第三课时 充分条件、必要条件、充要条件与集合的关系
课标要求
素养要求
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
通过学习理解充分条件、必要条件、充要条件与集合的关系，体会它们在进行数学表达、论证和交流中的作用，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题：女主角鲍西娅对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒，每只盒子的铭牌上各写有一句话.三句话中，只有一句是真话.谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能作我的丈夫.”盒子上的话见下图，求婚者猜中了.
问题 他是怎样猜中的？
提示 金盒与铅盒上的话是相反的，必有一个是正确的，一个是错误的.所以银盒上的话是错误的，肖像在银盒中.
充分条件与必要条件
(1)充分条件与必要条件
(ⅰ)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(ⅱ)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件.
(2)充分条件与必要条件的两种判断方法见下表：
条件
定义法
集合法：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
p是q的充分条件
p?q
A?B
p是q的必要条件
q?p
A?B
p是q的充要条件
p?q且q?p
A＝B
p是q的充分不必要条件
p?q且q?
p
A?B
p是q的必要不充分条件
p?q且q?p
A?B
p是q的既不充分也不必要条件
p?q且q?p
A?B且A?B
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.当A?B时，“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.(√)
2.“A?B”是“A∩B＝A”的充分不必要条件.(×)
提示 充要条件.
3.“a是偶数，b是偶数”是“ab是偶数的充分不必要条件”.(√)
[微训练]
1.“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根”的充要条件是________.
答案 a<－2
2.若“x
2或x<1”的充分不必要条件，则m的取值范围是______.
答案 (－∞，1]
[微思考]
从集合的角度如何证明充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件？
提示 集合法.设p，q对应的集合分别为A，B.
若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B，且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】 已知圆B在圆A内，点M是平面上任意一点，则：
(1)“点M在B内”是“点M在A内”的什么条件？
(2)“点M在A外”是“点M在B外”的什么条件？
解 如图，圆B在圆A内，将圆A、圆B内部的平面区域分别记为集合A′，B′，则有B′?A′.
(1)如图(1)，因为B′?A′，所以x∈B′?x∈A′，但x∈A′?x∈B′，所以“点M在B内”是“点M在A内”的充分不必要条件.
(2)如图(2)，因为B′?A′，所以?UA′??UB′，其中U为整个平面区域，故x∈?UA′?x∈?UB′，但x∈?UB′?
x∈?UA′，所以“点M在A外”是“点M在B外”的充分不必要条件.
规律方法 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
1.定义法
(1)分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论.
(2)找推式：判断“p?q”及“q?p”的真假.
(3)根据推式得出结论.
2.等价转化法
将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题.
3.集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断.
4.特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题.
【训练1】 (1)“－1A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2，且b>2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 (1)|x|<1可化为－1(2)若a>2，b>2，则a＋b>4，但当a＝4，b＝1时也有a＋b>4，故本题选B.
答案 (1)C (2)B
题型二 充分、必要、充要条件关系的探求
【例2】 (1)求一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数根的充要条件.
(2)求ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件.
解 (1)∴a≤1且a≠0.
所以方程有实根的充要条件为{a|a≤1，且a≠0}.
(2)当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根x＝－.
当a≠0时，原方程为一元二次方程，
又ax2＋2x＋1＝0只有负实根，
所以有即0综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.
规律方法 寻求充分、必要、充要条件的方法
1.寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p；
2.寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p；
3.寻求q的充要条件p有两种方法：
(1)等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证.
(2)非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性.
【训练2】 (1)不等式0＜x＜2成立的一个充分不必要条件是( )
A.0B.x≥－1
C.0D.1(2)一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A.a<0
B.a>0
C.a<－1
D.a<1
解析 (1)因为{x|0(2)∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根.
∴即∴a<0.
由于{a|a<－1}?{a|a<0}，故选C.
答案 (1)C (2)C
题型三 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围
【例3】 (1)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________.
(2)不等式－a＜x＜－1成立的一个充分不必要条件是－2解析 (1)p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解：当a≠0时，x＝－.
