第二课时 全集与补集
课标要求
素养要求
1.在具体情境中，了解全集与补集的含义.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集、子集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养.
新知探究
某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}.
问题 那么没有获得金奖的学生有哪些？
提示 没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}.
1.全集
在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示.全集包含所要研究的这些集合.
2.补集
注意补集是相对于全集而言的，没有全集就不存在补集
文字语言
设U是全集，A是U的一个子集(即A?U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
3.补集的相关性质
①A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?.
②?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U.
③?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则?U(A∪B)＝{5}.(√)
2.同一个集合在不同的全集中的补集不同.(√)
3.不同的集合在同一个全集中的补集可能相同.(×)
4.全集一定是实数集R.(×)
提示 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化.
[微训练]
已知集合U＝{x|－3≤x≤3}，M＝{x|－1
答案 {x|－3≤x≤0，或2≤x≤3}
{x|0{x|－3≤x<1，或2≤x≤3}
[微思考]
设集合A＝{1，2}，那么相对于集合M＝{0，1，2，3}和N＝{1，2，3}，?MA和?NA相等吗？由此说说你对全集与补集的认识.
提示 ?MA＝{0，3}，?NA＝{3}，?MA≠?NA，由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同.
题型一 补集的基本运算
【例1】 (1)设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<0}，则?UM＝( )
A.{x|0≤x≤2}
B.{x|0C.{x|x<0，或x>2}
D.{x|x≤0，或x≥2}
(2)已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a＝________.
解析 (1)如图，在数轴上表示出集合M，可知?UM＝{x|0≤x≤2}.
(2)由题意可知解得a＝2.
答案 (1)A (2)2
规律方法 求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.
【训练1】 (1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3(2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1，2}，则实数m＝________.
解析 (1)借助数轴得?UA＝{x|x＝－3，或x>4}.
(2)∵?UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，
∴m＝－3.
答案 (1){x|x＝－3或x>4} (2)－3
题型二 集合交、并、补的综合运算
【例2】 已知集合S＝{x|1求：(1)(?SA)∩(?SB)；(2)?S(A∪B)；(3)(?SA)∪(?SB)；(4)?S(A∩B).
解 如图所示，可得
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，
?SA＝{x|1?SB＝{x|1由此可得：(1)(?SA)∩(?SB)＝{x|1(2)?S(A∪B)＝{x|1(3)(?SA)∪(?SB)＝{x|1(4)?S(A∩B)＝(?SA)∪(?SB)＝{x|1规律方法 1.求解与不等式有关的集合问题的方法
解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.
2.求解集合混合运算问题的一般顺序
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分.
【训练2】 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解 由图知：A∩B＝{x|－2?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3，或2(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；
A∩(?UB)＝{x|2题型三 根据补集的运算求参数的值或范围
【例3】 (1)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩(?UA)＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值.
(2)已知集合A＝{x|2a－2解 (1)∵B∩(?UA)＝{2}，∴2∈B，但2?A.
∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，但4?B.
∴解得
∴a，b的值分别为，－.
(2)?RB＝{x|x≤1，或x≥2}≠?.
∵A??RB，
∴分A＝?和A≠?两种情况讨论.
①若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
②若A≠?，则有或∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.
即a的取值范围为{a|a≤1，或a≥2}.
规律方法 由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合Venn图求解.
(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.
【训练3】 设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，?UA＝{5}，求实数a的值.
解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3，2}，U＝{2，3，5}符合题意.
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9，2}，U＝{2，3，5}，
不满足条件?UA＝{5}，故a＝－4舍去.
综上知a＝2.
一、素养落地
1.通过全集与补集概念的学习提升数学抽象素养；通过补集的运算提升数学运算素养.
2.补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当作全集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.
3.若集合中元素有无限个时，与集合的交，并，补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.
二、素养训练
1.设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则?UM＝( )
A.U
B.{1，3，5}
C.{3，5，6}
D.{2，4，6}
答案 C
2.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T＝( )
A.{x|－2B.{x|x≤－4}
C.{x|x≤1}
D.{x|x≥1}
解析 因为S＝{x|x>－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}.
而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}.
