1.2 集合的基本关系
课标要求
素养要求
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养.
新知探究
草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.
怎样来表示这种关系？
问题 (1)那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？
(2)集合A与B存在什么关系？
提示 (1)集合A中的元素都是B的元素.
(2)我们称A是B的子集.
1.子集的相关概念
(1)Venn图
为了直观地表示集合间的关系，经常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图.
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念 任何一个集合都是它本身的子集
文字语言
符号语言
图形语言
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集.
A?B(或B?A)
②集合相等
集合相等时，两集合中的元素完全相同对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B.
可用Venn图(如图)表示.
即对于两个集合A与B，若A?B，且B?A，则A＝B.
③真子集的概念
A?B?A中任何元素都属于B，B中存在一个元素不属于A
定义
符号表示
图形表示
真子集
对于两个集合A与B，如果A?B，且A≠B.那么称集合A是集合B的真子集
A?B(或B?A)
④空集
注意区分与空集有关的符号：?、0、{?}、{0}
定义：不含任何元素的集合叫作空集.
用符号表示为：?.
规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集.
2.集合关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若A?B，B?C，则A?C.
③若A?B，A≠B，则A?B.
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.1?{1，2，3}.(×)
2.任何集合都有子集和真子集.(×)
3.若A＝B，则A?B且B?A.(√)
4.如果A?B且B?C，则A?C.(√)
提示 1.“?”表示集合与集合的关系，而不是元素与集合的关系.
2.空集只有子集没有真子集.
[微训练]
1.用适当的符号(∈、?、?、?、＝)填空.
(1)?________{0}；
(2){2}________{x|x2－3x＋2＝0}.
答案 (1)
? (2)
?
2.若{1，2}?B?{1，2，4，5}，则B＝________.
答案 {1，2}，{1，2，4}，{1，2，5}
3.若集合M＝{x∈Z|－1≤x≤1}，P＝{y|y＝x2，x∈M}，则集合M与集合P的关系是________.
答案 P?M
[微思考]
1.A?B能否理解为集合A是B中的“部分元素”所组合的集合？
提示 A?B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A＝?，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.
2.符号“∈”与“?”的区别是什么？
提示 符号
“∈”与“?”的区别：符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，当元素x在集合A中时，记作x∈A，当元素x不在集合A中时，记作x?A；而符号“?”用于表示集合与集合之间的关系，当集合A为集合B的子集时，记作A?B或B?A，当集合A不是集合B的子集时，记作A?B或B?A.
题型一 集合关系的判断
【例1】 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}.
解 (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N?M.
规律方法 判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.
【训练1】 (1)集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝，则A与B的关系是( )
A.A?B
B.A＝B
C.A?B
D.B?A
(2)已知集合A＝{x|x<－2，或x>0}，B＝{x|0A.A＝B
B.A?B
C.B?A
D.A?B
解析 (1)∵A＝{－2，3}，B＝{3}，∴B?A.
(2)在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知B?A.
答案 (1)D (2)C
题型二 子集、真子集个数问题
【例2】 (1)集合{a，b，c}的所有子集为________，其中它的真子集有________个.
(2)写出满足{3，4}?P?{0，1，2，3，4}的所有集合P.
(1)解析 集合{a，b，c}的子集有：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.
答案 ?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 7
(2)解 由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.
规律方法 1.假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数有2n个；
(2)A的非空子集的个数有2n－1个；
(3)A的真子集的个数有2n－1个；
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
【训练2】 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
∴A的子集有：?，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
题型三 由集合间的包含关系求参数
【例3】 (1)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1(2)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的集合.
解 (1)∵B?A，
①当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠?时，有解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.即m的取值范围是[－1，＋∞).
(2)由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
∴集合A＝{1，3}.
①当B＝?时，此时m＝0，满足B?A.
②当B≠?时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝.
∵B?A，∴＝1或＝3，解之得m＝3或m＝1.
综上可知，所求实数m的集合为{0，1，3}.
【迁移】 (1)(变条件)将例3(1)中的A＝{x|－3≤x≤4}改为A＝{x|－3＜x＜4}，其它条件不变，求m的取值范围.
解 ∵B?A，①当B＝?时，m＋1≤2m－1，∴m≥2，
②当B≠?时，有∴－1≤m＜2，
综上m≥－1.即m的取值范围是[－1，＋∞).
(2)(变结论)将例3(1)中的B?A改为A?B，其它条件不变，求m的取值范围.
解 由题意有∴m不存在.
规律方法 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
【训练3】 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围.
解 (1)若A?B，由图可知a>2.
所以a的取值范围是(2，＋∞).
(2)若B?A，由图可知1≤a≤2.
所以a的取值范围是[1，2].
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象和直观想象素养.
2.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，若A＝B，则A中含有B中的所有元素.同时，不要遗漏A＝?的情况.
(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
二、素养训练
1.集合A＝{－1，0，1}，则A的子集中含有元素0的子集共有( )
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
解析 根据题意，在集合A的子集中含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，
－1}、{－1，0，1},
故选B.