由题意知p?q，q?p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.
综上可知，a＝－或a＝.
(2)根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)
?{x|－a＜x＜－1}，故有a>2.
答案 (1)－或 (2)(2，＋∞)
规律方法 利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.
【训练3】 若p：－20)，p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.
解析 B＝{x||x|≤m}＝{x|－m≤x≤m}，
p是q的充分不必要条件，
所以{x|－2答案 [2，＋∞)
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步培养学生的数学抽象素养，提升学生逻辑推理素养.
2.要对概念真正理解，根据条件求参数范围注意条件和结论.
二、素养训练
1.“3A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 A＝{x|3答案 A
2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故选A.
答案 A
3.设p：x<9，q：－1解析 令A＝{x|x<9}，B＝{x|－1答案 必要不充分
4.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________.
解析 由题意知|x|>a恒成立，
∵|x|≥0，∴a<0.
答案 a<0
基础达标
一、选择题
1.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；
令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，
所以p是q的充分不必要条件.故选A.
答案 A
2.已知p：|x|<2；q：－1A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 p：由|x|<2，得－2q：－1∵{x|－1∴p是q的必要而不充分条件，选B.
答案 B
3.命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A.a≥4
B.a>4
C.a≥1
D.a>1
解析 要使“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a>4是命题为真的充分不必要条件.
答案 B
4.设a∈R，则“a<1”是“>1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 >1?－1>0?>0?0答案 B
5.“x＝1”是“x∈{x|x2≤a}”的充分条件，则实数a的取值范围为( )
A.a＝
B.a<
C.a<1
D.a≥1
解析 由题意，{1}是{x|x2≤a}的子集，∴a≥1.故选D.
答案 D
二、填空题
6.“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的________条件.
解析 ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.
答案 充要
7.下列不等式：
①x<1；②0其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________.
解析 由于x2<1即－1①显然不能使－1答案 ②③④
8.关于x的不等式|2x－3|>a的解集为R的充要条件是________.
解析 由题意知|2x－3|>a恒成立.∵|2x－3|≥0，
∴a<0.
答案 a<0
三、解答题
9.指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
解 (1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0?
x－3＝0，故p是q的充分不必要条件.
(2)两个三角形相似?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件；
(3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要条件.
(4)a>b?ac>bc，且ac>bc?a>b，故p是q的既不充分也不必要条件.
10.不等式3x＋a≥0成立的充要条件为x≥2，求a的取值范围.
解 3x＋a≥0化为x≥－.
由题意＝{x|x≥2}，
所以－＝2，a＝－6.
能力提升
11.已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________.
解析 ∵x∈P是x∈S的必要条件，
则S?P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.
答案 [0，3]
12.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.
证明 (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2.
由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号.
又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数.
即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，
所以即
所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2.
综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件.
创新猜想
13.(多选题)下列判断正确的是( )
A.当A?B时，“x∈A”是“x∈B”的充分条件
B.“a是偶数，b是偶数”是“ab是偶数”的充分条件
C.“A?B”是“A∪B＝B”的充要条件
D.“A＝?”是“A∩B＝?”的必要条件
答案 ABC
14.(开放题)若“x＞4或x＜－2”是“x＜m”的必要不充分条件，则实数m的一个可能的值为________.
解析 由题意知x＜m?x＞4或x＜－2，∴m≤－2.
答案 －3只要填的数值满足m≤－2即可，不唯一(共29张PPT)
第三课时 充分条件、必要条件、充要条件与集合的关系
课标要求
素养要求
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
通过学习理解充分条件、必要条件、充要条件与集合的关系，体会它们在进行数学表达、论证和交流中的作用，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题：女主角鲍西娅对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒，每只盒子的铭牌上各写有一句话.三句话中，只有一句是真话.谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能作我的丈夫.”盒子上的话见下图，求婚者猜中了.
问题 他是怎样猜中的？
提示 金盒与铅盒上的话是相反的，必有一个是正确的，一个是错误的.所以银盒上的话是错误的，肖像在银盒中.