答案 C
3.已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若?AB＝{5}，则实数m＝________.
解析 由?AB＝{5}知5∈A且5?B，
即5∈{3，4，m}，故m＝5.
答案 5
4.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?UA＝________.
解析 由补集的定义，结合数轴可得?UA＝{x|x<1}.
答案 {x|x<1}
基础达标
一、选择题
1.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则?UA＝( )
A.{1，2}
B.{3，4，5}
C.{1，2，3，4，5}
D.?
解析 根据补集的定义计算.∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴?UA＝{3，4，5}.
答案 B
2.设全集U＝R，集合A＝{x|1A.{x|1≤x<2}
B.{x|x<2}
C.{x|x≥5}
D.{x|1解析 ?UB＝{x|x<2，或x≥5}，A∩(?UB)＝{x|1答案 D
3.已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(?RA)∩B＝( )
A.{－2，－1}
B.{－2}
C.{－1，0，1}
D.{0，1}
解析 因为集合A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，则(?RA)∩B＝{x|x≤
－1}∩{－2，－1，0，1}＝{－2，－1}.
答案 A
4.若全集U＝{0，1，2，3}且?UA＝{2}，则集合A的真子集共有( )
A.3个
B.5个
C.7个
D.8个
解析 A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7.
答案 C
5.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(?UB)＝( )
A.{2，5}
B.{3，6}
C.{2，5，6}
D.{2，3，5，6，8}
解析 ?UB＝{2，5，8}，所以A∩(?UB)＝{2，5}，故选A.
答案 A
二、填空题
6.已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x解析 ∵A＝{x|1≤x答案 2
7.设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.
解析 全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(?UA)∩B，∵?UA＝{4，6，7，8}，∴(?UA)∩B＝{4，6}.
答案 {4，6}
8.已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，若全集U＝R，且A??UB，则a的取值范围为________.
解析 ?UB＝{x|x因为A??UB，所以a>－2.
答案 {a|a>－2}
三、解答题
9.已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB).
解 将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，
法一 则?UA＝{x|－1≤x≤3}；
?UB＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}；
(?UA)∩(?UB)＝{x|1≤x≤3}.
法二 ∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，
∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}.
10.设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2(1)A∩B；(2)?RA；(3)?R(A∪B).
解 (1)∵A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2∴A∩B＝{x|3≤x<7}.
(2)∵全集为R，A＝{x|3≤x<7}，∴?RA＝{x|x<3，或x≥7}.
(3)∵A∪B＝{x|2能力提升
11.设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，若点P(2，3)∈A∩(?UB)，则下列选项正确的是( )
A.m＞－1，n＜5
B.m＜－1，n＜5
C.m＞－1，n＞5
D.m＜－1，n＞5
解析 由P(2，3)∈A∩(?UB)得P∈A且P?B，故解得m＞－1，n＜5.
答案 A
12.已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}.
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？
解 (1)因为A＝{x|0≤x≤2}，
所以?RA＝{x|x<0，或x>2}.
因为(?RA)∪B＝R，所以
解得：－1≤a≤0.
所以a的取值范围为{a|－1≤a≤0}.
(2)因为A∩B＝?，所以a>2或a＋3<0，
解得：a>2或a<－3.
由(1)知，若(?RA)∪B＝R，则－1≤a≤0，
故不存在实数a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?.
创新猜想
13.(多空题)已知全集U＝{2，3，a2－a－1}，A＝{2，3}，B＝{1，3}，?UA＝{1}，则实数a的值是________，?U(A∩B)＝________.
解析 ∵U＝{2，3，a2－a－1}，A＝{2，3}，?UA＝{1}，∴1∈U，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.此时U＝{2，3，1}，∴?U(A∩B)＝{1，2}.
答案 －1或2 {1，2}
14.(多空题)已知集合A＝{1，3，－x}，B＝{1，x＋2}，若存在实数x，使得B∪(?AB)＝A成立，则A＝________，B＝________.
解析 ∵存在x，使B∪(?AB)＝A，∴B?A.
(1)若x＋2＝3，则x＝1符合题意.
(2)若x＋2＝－x，则x＝－1不符合题意.
