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第4章
指数与对数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
对数的概念，首先是由苏格兰数学家John
Napier(纳皮尔，1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.Napier也是一位天文爱好者，他感到“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍”.经过20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》(“Mirifici
logarithmorum
canonis
descriptio”)中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(Nap?logX).
[读图探新]——发现现象背后的知识
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….
问题1：依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
链接：初中我们学习过整数指数幂的概念及其运算性质，在此基础上由特殊到一般，用类比的方法来学习n次根式，由特殊值介入推广到一般分数指数幂的学习.
对数运算可以看作指数运算的逆运算，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数字，简化了数的运算.
4.1 指 数
4.1.1 根 式
课标要求
素养要求
1.理解n次方根，n次根式的概念及运算.
2.进行根式及分数指数幂的化简求值.
理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，提升学生数学抽象素养和数学运算素养.
新知探究
希帕索斯
问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
1.n次方根，n次根式
(1)a的n次方根的定义
一般地，如果__________，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N
.
xn＝a
(2)a的n次方根的表示
求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论
(3)根式
根指数
2.根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据
(1)______没有偶次方根.
负数
0
a
a
－a
拓展深化
[微判断]
2.实数a的n次方根有且只有一个.(
)
提示 当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个.
提示 当n为大于1的偶数，且a为负数时不成立.
√
×
×
×
[微训练]
答案 2 －2
2.－243的5次方根为________.
答案 －3
解析 原式＝|x＋3|－(x－3)，
当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x.
答案 6或－2x
[微思考]
1.根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？
2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题？
提示 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论.
题型一 n次方根的概念
【例1】 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.
(1)解析 81的平方根为－9或9，
即a＝－9或9，－8的立方根为－2，即b＝－2，
∴a＋b＝－11或7.
答案 7或－11
即x的取值范围是[2，＋∞).
【训练1】 (1)已知x7＝8，则x等于( )
(2)4是偶数，则偶次方根有两个，3是奇数，任意实数的奇次方根都有意义.
答案 (1)B (2)±2 R
题型二 利用根式的性质化简或求值
【例2】 化简：
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
【训练2】 求下列各式的值：
题型三 有限制条件的根式的化简
∵－3
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
【迁移】 (变换条件)例3中，若将“－3∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1.
答案 1
(1)解析 ∵x∈[1，2]，∴x－1≥0，x－2≤0，
一、素养落地
1.通过学习n次方根及n次根式的概念提升数学抽象素养，通过正确运用根式运算性质，化简求值，培养数学运算素养.
二、素养训练
答案 B
1.已知x5＝6，则x等于( )
2.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
答案 C
答案 －2
答案 0或2(a－b)第4章
指数与对数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
对数的概念，首先是由苏格兰数学家John
Napier(纳皮尔，1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.Napier也是一位天文爱好者，他感到“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍”.经过20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》(“Mirifici
logarithmorum
canonis
descriptio”)中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(Nap?logX).
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MERGEFORMAT
[读图探新]——发现现象背后的知识
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….
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"补18.TIF"
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MERGEFORMAT
问题1：依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
问题2：如何表示xn＝a时，x与a的关系？
问题3：a与根式之间是怎样的化简关系？
链接：初中我们学习过整数指数幂的概念及其运算性质，在此基础上由特殊到一般，用类比的方法来学习n次根式，由特殊值介入推广到一般分数指数幂的学习.
对数运算可以看作指数运算的逆运算，对数可以将乘除法变为加减法，把天文数字变为较小的数字，简化了数的运算.
4.1 指 数
4.1.1 根 式
课标要求
素养要求
1.理解n次方根，n次根式的概念及运算.2.进行根式及分数指数幂的化简求值.
理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，提升学生数学抽象素养和数学运算素养.
新知探究
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.
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希帕索斯
问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
提示 这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±.
1.n次方根，n次根式
(1)a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N
.
(2)a的n次方根的表示 求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
2.根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据
(1)负数没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.
(3)()n＝a(n∈N＋，且n>1).
(4)＝a(n为大于1的奇数).
(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数).
拓展深化
[微判断]
1.当a≥0时，表示一个数.(√)
2.实数a的n次方根有且只有一个.(×)
提示 当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个.
3.()n＝.(×)
提示 当n为大于1的偶数，且a为负数时不成立.
4.2＝.(×)
提示 2＝＝2.
[微训练]
1.＝________；＝________.
解析 n为偶数时＝|a|，∴＝2；n为奇数时＝a，∴＝－2.
答案 2 －2
2.－243的5次方根为________.
答案 －3
3.化简：－＝________.
解析 原式＝|x＋3|－(x－3)，
当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x.
答案 6或－2x
[微思考]
1.根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？
提示 当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为.但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±.
2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题？
提示 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论.
题型一 n次方根的概念
【例1】 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.
(2)若有意义，求实数x的取值范围.
(1)解析 81的平方根为－9或9，
即a＝－9或9，－8的立方根为－2，即b＝－2，
∴a＋b＝－11或7.
答案 7或－11
(2)解 ∵有意义，∴x－2≥0，∴x≥2，
即x的取值范围是[2，＋∞).
规律方法 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.
(2)符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定.
①当n为偶数，且a≥0时，为非负实数；
②当n为奇数时，的符号与a的符号一致.