充分条件与必要条件
(1)充分条件与必要条件
(ⅰ)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的__________.
(ⅱ)如果p?q，q?p，则p是q的__________.
必要条件
充要条件
(2)充分条件与必要条件的两种判断方法见下表：
条件
定义法
集合法：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
p是q的充分条件
p?q
________
p是q的必要条件
q?p
A?B
p是q的充要条件
p?q且q?p
A＝B
p是q的充分不必要条件
p?q且q?
p
________
p是q的必要不充分条件
p?q且q?p
A?B
p是q的既不充分也不必要条件
p?q且q?p
A?B且A?B
A?B
A?B
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.当A?B时，“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.(
)
2.“A?B”是“A∩B＝A”的充分不必要条件.(
)
提示 充要条件.
3.“a是偶数，b是偶数”是“ab是偶数的充分不必要条件”.(
)
√
×
√
[微训练]
1.“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根”的充要条件是________.
答案 a<－2
2.若“x2或x<1”的充分不必要条件，则m的取值范围是______.
答案 (－∞，1]
[微思考]
从集合的角度如何证明充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件？
提示 集合法.设p，q对应的集合分别为A，B.
若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B，且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】 已知圆B在圆A内，点M是平面上任意一点，则：
(1)“点M在B内”是“点M在A内”的什么条件？
(2)“点M在A外”是“点M在B外”的什么条件？
解 如图，圆B在圆A内，将圆A、圆B内部的平面区域分别记为集合A′，B′，则有B′?A′.
规律方法 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
1.定义法
(1)分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论.
(2)找推式：判断“p?q”及“q?p”的真假.
(3)根据推式得出结论.
2.等价转化法
将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题.
3.集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断.
4.特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题.
【训练1】 (1)“－1A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2，且b>2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 (1)|x|<1可化为－1(2)若a>2，b>2，则a＋b>4，但当a＝4，b＝1时也有a＋b>4，故本题选B.
答案 (1)C (2)B
题型二 充分、必要、充要条件关系的探求
【例2】 (1)求一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数根的充要条件.
(2)求ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件.
所以方程有实根的充要条件为{a|a≤1，且a≠0}.
当a≠0时，原方程为一元二次方程，
又ax2＋2x＋1＝0只有负实根，
综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.
规律方法 寻求充分、必要、充要条件的方法
1.寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p；
2.寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p；
3.寻求q的充要条件p有两种方法：
(1)等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证.
(2)非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性.
【训练2】 (1)不等式0＜x＜2成立的一个充分不必要条件是( )
A.0B.x≥－1
C.0D.1(2)一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A.a<0
B.a>0
C.a<－1
D.a<1
解析 (1)因为{x|0(2)∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根.
由于{a|a<－1}?{a|a<0}，故选C.
答案 (1)C (2)C
题型三 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围
【例3】 (1)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________.
(2)不等式－a＜x＜－1成立的一个充分不必要条件是－2解析 (1)p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.
(2)根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)
?{x|－a＜x＜－1}，故有a>2.
规律方法 利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.
【训练3】 若p：－20)，p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.
解析 B＝{x||x|≤m}＝{x|－m≤x≤m}，
p是q的充分不必要条件，
所以{x|－2答案 [2，＋∞)
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步培养学生的数学抽象素养，提升学生逻辑推理素养.
2.要对概念真正理解，根据条件求参数范围注意条件和结论.
二、素养训练
1.“3A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 A＝{x|3答案 A
2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故选A.
答案 A
3.设p：x<9，q：－1解析 令A＝{x|x<9}，B＝{x|－1答案 必要不充分
4.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________.
解析 由题意知|x|>a恒成立，
∵|x|≥0，∴a<0.
答案 a<0第二课时 充要条件
课标要求
素养要求
通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养.
新知探究
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.
问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.
提示 张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的.
一般地，如果p?q，且q?p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p?q.当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.
p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”.