∴存在x＝1，使B∪(?AB)＝A，
此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}.
答案 {1，3，－1} {1，3}(共34张PPT)
1.3 集合的基本运算
第一课时 交集与并集
课标要求
素养要求
理解两个集合之间的并集和交集的含义，能求两个集合的并集与交集.
能用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达集合的并集和交集运算，提升数学抽象和数学运算素养.
新知探究
某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，有a、b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.
问题 (1)问至少读过一本书的有哪些同学？
(2)同时读了a、b两本书的有哪些同学？
提示 (1)至少读过一本书的有学号为2、3、4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20的同学.
(2)同时读了a、b两本书的有学号为6、12、18的同学.
1.
(1)自然语言：由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的______.
(2)符号语言：A∩B＝__________________.
交集
交集
{x|x∈A，且x∈B}
(3)图形语言：如图所示.
(4)运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B，A∩A＝A，A∩?＝?∩A＝?.如果A?B，则A∩B＝A.反之也成立.
2.
(1)自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的______.
(2)符号语言：A∪B＝__________________.
(3)图形语言：如图所示.
并集
重复的元素只记一次
并集
{x|x∈A，或x∈B}
(4)
A∪B＝B∪A，A?A∪B，B?A∪B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A.
如果A?B，则A∪B＝B.反之也成立.
运算性质：
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.若A∩B＝?，则A＝B＝?.(
)
2.{1，2，3，4}∪{0，2，3}＝{1，2，3，4，0，2，3}.(
)
3.A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合.(
)
4.若A?B，则A∩B＝A.(
)
×
×
√
√
[微训练]
1.已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝( )
A.?
B.{－1，3}
C.{－1，2}
D.{－1，3，4}
答案 B
2.满足条件{0，1}∪A＝{0，1}的所有集合A的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 D
3.若A?B则A∩B＝________，A∪B＝________.
答案 A B
[微思考]
1.A∪B是由集合A和集合B的所有元素组成吗？
提示 不是.因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素.
2.“x∈A或x∈B”中的x与集合A，B的关系包含哪几种情况？
提示 包含三种情况：
①x∈A但x?B；
②x∈B但x?A；
③x∈A且x∈B.
题型一 交集的概念及简单应用
【例1】 (1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{2}
B.{3}
C.{－3，2}
D.{－2，3}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝( )
A.{x|0≤x≤2}
B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4}
D.{x|1≤x≤4}
解析 (1)易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A.
(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示.
则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}.
答案 (1)A (2)A
规律方法 求集合A∩B的常见类型
(1)若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.
(2)若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集.
(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.
【训练1】 (1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
(2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝( )
A.x＝3，y＝－1
B.(3，－1)
C.{3，－1}
D.{(3，－1)}
答案 (1)D (2)D
解析 (1)8＝3×2＋2，14＝3×4＋2，故A∩B＝{8，14}，故选D.
题型二 并集的概念及简单应用
【例2】 (1)设集合M＝{4，5，6，8}，集合N＝{3，5，7，8}，那么M∪N＝( )
A.{3，4，5，6，7，8}
B.{5，8}
C.{3，5，7，8}
D.{4，5，6，8}
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝( )
A.{x|－1≤x＜3}
B.{x|－1≤x≤4}
C.{x|x≤4}
D.{x|x≥－1}
答案 (1)A (2)C
解析 (1)由定义知M∪N＝{3，4，5，6，7，8}.
(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}.
规律方法 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.
【训练2】 (1)已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝( )
A.{0}
B.{0，3}
C.{1，3，9}
D.{0，1，3，9}
(2)若集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________.
解析 (1)易知N＝{0，3，9}，故M∪N＝{0，1，3，9}.
(2)将－35在数轴上表示出来.
∴M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}.
答案 (1)D (2){x|x<－5，或x>－3}
题型三 并集、交集的运算性质及应用
【例3】 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}.
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
解 (1)由题意可知A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将2代入得
4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2，10}，符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意.
综上所述，a＝－5或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B?A，∵A＝{1，2}，∴B＝?或B＝{1}或{2}或{1，2}.
