解x的取值范围.
1.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案.
2.简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于零要取“两端”，小于零要取“中间”
拓展深化
[微判断]
1.由于>0等价于(x－5)(x＋3)>0，故y＝与y＝(x－5)(x＋3)图象也相同.(×)
提示 两不等式等价，但函数图象不同.
2.对于ax2＋3x＋2>0，当a＝1时与a＝－1时，对应的不等式解集不能求并集.(√)
3.(ax＋1)(x＋1)>0?(x＋1)>0.(×)
提示 当a>0时成立，a<0时不等价.
[微训练]
1.不等式≤0的解集为________.
解析 原不等式等价于
即即－故原不等式的解集为.
答案
2.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A.m≥2
B.m≤－2
C.m≤－2或m≥2
D.－2≤m≤2
解析 由题意得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.
答案 D
[微思考]
不等式①>0；②≥0.
想一想 (1)不等式①与(x＋1)(x＋2)>0同解吗？
(2)不等式②与(x＋1)(x＋2)≥0同解吗？
(3)不等式①和②是同解不等式吗？
提示 (1)同解.
(2)不同解.
(3)不是同解不等式.
题型一 简单分式不等式的解法
【例1】 解不等式：
(1)<0；
(2)≥0；
(3)>1.
解 (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
∴－1故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，
∴
∴
即－故原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为－1>0，
∴>0，∴>0，则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}.
规律方法 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解.
一般的分式不等式的同解变形法则：
(1)>0?f(x)·g(x)>0；
(2)≤0?
(3)≥a?≥0.
【训练1】 解下列不等式：
(1)≥0；
(2)>1.
解 (1)原不等式可化为
解得
∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为
>0，化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集为.
题型二 不等式在实际中的应用
【例2】 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
解得－42≤x≤2.
又因为0即x的取值范围为{x|0规律方法 解不等式应用题的步骤
【训练2】 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解 (1)由题意得
y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即
解得0所以投入成本增加的比例x的取值范围为
.
题型三 不等式恒成立问题
角度1 在R上恒成立问题
【例3－1】 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y<0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
∴
解得－1综上，实数k的取值范围是(－1，0].
(2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4(a2－3a－3)≤0，
即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞).
角度2 在给定闭区间上的恒成立问题
【例3－2】 设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解 (1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
若m≠0，?－4∴－4即m的取值范围是(－4，0]
(2)当x∈[1，3]时，y<－m＋5恒成立，
即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.
∵x2－x＋1＝＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵函数y1＝＝在[1，3]上的最小值为.
∴只需m<即可.
即m的取值范围是.
规律方法 (1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
(3)y＝ax2＋bx＋c，若y>0在某区间上恒成立，常用分离参数将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.另外y>0在区间[α，β]上恒成立?[α，β]?A，其中A是y>0的解集，结合图象求解.
【训练3】 若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对?x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
解 由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，
原不等式可化为2x－6<0，解得x<3，不符合题意，应舍去.当m＋1≠0时，由(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对?x∈R恒成立，
则有
解得m<－.
综上所述，实数m的取值范围是.
一、素养落地
1.从函数观点认识不等式，列不等式解决实际问题，提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.在实际问题解决中，提升数学建模素养.
2.解分式不等式的思路是转化为整式不等式.注意分母不为零.
3.一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
二、素养训练
1.不等式≥0的解集为( )
A.[1，2]
B.(－∞，1]∪[2，＋∞)
C.[1，2)
D.(－∞，1]∪(2，＋∞)
解析 由题意可知，不等式等价于
∴x>2或x≤1.
答案 D
2.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2
400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是( )
A.{t|1≤t≤3}
B.{t|3≤t≤5}
C.{t|2≤t≤4}
D.{t|4≤t≤6}
解析 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2
400×t%＝60(8t－t2).令y≥900，即60(8t－t2)≥900.解得3≤t≤5.
答案 B
3.不等式≥2的解集是________.
解析 由题意知x＋1≠0，因此(x＋1)2>0，原不等式两边同时乘以(x＋1)2可得(x－1)(x＋1)≥2(x＋1)2且x＋1≠0，即(x＋1)(x＋3)≤0且x≠－1，因此原不等式的解集为[－3，－1).
答案 [－3，－1)
4.对任意的x∈R，函数y＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________.