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.p：<1，q：x>1，p是q的必要不充分条件.(√)
2.p：M＝?，q：M∩N＝?，p是q的充分不必要条件.(√)
3.“A?B”是“A∪B＝B”的充要条件.(√)
[微训练]
1.设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 A
2.设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 A
3.“m＝1”是“函数y＝xm2－4m＋5为二次函数”的________条件.
解析 当m＝1时，y＝xm2－4m＋5＝x2是二次函数，y＝xm2－4m＋5是二次函数，则m2－4m＋5＝2，∴m＝1或m＝3.
答案 充分不必要
[微思考]
1.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示 p是q的充要条件说明p是条件，q是结论，p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
2.证明充要条件的一般步骤是什么？
提示 根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：
一般地，证明“p成立的充要条件为q”的步骤是：
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
题型一 充要条件的判断
【例1】 判断下列各题中，p是否为q的充要条件？
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：a>b；
(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(3)p：|x|>3，q：x2>9.
解 (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B?a>b，
所以p是q的充要条件.
(2)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p?q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，
所以p是q的充要条件.
(3)由于p：|x|>3?q：x2>9，所以p是q的充要条件.
规律方法 判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件.
【训练1】 a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A.ab＝0
B.ab>0
C.a2＋b2＝0
D.a2＋b2>0
解析 a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
答案 D
题型二 充要条件的证明
【例2】 求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.
证明 ①必要性：
若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则
?
即
解得k<－2.
②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1
＝k2＋2k＝k(k＋2)>0.
又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2
＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，
∴x1－1>0，x2－1>0.
∴x1>1，x2>1.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.
规律方法 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.
【训练2】 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明 ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型三 递推法判断命题间的关系
【例3】 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解 (1)∵q是s的充分条件，∴q?s.
∵q是r的必要条件，∴r?q.
∵s是r的充分条件，∴s?r，
∴s?r?q.即s是q的充要条件.
(2)由r?q，q?s?r，知r是q的充要条件.
(3)∵p是r的必要条件，∴r?p，∴q?r?p.
∴p是q的必要不充分条件.
规律方法 解决传递性问题的关键是画出推出的结构图，也可以考虑命题之间的关系.
【训练3】 如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析 如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙?甲.
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙?乙，但乙?丙.
综上，有丙?乙?甲，甲?丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
答案 A
一、素养落地
1.通过学习充要条件的概念培养数学抽象素养，通过判断充要条件提升逻辑推理素养.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性.
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
二、素养训练
1.设a，b是实数，则“a>b”是“a3>b3”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
2.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分条件.选B.
答案 B
3.“1解析 当1答案 充分不必要
4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，则“a＝b”是“A＝B”的________条件.
解析 “a＝b”等价于“A＝B”.
答案 充要
基础达标
一、选择题
1.已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2，4}，则“m＝”是“A∩B＝{4}”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±，而当m＝时，m2＋1＝4，∴A∩B＝{4}，故“m＝”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件.
答案 A
2.设a、b是实数，则“a>b>0”是“a2>b2”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若a>b>0，则a2>b2成立，
若a＝－2，b＝1，满足a2>b2，但a>b>0不成立，
故“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件，故选C.
答案 C
3.设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.
答案 D
4.已知两个三角形△ABC，△A′B′C′，则“△ABC≌△A′B′C′”是“S△ABC＝S△A′B′C′”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 △ABC≌△A′B′C′可得S△ABC＝S△A′B′C′，但S△ABC＝S△A′B′C′不可以推出△ABC≌△A′B′C′.故选A.
答案 A
5.四边形ABCD中，则“四边形ABCD为平行四边形”是“AB綊CD”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 四边形ABCD为平行四边形等价于AB綊CD，故选C.
答案 C
二、填空题
6.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的________条件.
解析 当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数.
答案 充分不必要
7.设x∈R，则“x>”是“(2x－1)(x＋1)>0”的________条件.
解析 由或∴，
所以?{x|2x2＋x－1>0}.