若B＝?，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，
解得a>3；
【迁移】 (变条件)将例3(2)中的A∪B＝A改为A∩B＝A，其它条件不变，求a的取值范围.
解 由题意A＝{1，2}.由A∩B＝A，∴A?B，∴B＝{1，2}，
∴a不存在.
规律方法 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝?的情况，否则易漏解.
【训练3】 已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围.
(1)A∩B＝?；(2)A?(A∩B).
解 (1)若A＝?，则A∩B＝?成立.
此时2a＋1>3a－5，即a<6.
若A≠?，如图所示，
解得6≤a≤7.
综上，满足条件A∩B＝?的实数a的取值范围是{a|a≤7}.
(2)因为A?(A∩B)，且(A∩B)?A，
所以A∩B＝A，即A?B.
显然A＝?满足条件，此时a<6.
若A≠?，如图所示，
一、素养落地
1.通过对并集、交集概念的理解，培养数学抽象素养，通过进行集合间的并集、交集的运算提升数学运算素养.
2.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
3.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.
二、素养训练
1.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( )
A.{x|x≥－1}
B.{x|x≤2}
C.{x|0D.{x|－1≤x≤2}
解析 A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1≤x≤2}＝{x|x≥－1}.选A.
答案 A
解析 M∩N＝{－1，1}∩{－2，1，0}＝{1}，故选B.
答案 B
2.若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝( )
A.{0，－1}
B.{1}
C.{0}
D.{－1，1}
3.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为________.
解析 A∪B＝{1，2，3}∪{2，4，5}＝{1，2，3，4，5}，共5个元素.
答案 5
4.若P＝{x|x≥1}，Q＝{x|－1解析 如图所示，P∩Q＝{x|1≤x<4}.
答案 {x|1≤x<4}(共28张PPT)
第二课时 全集与补集
课标要求
素养要求
1.在具体情境中，了解全集与补集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集、子集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养.
新知探究
某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}.
问题 那么没有获得金奖的学生有哪些？
提示 没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}.
1.全集
在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示.全集包含所要研究的这些集合.
2.
注意补集是相对于全集而言的，没有全集就不存在补集
补集
文字语言
设U是全集，A是U的一个子集(即A?U)，则由U中所有_________的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作______
符号语言
?UA＝__________________
图形语言
不属于A
?UA
{x|x∈U，且x?A}
3.补集的相关性质
①A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?.
②?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U.
③?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则?U(A∪B)＝{5}.(
)
2.同一个集合在不同的全集中的补集不同.(
)
3.不同的集合在同一个全集中的补集可能相同.(
)
4.全集一定是实数集R.(
)
提示 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化.
√
√
×
×
[微训练]
已知集合U＝{x|－3≤x≤3}，M＝{x|－1答案 {x|－3≤x≤0，或2≤x≤3}
{x|0{x|－3≤x<1，或2≤x≤3}
[微思考]
设集合A＝{1，2}，那么相对于集合M＝{0，1，2，3}和N＝{1，2，3}，?MA和?NA相等吗？由此说说你对全集与补集的认识.
提示 ?MA＝{0，3}，?NA＝{3}，?MA≠?NA，由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同.
题型一 补集的基本运算
【例1】 (1)设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<0}，则?UM＝( )
A.{x|0≤x≤2}
B.{x|0C.{x|x<0，或x>2}
D.{x|x≤0，或x≥2}
(2)已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a＝________.
解析 (1)如图，在数轴上表示出集合M，可知?UM＝{x|0≤x≤2}.
答案 (1)A (2)2
规律方法 求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.
【训练1】 (1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3(2)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1，2}，则实数m＝________.
解析 (1)借助数轴得?UA＝{x|x＝－3，或x>4}.
(2)∵?UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.
答案 (1){x|x＝－3或x>4} (2)－3
题型二 集合交、并、补的综合运算
【例2】 已知集合S＝{x|1求：(1)(?SA)∩(?SB)；(2)?S(A∪B)；(3)(?SA)∪(?SB)；(4)?S(A∩B).