答案 B
2.①0∈{0}，②??{0}，③{0，1}＝{(0，1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}，则上面关系中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①正确，0是集合{0}的元素；②正确，?是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{(0，1)}含有一个点元素(0，1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含有一个点元素(a，b)，集合{(b，a)}含有一个点元素(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等；∴正确的个数是2.故选B.
答案 B
3.已知集合A＝{x|x－7≥2}，B＝{x|x≥5}，则集合A，B的关系为________.
解析 A＝{x|x≥9}，又B＝{x|x≥5}，∴A?B.
答案 A?B
4.若{1，2}?B?{1，2，4}，则B＝________.
解析 由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}，{1，2，4}.
答案 {1，2}或{1，2，4}
基础达标
一、选择题
1.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有( )
A.1?A
B.0?A
C.?
?A
D.{0}?A
解析 由已知得A＝{1，－1}，所以选项A，B，D都错误，因为?是任何非空集合的真子集，所以C正确.故选C.
答案 C
2.已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
解析 集合N的真子集有：?，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共7个.
答案 C
3.集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m＝( )
A.2
B.－1
C.2或－1
D.4
解析 ∵A＝B，∴m2－m＝2，即m2－m－2＝0，∴m＝2或－1.
答案 C
4.若集合A＝{1，3，x}，B＝{x2，1}，且B?A，则满足条件的实数x的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 由B?A，知x2＝3，或x2＝x，
解得x＝±，或x＝0，或x＝1，当x＝1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x＝1(舍去).
答案 C
5.集合M＝，N＝，则( )
A.M＝N
B.M?N
C.N?M
D.无法判断
解析 M中，x＝＋＝
N中，x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z，∴N?M.
答案 C
二、填空题
6.设A＝{x|2解析 因为B?A，所以
即a的取值范围是{a|3≤a≤4}.
答案 {a|3≤a≤4}
7.设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B?A的实数m的值所组成的集合为________.
解析 ∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，又∵B?A，当m＝0时，mx＋1＝0无解，故B＝?，满足条件，若B≠?，则B＝{－3}，或B＝{2}，即m＝，或m＝－，故满足条件的实数m∈.
答案
8.已知集合A＝{x|＝a}，当A为非空集合时，a的取值范围是________.
解析 要使集合A为非空集合，则应有方程＝a有解，故只须a≥0.
答案 {a|a≥0}
三、解答题
9.判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}.
解 (1)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，B＝{x|2x－5≥0}＝，所以可利用数轴判断A，B的关系.如图所示，A?B.
(2)因为A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，所以B＝{0，1，2}，所以B?A.
10.已知M＝{a－3，2a－1，a2＋1}，N＝{－2，4a－3，3a－1}，若M＝N，求实数a的值.
解 因为M＝N，则(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1，或a＝3.
当a＝1时，M＝{－2，1，2}，N＝{－2，1，2}，满足M＝N；
当a＝3时，M＝{0，5，10}，N＝{－2，9，8}，不满足M＝N，舍去.
故实数a的值为1.
能力提升
11.已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，则实数a的取值范围为________.
解析 当B＝?时，只需2a＞a＋3,
即a＞3.
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，可得
或解得a＜－4或2＜a≤3.
综上，实数a的取值范围为{a|a＜－4或a＞2}.
答案 {a|a＜－4或a＞2}
12.已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B?A，C?A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b所有的值；若不存在，请说明理由.
解 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∵B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴1∈B.
又∵B?A，∴a－1＝1，即a＝2.
∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C?A，
∴C＝?或{1}或{2}或{1，2}.
当C＝{1，2}时，b＝3；
当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，
即b＝±2，此时x＝±(舍去)；
当C＝?时，Δ＝b2－8<0，
即－2综上可知，存在a＝2，b＝3或－2创新猜想
13.(多选题)已知集合M＝{x|－A.P＝{－3，0，1}
B.Q＝{－1，0，1，2}
C.R＝{y|－πD.S＝{x||x|≤，x∈Z}
解析 集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{－1，0，1}，不难发现集合P中的元素－3?M，集合Q中的元素2?M，集合R中的元素－3?M，而集合S＝{－1，0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S?M.故选ABC.
答案 ABC
14.(多空题)已知集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}，则集合A中的元素为________，若集合B满足B?A，则集合B的个数为________.
解析 方程x2＋x＝0，∴x＝－1或x＝0，∴A＝{－1，0}，又B?A，∴集合B的个数为22＝4.
答案 －1，0 4(共34张PPT)
1.2 集合的基本关系
课标要求
素养要求
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养.
新知探究
草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.
怎样来表示这种关系？
问题 (1)那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？
(2)集合A与B存在什么关系？
提示 (1)集合A中的元素都是B的元素.
(2)我们称A是B的子集.
1.子集的相关概念
(1)Venn图
为了直观地表示集合间的关系，经常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为__________.