答案 充分不必要
8.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝________.
解析 当m＝－2时，y＝x2－2x＋1，
其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，
所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案 －2
三、解答题
9.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
证明 法一 充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
必要性：由<，得－<0，即<0.
因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
法二 由条件x>y?y－x<0，知<0?xy>0.
所以0，即<的充要条件是xy>0.
10.已知ab≠0，求证：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
证明 充分性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2＋b2－ab)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又ab≠0，∴a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝＋b2>0，
∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
能力提升
11.命题p：x>0，y<0，命题q：x>y，>，则p是q的________条件.
解析 当x>0，y<0时，x>y且>成立，
当x>y且>时，得?
所以p是q的充要条件.
答案 充要
12.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p?q，即证明必要性.
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②证明q?p，即证明充分性.
由a＋b＋c＝0，即c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
创新猜想
13.(多选题)在下列各命题中，p是q的充要条件的是( )
A.p：A?B，q：A∩B＝A
B.p：a＝b，q：|a|＝|b|
C.p：x2＋y2＝0，q：x＝y＝0(x，y∈R)
D.p：a，b都是偶数，q：a＋b是偶数
解析 A、C中，p都是q的充要条件.B中，p是q的充分不必要条件.D中，p是q的充分不必要条件.
答案 AC
14.(多空题)p：两个三角形的三条边对应相等，q：两个三角形的三个角对应相等，r：两个三角形全等，则p是r的________条件；q是r的________条件.
解析 p?r，r?p；q?
r，r?q，故前者为充要条件，后者为必要不充分条件.
答案 充要 必要不充分§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
第一课时 必要条件、充分条件
课标要求
素养要求
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
通过对必要条件、充分条件的学习和理解.体会必要条件、充分条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，从而提升学生的逻辑推理素养与数学抽象素养.
新知探究
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.
问题 (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示 (1)一定亮.
(2)不一定，还可能是C开关闭合.
1.可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论.当命题“若p，则q”是真命题时，就说由p推出q，记作p?q.
2.必要条件与性质定理 注意推出方向
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件，也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的.
3.充分条件与判定定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件.
4.必要条件与充分条件
对于真命题“若p，则q”，即p?q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件.
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(√)
2.q不是p的必要条件时，则“p?/
q”成立.(√)
3.若q是p的必要条件，则q成立，p也成立.(×)
提示 q是p的必要条件，只能确定p?q.
[微训练]
1.“|x|＝|y|”是“x＝y”的______条件( )
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充分必要
D.既不充分也不必要
答案 B
2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的________条件( )
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充分必要
D.既不充分又不必要
答案 A
[微思考]
以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④p的必要条件是q；⑤q的充分条件是p.这五种表述形式等价吗？
提示 等价.
题型一 命题真假的判断
【例1】 判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆.
解 (1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.
(3)真命题.∵m>1?Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.
(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
规律方法 要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
【训练1】 下列命题：
①若xy＝1，则x、y互为倒数；
②四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________.
解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.
答案 ①④
题型二 充分条件、必要条件的判断
【例2】 给出下列四组命题：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
试分别指出p是q的什么条件.
解 (1)∵两个三角形相似?
两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵矩形的对角线相等，∴p?q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q?
p.
∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵p?q且q?p，
∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.
(4)∵p?q，且q?p，
∴p是q的既不充分也不必要条件.
规律方法 一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.
【训练2】 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)对于实数x，y，p：x＝2，y＝6，q：x＋y＝8.
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0.
解 (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C?AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)x＝2，y＝6能推出x＋y＝8，
所以p是q的充分条件.
(3)由x＝1?(x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分条件.
故(1)(2)(3)命题中p是q的充分条件.
题型三 根据必要条件(充分条件)求参数的范围
【例3】 (1)已知P＝{x|a－4(2)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：0＜x＜4，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________.
解析 (1)因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P，
所以即
所以－1≤a≤5.