解 如图所示，可得
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，
?SA＝{x|1?SB＝{x|1由此可得：(1)(?SA)∩(?SB)＝{x|1(2)?S(A∪B)＝{x|1(3)(?SA)∪(?SB)＝{x|1(4)?S(A∩B)＝(?SA)∪(?SB)＝{x|1规律方法 1.求解与不等式有关的集合问题的方法
解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.
2.求解集合混合运算问题的一般顺序
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分.
【训练2】 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解 由图知：A∩B＝{x|－2?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3，或2(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；
A∩(?UB)＝{x|2题型三 根据补集的运算求参数的值或范围
【例3】 (1)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩(?UA)＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值.
(2)已知集合A＝{x|2a－2解 (1)∵B∩(?UA)＝{2}，∴2∈B，但2?A.
∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，但4?B.
(2)?RB＝{x|x≤1，或x≥2}≠?.
∵A??RB，
∴分A＝?和A≠?两种情况讨论.
①若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
综上所述，a≤1或a≥2.
即a的取值范围为{a|a≤1，或a≥2}.
规律方法 由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合Venn图求解.
(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.
【训练3】 设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，?UA＝{5}，求实数a的值.
解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3，2}，U＝{2，3，5}符合题意.
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9，2}，U＝{2，3，5}，
不满足条件?UA＝{5}，故a＝－4舍去.
综上知a＝2.
一、素养落地
1.通过全集与补集概念的学习提升数学抽象素养；通过补集的运算提升数学运算素养.
2.补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当作全集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.
3.若集合中元素有无限个时，与集合的交，并，补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.
二、素养训练
1.设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则?UM＝( )
A.U
B.{1，3，5}
C.{3，5，6}
D.{2，4，6}
答案 C
2.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T＝( )
A.{x|－2B.{x|x≤－4}
C.{x|x≤1}
D.{x|x≥1}
解析 因为S＝{x|x>－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}.
而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}.
答案 C
3.已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若?AB＝{5}，则实数m＝________.
解析 由?AB＝{5}知5∈A且5?B，
即5∈{3，4，m}，故m＝5.
答案 5
4.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?UA＝________.
解析 由补集的定义，结合数轴可得?UA＝{x|x<1}.
答案 {x|x<1}1.3 集合的基本运算
第一课时 交集与并集
课标要求
素养要求
理解两个集合之间的并集和交集的含义，能求两个集合的并集与交集.
能用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达集合的并集和交集运算，提升数学抽象和数学运算素养.
新知探究
某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，有a、b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.
问题 (1)问至少读过一本书的有哪些同学？
(2)同时读了a、b两本书的有哪些同学？
提示 (1)至少读过一本书的有学号为2、3、4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20的同学.
(2)同时读了a、b两本书的有学号为6、12、18的同学.
1.交集
(1)自然语言：由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集.
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.
(3)图形语言：如图所示.
(4)运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B，A∩A＝A，A∩?＝?∩A＝?.如果A?B，则A∩B＝A.反之也成立.
2.并集
重复的元素只记一次
(1)自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集.
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.
(3)图形语言：如图所示.
(4)运算性质：
A∪B＝B∪A，A?A∪B，B?A∪B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A.
如果A?B，则A∪B＝B.反之也成立.
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.若A∩B＝?，则A＝B＝?.(×)
2.{1，2，3，4}∪{0，2，3}＝{1，2，3，4，0，2，3}.(×)
3.A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合.(√)
4.若A?B，则A∩B＝A.(√)
[微训练]
1.已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝( )
A.?
B.{－1，3}
C.{－1，2}
D.{－1，3，4}
答案 B
2.满足条件{0，1}∪A＝{0，1}的所有集合A的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 D
3.若A?B则A∩B＝________，A∪B＝________.
答案 A B
[微思考]
1.A∪B是由集合A和集合B的所有元素组成吗？
提示 不是.因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素.
2.“x∈A或x∈B”中的x与集合A，B的关系包含哪几种情况？
提示 包含三种情况：
①x∈A但x?B；
②x∈B但x?A；
③x∈A且x∈B.
题型一 交集的概念及简单应用
【例1】 (1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{2}
B.{3}
C.{－3，2}
D.{－2，3}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝( )
A.{x|0≤x≤2}
B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4}
D.{x|1≤x≤4}
解析 (1)易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A.
