4.3 一元二次不等式的应用
课标要求
素养要求
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
新知探究
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40
km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，
发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12
m，乙车的刹车距离略超过10
m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
问题 如何判断甲、乙两车是否超速？
提示 由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1
200>0，
解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去).
这表明甲车的车速超过30
km/h，但根据题意刹车距离略超过12
m，由此估计甲车车速不会超过限速40
km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2
000>0，
解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去).
这表明乙车的车速超过40
km/h，超过规定限速.
1.简单的分式不等式的解法
2.一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
k≥y(k>y)恒成立?k≥ymax(k>ymax)；
k≤y(k
3.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案.
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.求解m>y恒成立时，可转化为求y的最小值，从而求出m的范围.(×)
2.已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a范围是03.若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝4.(√)
[微训练]
1.若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值为________.
答案 －14
2.已知不等式x2＋ax＋1≥0的解集为R，则a的取值范围是________.
答案 [－2，2]
3.不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是________.
答案 (－1，3)
[微思考]
M≥y恒成立与M≥y有解等价吗？
提示 不等价.M≥y恒成立?M≥ymax；M≥y有解?M≥ymin.
题型一 分式不等式的解法
【例1】 解不等式：
(1)＜0；
(2)≥0；
(3)＞1.
解 (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，
∴－1＜x＜，
故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，
∴
∴即－＜x≤1.
故原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为－1＞0，
∴＞0，∴＞0，则x＜－2.
故原不等式的解集为{x|x＜－2}.
规律方法 1.分式的分子、分母同号时，分式为正；异号时为负，转化为整式后分子、分母作为两因式之积，同样是同号时为正，异号时为负.
2.分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型＞0(＜0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.
【训练1】 解下列不等式.
(1)≥0；
(2)＞1.
解 (1)原不等式可化为
解得
∴x＜－或x≥，
∴原不等式的解集为.
(2)法一 原不等式可化为
或
解得或∴－3＜x＜－，
∴原不等式的解集为.
法二 原不等式可化为
＞0，化简得＞0，即＜0，
∴(2x＋1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜－.
∴原不等式的解集为.
题型二 不等式的恒成立问题
角度1 无限制范围的恒成立
【例2－1】 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
∴解得－1综上，实数k的取值范围是(－1，0].
(2)∵－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4.
又∵－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意x恒成立.
∴a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0.
解得a≤－1或a≥4.
∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞).
规律方法 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R?二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方?ymin>0?
图① 图②
2.如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R?二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方?ymax<0?
角度2 有限制范围的恒成立
【例2－2】 (1)当x∈[1，2]时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.
(2)对任意x∈[－1，1]，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围.
解 (1)令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在[1，2]上恒成立.
∴y＝0的根一个在(－∞，1)上，另一个在(2，＋∞)上.
如图，得
∴
∴m的取值范围是(－∞，－5).
(2)∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，
即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立.
∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.
∵－1≤x≤1，∴x－2<0.
∴a<＝＝2－x.
y＝2－x在[－1，1]上y随x的增大而减小，
∴(2－x)min＝1，∴a<1.
故a的取值范围是(－∞，1).
规律方法 含参数的一元二次不等式在某一区间上恒成立问题，求解时主要有两种方法：一种是将参数分离，转化为恒成立问题；另一种是利用二次不等式根的分布及数形结合思想求解.
角度3 给定参数范围恒成立问题
【例2－3】 已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为________.
解析 把不等式左端看成关于a的一次函数，记y＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由y＞0对于a∈[－1，1]恒成立，则得x＜1或x＞3.
答案 (－∞，1)∪(3，＋∞)
规律方法 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
【训练2】 设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解 (1)若m＝0，显然－1＜0恒成立；
若m≠0，则?－4＜m＜0.
∴m的取值范围为(－4，0].
(2)法一 要使y＜－m＋5恒成立，就要使m＋m－6＜0，x∈[1，3].
令s＝m＋m－6，x∈[1，3].
当m＞0时，在[1，3]上s随x的增大而增大，
∴smax＝s|x＝3＝7m－6.
∴7m－6＜0，解得m＜.
∴0＜m＜.
当m＝0时，－6＜0恒成立.
当m＜0时，在[1，3]上s随x的增大而减小.
∴smax＝s|x＝1＝m－6＜0，解得m＜6，
∴m＜0.
综上所述，m的取值范围为.