(2)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0∵p是q的充分不必要条件，∴M?N，
∴解得0答案 (1){a|－1≤a≤5} (2){a|0规律方法 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【训练3】 (1)若“x0”的充分不必要条件，求m的取值范围.
(2)已知命题p：x<－3或x>1，命题q：x>a，且q是p的充分不必要条件，求a的取值范围.
解 (1)由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，
由已知条件知{x|x2或x<1}.
∴m≤1.故m的取值范围是{m|m≤1}.
(2)由已知条件得{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.
故a的取值范围是{a|a≥1}.
一、素养落地
1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.
2.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断.
3.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.
二、素养训练
1.下列语句是命题的是( )
A.2
019是一个大数
B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C.矩形是平行四边形吗？
D.a≤15
解析 A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题.
答案 B
2.“－21或x<－1”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.既是充分条件，也是必要条件
解析 ∵－21或x<－1，且x>1或x<－1?－21或x<－1”的既不充分也不必要条件.
答案 C
3.“a>b”是“a>|b|”的________条件.
解析 由a>|b|?a>b，而a>b推不出a>|b|.
答案 必要不充分
4.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的________条件.
解析 当a＝1时，|a|＝1成立，
但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.
答案 充分不必要
三、审题答题
示范(一) 利用充分条件(必要条件)求参数范围
【典型示例】 (12分)已知条件p：x<1－a或x>1＋a①和条件q：x<或x>1②，求使p是q的充分条件③的最小正整数a④.
联想解题
看到①转化成集合形式.
看到②转化成集合形式.
看到③想到需转化为条件p与条件q对应集合间的包含关系，然后建立关于a的不等式组求解.
看到④想到求出的是a的一个范围，然后在此基础上求出最小正整数a.
满分示范
解 依题意a＞0.由条件p：x<1－a或x>1＋a，
可设M＝{x|x<1－a，或x>1＋a}，1分
由条件q：x<或x>1，可设N＝.2分
要使p是q的充分条件，即p?q，也即M?N，应有或
解得a≥.10分
令a＝1，则M＝{x|x<0，或x>2}?N＝.
∴a＝1.12分
满分心得
解本题的关键是条件“p是q的充分条件”的转化，利用两个解集间的包含关系建立不等关系求解.
基础达标
一、选择题
1.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既充分也必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 x≥2且y≥2可以推出x2＋y2≥4，但x＝1且y＝3满足x2＋y2≥4但不满足x≥2且y≥2，故选A.
答案 A
2.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A.x＋y＝2
B.x＋y>2
C.x2＋y2>2
D.xy>1
解析 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意.
答案 B
3.下列语句是命题的是( )
A.今天天气真好啊！
B.你怎么又没交作业？
C.x>2
D.x∈R，x2≥0
解析 A是一个感叹句，不能判断真假，所以不是命题；B是问句，不能判断真假，不是命题；C不知道x的值是多少，所以不能判断真假，不是命题；D是命题.
答案 D
4.下列说法正确的是( )
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
解析 命题“直角相等”写成“如果p，则q”的形式为：如果两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确.
答案 D
5.设p：x<3，q：－1A.既充分又必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 因为(－1，3)
?(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件.
答案 C
二、填空题
6.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件.
解析 若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，“四边形ABCD不一定是菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
7.已知a，b都是实数，那么“>”是“|a|>|b|”的________条件.
解析 >可得a>b≥0可以推出|a|>|b|，但|a|>|b|不可以推出>.
答案 充分不必要
8.下列不等式：
①x<；②0其中，可以为x2<2的一个充分条件的所有序号为______.
解析 由于x2<2即－答案 ②③④
三、解答题
9.判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题：
(1)末位是0的整数能被5整除；
(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；
(3)△ABC中，若∠A＝∠B，则BC＝AC；
(4)二次函数是周期函数吗？
解 (1)是命题，真命题；(2)是命题，假命题.因为平行四边形的对角线不一定相等；(3)是命题，真命题；(4)不是命题，因为该语句不是陈述句.