(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示.
则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}.
答案 (1)A (2)A
规律方法 求集合A∩B的常见类型
(1)若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.
(2)若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集.
(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.
【训练1】 (1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
(2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝( )
A.x＝3，y＝－1
B.(3，－1)
C.{3，－1}
D.{(3，－1)}
解析 (1)8＝3×2＋2，14＝3×4＋2，故A∩B＝{8，14}，故选D.
(2)由得故M∩N＝{(3，－1)}.
答案 (1)D (2)D
题型二 并集的概念及简单应用
【例2】 (1)设集合M＝{4，5，6，8}，集合N＝{3，5，7，8}，那么M∪N＝( )
A.{3，4，5，6，7，8}
B.{5，8}
C.{3，5，7，8}
D.{4，5，6，8}
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝( )
A.{x|－1≤x＜3}
B.{x|－1≤x≤4}
C.{x|x≤4}
D.{x|x≥－1}
解析 (1)由定义知M∪N＝{3，4，5，6，7，8}.
(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}.
答案 (1)A (2)C
规律方法 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.
【训练2】 (1)已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝( )
A.{0}
B.{0，3}
C.{1，3，9}
D.{0，1，3，9}
(2)若集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________.
解析 (1)易知N＝{0，3，9}，故M∪N＝{0，1，3，9}.
(2)将－35在数轴上表示出来.
∴M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}.
答案 (1)D (2){x|x<－5，或x>－3}
题型三 并集、交集的运算性质及应用
【例3】 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}.
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
解 (1)由题意可知A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将2代入得
4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2，10}，符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意.
综上所述，a＝－5或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B?A，∵A＝{1，2}，∴B＝?或B＝{1}或{2}或{1，2}.
若B＝?，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，
解得a>3；
若B＝{1}，则即不成立；
若B＝{2}，则即不成立；
若B＝{1，2}，则即此时不成立，综上a>3.即a的取值范围为{a|a＞3}.
【迁移】 (变条件)将例3(2)中的A∪B＝A改为A∩B＝A，其它条件不变，求a的取值范围.
解 由题意A＝{1，2}.由A∩B＝A，∴A?B，∴B＝{1，2}，
则即此时不成立，
∴a不存在.
规律方法 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝?的情况，否则易漏解.
【训练3】 已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围.
(1)A∩B＝?；(2)A?(A∩B).
解 (1)若A＝?，则A∩B＝?成立.
此时2a＋1>3a－5，即a<6.
若A≠?，如图所示，
则
解得6≤a≤7.
综上，满足条件A∩B＝?的实数a的取值范围是{a|a≤7}.
(2)因为A?(A∩B)，且(A∩B)?A，
所以A∩B＝A，即A?B.
显然A＝?满足条件，此时a<6.
若A≠?，如图所示，
则或
由解得a∈?；
由解得a>.
综上，满足条件A?(A∩B)的实数a的取值范围是.
一、素养落地
1.通过对并集、交集概念的理解，培养数学抽象素养，通过进行集合间的并集、交集的运算提升数学运算素养.
2.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
3.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.
二、素养训练
1.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( )
A.{x|x≥－1}
B.{x|x≤2}
C.{x|0D.{x|－1≤x≤2}
解析 A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1≤x≤2}＝{x|x≥－1}.选A.
答案 A
2.若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝( )
A.{0，－1}
B.{1}
C.{0}
D.{－1，1}
解析 M∩N＝{－1，1}∩{－2，1，0}＝{1}，故选B.
答案 B
3.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为________.
解析 A∪B＝{1，2，3}∪{2，4，5}＝{1，2，3，4，5}，共5个元素.
答案 5
4.若P＝{x|x≥1}，Q＝{x|－1解析 如图所示，P∩Q＝{x|1≤x<4}.
答案 {x|1≤x<4}
基础达标
一、选择题
1.设集合A＝{－1，0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B＝( )
A.{－2}
B.{－2，3}
C.{－1，0，－2}
D.{－1，0，－2，3}
解析 因为A＝{－1，0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2，3}，所以A∪B＝{－1，0，－2，3}.故选D.