Venn图
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的
概念
任何一个集合都是它本身的子集
文字语言
符号语言
图形语言
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的__________元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集.
A____B(或
B?A)
任何一个
?
集合相等时，两集合中的元素完全相同
对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B______，记作A＝B.
可用Venn图(如图)表示.
即对于两个集合A与B，若A?B，且B?A，则A＝B.
②
集合相等
相等
③
A?B?A中任何元素都属于B，B中存在一个元素不属于A
真子集的概念
?
定义
符号表示
图形表示
真子集
对于两个集合A与B，如果______，且______.那么称集合A是集合B的真子集
A?B(或B?A)
A?B
A≠B
④
注意区分与空集有关的符号：?、0、{?}、{0}
定义：不含任何元素的集合叫作空集.
用符号表示为：?.
规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集.
空集
2.集合关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若A?B，B?C，则A?C.
③若A?B，A≠B，则A?B.
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.1?{1，2，3}.(
)
2.任何集合都有子集和真子集.(
)
3.若A＝B，则A?B且B?A.(
)
4.如果A?B且B?C，则A?C.(
)
提示 1.“?”表示集合与集合的关系，而不是元素与集合的关系.
2.空集只有子集没有真子集.
×
×
√
√
[微训练]
1.用适当的符号(∈、?、?、?、＝)填空.
(1)?________{0}；
(2){2}________{x|x2－3x＋2＝0}.
答案 (1)
? (2)
?
2.若{1，2}?B?{1，2，4，5}，则B＝________.
答案 {1，2}，{1，2，4}，{1，2，5}
3.若集合M＝{x∈Z|－1≤x≤1}，P＝{y|y＝x2，x∈M}，则集合M与集合P的关系是________.
答案 P?M
[微思考]
1.A?B能否理解为集合A是B中的“部分元素”所组合的集合？
提示 A?B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A＝?，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.
2.符号“∈”与“?”的区别是什么？
提示 符号
“∈”与“?”的区别：符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，当元素x在集合A中时，记作x∈A，当元素x不在集合A中时，记作x?A；而符号“?”用于表示集合与集合之间的关系，当集合A为集合B的子集时，记作A?B或B?A，当集合A不是集合B的子集时，记作A?B或B?A.
题型一 集合关系的判断
【例1】 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}.
解 (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N?M.
规律方法 判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.
答案 (1)D (2)C
解析 (1)∵A＝{－2，3}，B＝{3}，∴B?A.
(2)在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知B?A.
题型二 子集、真子集个数问题
【例2】 (1)集合{a，b，c}的所有子集为________，其中它的真子集有________个.
(2)写出满足{3，4}?P?{0，1，2，3，4}的所有集合P.
(1)解析 集合{a，b，c}的子集有：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.
答案 ?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 7
(2)解 由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.
规律方法 1.假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数有2n个；
(2)A的非空子集的个数有2n－1个；
(3)A的真子集的个数有2n－1个；
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
【训练2】 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
∴A的子集有：?，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
题型三 由集合间的包含关系求参数
【例3】 (1)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1(2)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的集合.
解 (1)∵B?A，
①当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
∴集合A＝{1，3}.
①当B＝?时，此时m＝0，满足B?A.
综上可知，所求实数m的集合为{0，1，3}.
【迁移】 (1)(变条件)将例3(1)中的A＝{x|－3≤x≤4}改为A＝{x|－3＜x＜4}，其它条件不变，求m的取值范围.
解 ∵B?A，①当B＝?时，m＋1≤2m－1，∴m≥2，
综上m≥－1.即m的取值范围是[－1，＋∞).
(2)(变结论)将例3(1)中的B?A改为A?B，其它条件不变，求m的取值范围.
规律方法 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
【训练3】 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围.
解 (1)若A?B，由图可知a>2.
所以a的取值范围是(2，＋∞).
(2)若B?A，由图可知1≤a≤2.
所以a的取值范围是[1，2].
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象和直观想象素养.
2.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，若A＝B，则A中含有B中的所有元素.同时，不要遗漏A＝?的情况.
(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
二、素养训练
1.集合A＝{－1，0，1}，则A的子集中含有元素0的子集共有( )
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
解析 根据题意，在集合A的子集中含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1},
故选B.
答案 B
2.①0∈{0}，②??{0}，③{0，1}＝{(0，1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}，则上面关系中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①正确，0是集合{0}的元素；②正确，?是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{(0，1)}含有一个点元素(0，1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含有一个点元素(a，b)，集合{(b，a)}含有一个点元素(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等；∴正确的个数是2.故选B.
答案 B
3.已知集合A＝{x|x－7≥2}，B＝{x|x≥5}，则集合A，B的关系为________.
解析 A＝{x|x≥9}，又B＝{x|x≥5}，∴A?B.
答案 A?B
4.若{1，2}?B?{1，2，4}，则B＝________.
解析 由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}，{1，2，4}.
答案 {1，2}或{1，2，4}