10.指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
(1)p：函数的图象关于y轴对称；q：函数y＝x2.
(2)p：＝(bc≠0)，q：b2＝ac.
解 (1)q?p，p?
q，∴p是q的必要不充分条件.
(2)p?q，q?
p，∴p是q的充分不必要条件.
能力提升
11.下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝.
解 (1)∵a＋b＝0?
a2＋b2＝0，
a2＋b2＝0?a＋b＝0.
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵四边形的对角线相等?
四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线相等.
∴p是q的必要不充分条件.
(3)∵x＝1或x＝2?x－1＝，
x－1＝?x＝1或x＝2，
∴p是q的充分必要条件.
12.已知p：－4解 设p、q表示范围对应为集合A，B，
则A＝(a－4，a＋4)，B＝(2，3)，由题意B?A，
∴∴－1≤a≤6.即a的取值范围是[－1，6].
创新猜想
13.(多选题)对于任意实数a，b，c，下列命题中的假命题为( )
A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析 由充分条件、必要条件的定义知选A、C、D.
答案 ACD
14.(多选题)下列不等式可作为|x|＜1的一个必要条件的所有序号为( )
A.x＜1
B.－2＜x＜1
C.－1＜x＜0
D.0＜x＜1
解析 由|x|＜1得－1＜x＜1，A、B满足必要性.
答案 AB(共31张PPT)
第二课时 充要条件
课标要求
素养要求
通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养.
新知探究
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.
问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.
提示 张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的.
一般地，如果p?q，且q?p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的____________，记作_______.当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件.
p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”.
充要条件
p?q
√
√
√
[微训练]
1.设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 A
2.设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 A
3.“m＝1”是“函数y＝xm2－4m＋5为二次函数”的________条件.
解析 当m＝1时，y＝xm2－4m＋5＝x2是二次函数，y＝xm2－4m＋5是二次函数，则m2－4m＋5＝2，∴m＝1或m＝3.
答案 充分不必要
[微思考]
1.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示 p是q的充要条件说明p是条件，q是结论，p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
2.证明充要条件的一般步骤是什么？
提示 根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：
一般地，证明“p成立的充要条件为q”的步骤是：
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
题型一 充要条件的判断
【例1】 判断下列各题中，p是否为q的充要条件？
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：a>b；
(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(3)p：|x|>3，q：x2>9.
解 (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B?a>b，
所以p是q的充要条件.
(2)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p?q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，
所以p是q的充要条件.
(3)由于p：|x|>3?q：x2>9，所以p是q的充要条件.
规律方法 判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立.若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件.
【训练1】 a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A.ab＝0
B.ab>0
C.a2＋b2＝0
D.a2＋b2>0
解析 a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
答案 D
题型二 充要条件的证明
【例2】 求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.
证明 ①必要性：
若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则
解得k<－2.
②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1
＝k2＋2k＝k(k＋2)>0.
又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2
＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，
∴x1－1>0，x2－1>0.
∴x1>1，x2>1.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.
规律方法 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.
【训练2】 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明 ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型三 递推法判断命题间的关系
【例3】 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解 (1)∵q是s的充分条件，∴q?s.
∵q是r的必要条件，∴r?q.
∵s是r的充分条件，∴s?r，
∴s?r?q.即s是q的充要条件.
(2)由r?q，q?s?r，知r是q的充要条件.
(3)∵p是r的必要条件，∴r?p，∴q?r?p.
∴p是q的必要不充分条件.
规律方法 解决传递性问题的关键是画出推出的结构图，也可以考虑命题之间的关系.
【训练3】 如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案 A
一、素养落地
1.通过学习充要条件的概念培养数学抽象素养，通过判断充要条件提升逻辑推理素养.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性.
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
二、素养训练
1.设a，b是实数，则“a>b”是“a3>b3”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
2.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
3.“1解析 当1答案 充分不必要
4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，则“a＝b”是“A＝B”的________条件.
解析 “a＝b”等价于“A＝B”.