【训练1】 (1)已知x7＝8，则x等于( )
A.2
B.
C.－
D.±
(2)16的4次方根是________，有意义，则x的取值范围是________.
解析 (1)因为7为奇数，8的7次方根只有一个.
(2)4是偶数，则偶次方根有两个，3是奇数，任意实数的奇次方根都有意义.
答案 (1)B (2)±2 R
题型二 利用根式的性质化简或求值
【例2】 化简：
(1)；
(2)(a>b)；
(3)()2＋＋.
解 (1)＝|3－π|＝π－3.
(2)＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
规律方法 n为奇数时，()n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，()n才有意义，且()n＝a；而a为任意实数均有意义，且＝|a|.
【训练2】 求下列各式的值：
(1)；(2)(a≤1)；
(3)＋.
解 (1)＝－2.
(2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)＋＝a＋|1－a|＝
题型三 有限制条件的根式的化简
【例3】 设－3解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
【迁移】 (变换条件)例3中，若将“－3解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
规律方法 当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号.
【训练3】 (1)已知x∈[1，2]，化简()4＋＝________.
(2)求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围.
(1)解析 ∵x∈[1，2]，∴x－1≥0，x－2≤0，
∴()4＋
＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1.
答案 1
(2)解 ＝
＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，
需解得a∈[－3，3].
一、素养落地
1.通过学习n次方根及n次根式的概念提升数学抽象素养，通过正确运用根式运算性质，化简求值，培养数学运算素养.
2.掌握两个公式：(1)()n＝a(n∈N
)；(2)n为奇数且n∈N
时，＝a；n为偶数且n∈N
时，＝|a|＝
3.一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况.
二、素养训练
1.已知x5＝6，则x等于( )
A.
B.
C.－
D.±
答案 B
2.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
3.的值是________.
答案 －2
4.＋的值是________.
解析 ＋＝|a－b|＋(a－b)＝
答案 0或2(a－b)
5.若＝a－1，求a的取值范围.
解 ∵＝|a－1|＝a－1，
∴a－1≥0，∴a≥1.
基础达标
一、选择题
1.已知m10＝2，则m等于( )
A.
B.－
C.
D.±
解析 ∵m10＝2，∴m是2的10次方根.
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数.
∴m＝±.故选D.
答案 D
2.已知xy≠0，且＝－2xy，则有( )
A.xy<0
B.xy>0
C.x>0，y>0
D.x<0，y>0
解析 ＝|2xy|＝－2xy，∴xy<0.
答案 A
3.化简的值是( )
A.
B.－
C.±
D.－
解析 ＝＝－.
答案 B
4.＋＋＝( )
A.1－
B.－1
C.
D.0
解析 原式＝＋1－＋|1－|
＝|1－|＋1－＋－1＝－1.
答案 B
5.若2A.5－2a
B.2a－5
C.1
D.－1
解析 ∵20，
∴＋＝|2－a|＋|3－a|
＝a－2＋3－a＝1.
答案 C
二、填空题
6.若x<0，则|x|－＋＝________.
解析 ∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋＝－x＋x＋1＝1.
答案 1
7.若＋＝0，则(x2
019)y＝________.
解析 因为＋＝0，
所以＋＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
所以x＝－1，y＝－3.
所以(x2
019)y＝[(－1)2
019]－3＝(－1)－3＝－1.
答案 －1
8.使等式＝(5－x)·成立的x的取值范围是________.
解析 ＝
＝|x－5|·＝(5－x)·，
∴5－x≥0，且x＋5≥0，∴－5≤x≤5.
答案 [－5，5]
三、解答题
9.化简：
(1)(x<π，n∈N
)；
(2).
解 (1)因为x<π，所以x－π<0，
当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，＝x－π.
综上，＝
(2)因为a≤，所以1－2a≥0.
所以＝＝|2a－1|＝1－2a.
10.已知a1，n∈N
，化简＋.
解 当n为奇数时，原式＝a－b＋a＋b＝2a.
当n为偶数时，因为a∴原式＝|a－b|＋|a＋b|＝b－a－a－b＝－2a.
∴＋＝(n>1，n∈N
).
能力提升
11.若代数式＋有意义，则＋2＝________.
解析 由＋有意义，则
∴≤x≤2，故＋2＝＋2＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.
答案 3
12.计算：
(1)－＋；
(2)＋－；
(3)×(＋1)＋(－)0.
解 (1)原式＝－＋
＝－＋＝.
(2)原式＝－8＋|－2|－(2－)
＝－8＋2－－2＋＝－8.
(3)原式＝×(＋1)＋1
＝×(＋1)＋1
＝(－1)×(＋1)＋1
＝(3－1)＋1＝1＋1＝2.
创新猜想
13.(多选题)下列说法正确的是( )
A.＝3
B.＝±3
C.＝|x＋y|
D.若x<2，则＋＝2－
解析 ＝－3，故A错误；＝3，故B错误；＝|x＋y|，正确.
当x<2时，x－2<0，
∴＝|x－2|＝2－x，
＝x－，故原式＝2－x＋x－＝2－.
答案 CD
14.(多空题)若有意义，则x的取值范围是________；若有意义，则x的取值范围是________.
答案 R