答案 D
2.已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x>1}，那么A∩B＝( )
A.{1，2，3，4，5}
B.{2，3，4，5}
C.{2，3，4}
D.{x∈R|1解析 ∵A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x>1}，∴A∩B＝{x∈R|1答案 D
3.设集合A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1，4，x}，则满足条件的实数x的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ∵A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，∴x≠1，x≠4且x2≠1，得x≠±1且x≠4，∵A∪B＝{1，4，x}，∴x2＝x或x2＝4，解之得x＝0或x＝±2，故满足条件的实数x有0，2，－2，共3个，故选C.
答案 C
4.设A，B是非空集合，定义A
B＝{x|x∈A∪B，且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A
B＝( )
A.{x|1≤x<3}
B.{x|1≤x≤3}
C.{x|0≤x<1，或x>3}
D.{x|0≤x≤1，或x≥3}
解析 由题意知A∪B＝{x|x≥0}，
A∩B＝{x|1≤x≤3}，
∴A
B＝{x|0≤x<1，或x>3}.
答案 C
5.设集合A＝，B＝{t|t2＋2(a＋1)t＋(a2－5)＝0}.若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤－2}
B.{a|a≤－3}
C.{a|a≤－4}
D.{a|a≤－1}
解析 ∵A＝＝{1，2}，B＝{t|t2＋2(a＋1)t＋(a2－5)＝0}.由A∩B＝B，得B?A.
当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)<0，即a<－3时，B＝?，符合题意；
当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝0，即a＝－3时，B＝{t|t2－4t＋4＝0}＝{2}，符合题意；
当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)>0，即a>－3时，要使B?A，则B＝A，
即此方程组无解.
∴实数a的取值范围是{a|a≤－3}.
答案 B
二、填空题
6.已知集合A＝{3，2a}，B＝{a，b}.若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.
解析 因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，所以a＝1，b＝2，故A∪B＝{1，2，3}.
答案 {1，2，3}
7.若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是________.
解析 A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，由A∩B≠?，得a≥－1.
答案 {a|a≥－1}
8.集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a＝________.
解析 ∵A∪B＝{0，1，2，a，a2}，又A∪B＝{0，1，2，4，16}，∴{a，a2}＝{4，16}，∴a＝4.
答案 4
三、解答题
9.设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}.
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
解 (1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0，即a＝－8，b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}.
(2)由(1)知A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}.
10.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.
解 因为A∩B＝{3}，所以3∈A.
从而可得p＝8，所以A＝{3，5}.
又由于3∈B，且A∪B＝{2，3，5}，所以B＝{2，3}.
所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.
由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.
综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.
能力提升
11.若P＝{1，2，3，m}，Q＝{m2，3}，且满足P∩Q＝Q，则m的值为________.
解析 由P∩Q＝Q，可知Q?P，
∴m2＝1或m2＝2或m2＝m.
解得m＝±1或m＝±或m＝0.
经检验m＝1时不满足集合中元素的互异性，舍去.
∴m＝－1或m＝±或m＝0.
答案 －1，±，0
12.设集合A＝{x|－1(1)若C＝?，求实数a的取值范围；
(2)若C≠?且C?(A∩B)，求实数a的取值范围.
解 (1)∵C＝{x|1－2a∴a≤，
即实数a的取值范围是.
(2)∵C＝{x|1－2a∴1－2a<2a，即a>.
∵A＝{x|－1∴A∩B＝.
∵C?(A∩B)，
∴
解得即实数a的取值范围是.
创新猜想
13.(多选题)已知集合A＝{2，3，4}，集合A∪B＝{1，2，3，4，5}，则集合B可能为( )
A.{1，2，5}
B.{2，3，5}
C.{0，1，5}
D.{1，2，3，4，5}
解析 由题意知集合B中必有元素1和5，且有元素2，3，4中的0个，1个，2个或3个.都可以，A、D符合.
答案 AD
14.(多空题)若集合P＝{x|2≤x＜4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于________；P∪Q等于________.
解析 P∩Q＝{x|3≤x＜4}，P∪Q＝{x|x≥2}.
答案 {x|3≤x＜4} {x|x≥2}