答案 充要(共32张PPT)
§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
第一课时 必要条件、充分条件
课标要求
素养要求
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
通过对必要条件、充分条件的学习和理解.体会必要条件、充分条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，从而提升学生的逻辑推理素养与数学抽象素养.
新知探究
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.
问题 (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示 (1)一定亮.
(2)不一定，还可能是C开关闭合.
1.可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论.当命题“若p，则q”是真命题时，就说由p推出q，记作p?q.
2.
一般地，当命题“若p，则q”是____命题时，称q是p的必要条件，也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是______的.
必要条件与性质定理
注意推出方向
真
必要
3.充分条件与判定定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的______条件.
4.必要条件与充分条件
对于真命题“若p，则q”，即p?q时，称q是p的______条件，也称p是q的充分条件.
充分
必要
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(
)
2.q不是p的必要条件时，则“p?/
q”成立.(
)
3.若q是p的必要条件，则q成立，p也成立.(
)
提示 q是p的必要条件，只能确定p?q.
√
√
×
[微训练]
1.“|x|＝|y|”是“x＝y”的______条件( )
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充分必要
D.既不充分也不必要
答案 B
2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的________条件( )
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充分必要
D.既不充分又不必要
答案 A
[微思考]
以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④p的必要条件是q；⑤q的充分条件是p.这五种表述形式等价吗？
提示 等价.
题型一 命题真假的判断
【例1】 判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆.
解 (1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.
(3)真命题.∵m>1?Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.
(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
规律方法 要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
【训练1】 下列命题：
①若xy＝1，则x、y互为倒数；
②四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________.
解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.
答案 ①④
题型二 充分条件、必要条件的判断
【例2】 给出下列四组命题：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
试分别指出p是q的什么条件.
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵矩形的对角线相等，∴p?q，
∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵p?q且q?p，
∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.
∴p是q的既不充分也不必要条件.
规律方法 一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.
【训练2】 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)对于实数x，y，p：x＝2，y＝6，q：x＋y＝8.
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0.
解 (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C?AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)x＝2，y＝6能推出x＋y＝8，
所以p是q的充分条件.
(3)由x＝1?(x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分条件.
故(1)(2)(3)命题中p是q的充分条件.
题型三 根据必要条件(充分条件)求参数的范围
【例3】 (1)已知P＝{x|a－4(2)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：0＜x＜4，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________.
解析 (1)因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P，
所以－1≤a≤5.
答案 (1){a|－1≤a≤5} (2){a|0(2)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0∵p是q的充分不必要条件，∴M?N，
规律方法 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【训练3】 (1)若“x0”的充分不必要条件，求m的取值范围.
(2)已知命题p：x<－3或x>1，命题q：x>a，且q是p的充分不必要条件，求a的取值范围.
解 (1)由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，
由已知条件知{x|x2或x<1}.
∴m≤1.故m的取值范围是{m|m≤1}.
(2)由已知条件得{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.
故a的取值范围是{a|a≥1}.
一、素养落地
1.通过学习充分条件与必要条件的概念提升数学抽象素养，通过判断充分条件与必要条件及其应用培养逻辑推理素养.
2.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断.
3.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.
二、素养训练
1.下列语句是命题的是( )
A.2
019是一个大数
B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C.矩形是平行四边形吗？
D.a≤15
解析 A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题.
答案 B
2.“－21或x<－1”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.既是充分条件，也是必要条件
3.“a>b”是“a>|b|”的________条件.
解析 由a>|b|?a>b，而a>b推不出a>|b|.
答案 必要不充分
4.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的________条件.
解析 当a＝1时，|a|＝1成立，
但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.
答案 充分不必要
三、审题答题
示范(一) 利用充分条件(必要条件)求参数范围
联想解题
看到①转化成集合形式.
看到②转化成集合形式.
看到③想到需转化为条件p与条件q对应集合间的包含关系，然后建立关于a的不等式组求解.
看到④想到求出的是a的一个范围，然后在此基础上求出最小正整数a.