法二 y＜－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6＜0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋＞0，
又m(x2－x＋1)－6＜0，
∴m＜.
∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，
∴只需m＜即可.
∴m的取值范围为.
题型三 一元二次不等式的实际应用
【例3】 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x＞0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10).
(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0＜x＜10，所以0＜x≤2.
即x的取值范围为(0，2].
规律方法 解不等式应用题的步骤
【训练3】 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解 (1)由题意得
y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0＜x＜1).
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即解得0＜x＜，
所以投入成本增加的比例应在范围内.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象素养及数学运算素养.
2.在解决不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对a进行分类讨论.
3.含参数一元二次不等式在某区间上恒成立时，处理的原则是转化为最值问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上最值来处理，二是先分离参数，再求函数最值.
4.利用一元二次不等式来解决问题时，应注意实际意义.
二、素养训练
1.不等式x(2－x)>0的解集为( )
A.{x|x>0}
B.{x|x<2}
C.{x|x>2或x<0}
D.{x|0解析 原不等式化为x(x－2)<0，故0答案 D
2.不等式≤0的解集为( )
A.
B.
C.∪[1，＋∞)
D.∪[1，＋∞)
解析 原不等式等价于
即即－＜x≤1.
故原不等式的解集为.
答案 A
3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.
解析 y－25x＝－0.1x2－5x＋3
000≤0，
即x2＋50x－30
000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).
答案 150
4.不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________.
解析 原不等式变形为3x2－5x＋4<0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，
所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为?.
答案 ?
基础达标
一、选择题
1.不等式x2－2x－5>2x的解集是( )
A.{x|x≥5，或x≤－1}
B.{x|x>5，或x<－1}
C.{x|－1D.{x|－1≤x≤5}
解析 由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，
因为x2－4x－5＝0的两根为－1，5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1，或x>5}.
答案 B
2.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1A.A?B
B.B?A
C.A＝B
D.A∩B＝?
解析 A＝{x|－1答案 B
3.不等式≥0的解集为( )
A.{x|－1＜x≤1}
B.{x|－1≤x＜1}
C.{x|－1≤x≤1}
D.{x|－1＜x＜1}
解析 原不等式?∴－1≤x＜1.
答案 B
4.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝( )
A.{x|－1≤x＜0}
B.{x|0＜x≤1}
C.{x|0≤x＜2}
D.{x|0≤x≤1}
解析 ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}.
答案 B
5.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，2)
B.(－∞，2]
C.(－2，2)
D.(－2，2]
解析 当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0，不等式恒成立；
a－2≠0时，解得－2＜a＜2，
∴－2＜a≤2，故选D.
答案 D
二、填空题
6.已知不等式x2＋x＋k＞0恒成立，则k的取值范围为________.
解析 由题意知Δ＜0，即1－4k＜0，
得k＞，即k的取值范围为.
答案
7.不等式≤3的解集是________.
解析 由≤3，得－3≤0，即≥0，则解得x＜0或x≥.∴不等式≤3的解集是(－∞，0)∪.
答案 (－∞，0)∪
8.已知一元二次不等式2kx2＋kx＋≥0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是________.
解析 由题意知k≠0，根据y＝2kx2＋kx＋的图象，
∴∴解得0＜k≤4.∴k的取值范围是(0，4].
答案 (0，4]
三、解答题
9.关于x的不等式＜2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，
∴4x＋m＜2(x2－2x＋3)恒成立，
∴m＜2x2－8x＋6恒成立，
设y＝2x2－8x＋6，
则ymin＝－2.
∴m＜－2.
∴实数m的取值范围为(－∞，－2).
10.若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围.
解 当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，
只需解得a＞.
综上，所求实数a的取值范围为.
能力提升
11.若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________.
解析 由题意得，
解得0答案 (0，1]
12.国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨.按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%).为了减轻农民负担，制定积极的收购政策.根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
解 设税率调低后“税收总收入”为y元.
y＝2
400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0依题意得y≥2
400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2
400m×8%×78%，
整理得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义知0创新猜想
13.(定义创新题)在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若存在实数x使得不等式(x－m)?(x＋m)＞1成立，则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
解析 依题意，存在x∈R，使(x－m)[1－(x＋m)]＞1成立，即x2－x－m2＋m＋1＜0，∴Δ＝12－4(－m2＋m＋1)＞0，即4m2－4m－3＞0，∴m＜－或m＞.