解析 由题意知，y开口向上，故要使y>0恒成立，
只需Δ<0即可，
即(a－4)2－4(5－2a)<0，
解得－2答案 {a|－25.当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.
解 令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在[1，2]上恒成立，
∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，得
可得所以m<－5.
∴实数m的取值范围为(－∞，－5).
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MERGEFORMAT
基础达标
一、选择题
1.不等式≥1的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(－1，2]
B.[－1，2]
C.(－∞，2]
D.(－1，2]
解析 ∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，即≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，故－1答案 D
2.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围是( )
A.(0，4)
B.[0，4)
C.(0，4]
D.[0，4]
解析 当a＝0时，ax2－ax＋1<0无解，符合题意.
当a<0时，ax2－ax＋1<0解集不可能为空集.
当a>0时，要使ax2－ax＋1<0解集为空集.
需解得0答案 D
3.不等式≥1的解集是( )
A.
B.
C.
D.
解析 不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为或
解得≤x<2，则原不等式的解集为，
故选B.
答案 B
4.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.{a|a<2}
B.{a|a≤2}
C.{a|－2D.{a|－2解析 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立；
当a－2≠0时，
解得－2答案 D
5.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是( )
A.[－4，1]
B.[－4，3]
C.[1，3]
D.[－1，3]
解析 由x2－(a＋1)x＋a≤0得(x－a)(x－1)≤0.
若a＝1，不等式的解集为{1}符合题意；
若a<1，不等式的解集为[a，1]，若满足[a，1]?[－4，3]，则－4≤a<1；
若a>1，不等式的解集为[1，a]，若满足[1，a]?[－4，3]，则1综上，－4≤a≤3，即实数a的取值范围是[－4，3].
答案 B
二、填空题
6.已知命题p：?x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，则实数a的取值范围是________.
解析 当a＝0时，1>0为真命题，符合题意；
当a≠0时，要使?x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，
则对应的抛物线开口向上且与x轴没有交点，
可得?0综上可得，实数a的取值范围是[0，4).
答案 [0，4)
7.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b所在的范围应是________.
解析 设每个涨价a元，则涨价后的利润与原利润之差为(10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a.
要使商家利润有所增加，则必须使－20a2＋200a>0，即a2－10a<0，得0∴售价b所在的范围应为90答案 {b|908.若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________.
解析 不等式x2－ax－a≤－3变形为x2－ax＋3－a≤0，∵不等式有解，∴方程x2－ax＋3－a＝0的判别式Δ≥0，即a2－4(3－a)≥0，解得a≤－6或a≥2，故实数a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
答案 (－∞，－6]∪[2，＋∞)
三、解答题
9.解下列不等式：
(1)<0；
(2)≤1.
解 (1)<0?(2x－5)(x＋4)<0?－4∴原不等式的解集为.
(2)∵≤1，∴－1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，
解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
10.已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围.
解 对于所有实数x都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数y＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方.当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有
解得m<1－.
综上可知，m的取值范围是.
能力提升
11.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3
000＋20x－0.1x2(0解析 依题意得25x≥3
000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－30
000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去).
因为0即最低产量是150台.
答案 150
12.已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，求关于x的不等式x2－x－a2＋a<0的解集.
解 ∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立.
当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
当a≠0时，则解得0综上，0≤a≤1.
由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.
∵0≤a≤1，
∴①当1－a>a，即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；
③当1－a综上，当0≤a<时，原不等式的解集为(a，1－a)；当a＝时，原不等式的解集为?；当创新猜想
13.(多选题)若不等式x2－2x＋2m>0在R上恒成立，则m的值可能是( )
A.－2
B.1
C.2
D.－1
解析 ∵不等式x2－2x＋2m>0在R上恒成立，
∴Δ＝4－8m<0，解得m>，故选BC.
答案 BC
14.(多选题)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝(500＋30x)元.若要求每天获利不少于1
300元，则日销售量x的取值范围可以是( )
A.{x|20≤x≤30，x∈N
}
B.{x|30≤x≤45，x∈N
}
C.{x|15≤x≤30，x∈N
}
D.{x|15≤x≤45，x∈N
}
解析 设该厂每天获得的利润为y元，
则y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，0.
根据题意知，－2x2＋130x－500≥1
300，解得20≤x≤45，
故当20≤x≤45且x∈N
时，每天获得的利润不少于1
300元.故选AB.
答案 AB