答案 D
14.(多选题)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是( )
A.b＜0且c＞0
B.a－b＋c＞0
C.a＋b＋c＞0
D.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－2，1)
解析 对于A，a＜0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，所以A正确；令y＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知y|x＝1＝a－b＋c＞0，所以B正确；对于C，y|x＝－1＝a＋b＋c＝0，所以C错误，对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，所以x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝＝－2，所以两根分别为－2和1，所以不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－2，1)，所以D正确.
答案 ABD(共43张PPT)
4.3 一元二次不等式的应用
课标要求
素养要求
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
新知探究
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40
km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，
发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12
m，乙车的刹车距离略超过10
m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
问题 如何判断甲、乙两车是否超速？
提示 由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1
200>0，
解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去).
这表明甲车的车速超过30
km/h，但根据题意刹车距离略超过12
m，由此估计甲车车速不会超过限速40
km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2
000>0，
解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去).
这表明乙车的车速超过40
km/h，超过规定限速.
1.简单的分式不等式的解法
2.一元二次不等式恒成立问题
3.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案.
×
√
√
答案 －14
2.已知不等式x2＋ax＋1≥0的解集为R，则a的取值范围是________.
答案 [－2，2]
3.不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是________.
答案 (－1，3)
[微思考]
M≥y恒成立与M≥y有解等价吗？
提示 不等价.M≥y恒成立?M≥ymax；M≥y有解?M≥ymin.
题型一 分式不等式的解法
【例1】 解不等式：
解 (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，
故原不等式的解集为{x|x＜－2}.
【训练1】 解下列不等式.
(2)法一 原不等式可化为
法二 原不等式可化为
题型二 不等式的恒成立问题
角度1 无限制范围的恒成立
【例2－1】 (1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
(2)∵－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4.
又∵－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意x恒成立.
∴a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0.
解得a≤－1或a≥4.
∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞).
图① 图②
角度2 有限制范围的恒成立
【例2－2】 (1)当x∈[1，2]时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.
(2)对任意x∈[－1，1]，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围.
解 (1)令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在[1，2]上恒成立.
∴y＝0的根一个在(－∞，1)上，另一个在(2，＋∞)上.
∴m的取值范围是(－∞，－5).
(2)∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，
即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立.
∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.
∵－1≤x≤1，∴x－2<0.
y＝2－x在[－1，1]上y随x的增大而减小，
∴(2－x)min＝1，∴a<1.
故a的取值范围是(－∞，1).
规律方法 含参数的一元二次不等式在某一区间上恒成立问题，求解时主要有两种方法：一种是将参数分离，转化为恒成立问题；另一种是利用二次不等式根的分布及数形结合思想求解.
角度3 给定参数范围恒成立问题
【例2－3】 已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为________.
答案 (－∞，1)∪(3，＋∞)
规律方法 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
【训练2】 设函数y＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解 (1)若m＝0，显然－1＜0恒成立；
∴m的取值范围为(－4，0].
当m＝0时，－6＜0恒成立.
当m＞0时，在[1，3]上s随x的增大而增大，
∴smax＝s|x＝3＝7m－6.
法二 y＜－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6＜0恒成立，
当m＜0时，在[1，3]上s随x的增大而减小.
∴smax＝s|x＝1＝m－6＜0，解得m＜6，
∴m＜0.
又m(x2－x＋1)－6＜0，
题型三 一元二次不等式的实际应用
【例3】 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x＞0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).
化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0＜x＜10，所以0＜x≤2.
即x的取值范围为(0，2].
规律方法 解不等式应用题的步骤
【训练3】 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解 (1)由题意得
y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0＜x＜1).
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象素养及数学运算素养.
2.在解决不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对a进行分类讨论.
3.含参数一元二次不等式在某区间上恒成立时，处理的原则是转化为最值问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上最值来处理，二是先分离参数，再求函数最值.
4.利用一元二次不等式来解决问题时，应注意实际意义.
二、素养训练
1.不等式x(2－x)>0的解集为( )
A.{x|x>0}
B.{x|x<2}
C.{x|x>2或x<0}
D.{x|0解析 原不等式化为x(x－2)<0，故0答案 D
答案 A
3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.
解析 y－25x＝－0.1x2－5x＋3
000≤0，
即x2＋50x－30
000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).
答案 150
4.不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________.
解析 原不等式变形为3x2－5x＋4<0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，
所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为?.
答案 ?