第二课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
课标要求
素养要求
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
一位探险家被土人抓住，土人首领说：“你猜你被烧死还是被五马分尸，如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸”.
问题 请问探险家该如何保命？
提示 探险家应该说“我将被五马分尸”.
如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该被烧死；
如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五马分尸.
所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着.
1.命题的否定
当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题.
2.全称量词命题的否定
改量词，否定结论
对于全称量词命题p：?x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为?x∈M，x不具有性质p(x).
全称量词命题的否定是存在量词命题.
3.存在量词命题的否定
对于存在量词命题p：?x∈M，x具有性质p(x)，通常把
它的否定表示为?x∈M，x不具有性质p(x).存在量词命题的否定是全称量词命题.
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.?x∈R，x2－3x＋3>0的否定是?x?R，x2－3x＋3≤0.(×)
提示 ?x∈R，x2－3x＋3≤0.
2.?x∈R，x2≠x的否定是?x∈R，x2＝x.(√)
[微训练]
写出下列命题的否定：
(1)?x∈Q，3x2＋2x＋1∈Q；
(2)?锐角α，使sin
α＝cos
α；
(3)所有的矩形都是平行四边形；
(4)?x>1，使x2－2x－3＝0.
答案 (1)?x∈Q，3x2＋2x＋1?Q.
(2)?锐角α，sin
α≠cos
α.
(3)存在一个矩形不是平行四边形.
(4)?x>1，x2－2x－3≠0.
[微思考]
全称量词命题的否定有什么特点？存在量词命题的否定有什么特点？
提示 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.
方法步骤：改量词，否定结论.
题型一 全称量词命题的否定
【例1】 写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解.
解 (1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)其否定为：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数.
(3)其否定为：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
规律方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
【训练1】 命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A.?x∈R，?n∈N
，使得n
B.?x∈R，?n∈N
，使得nC.?x∈R，?n∈N
，使得nD.?x∈R，?n∈N
，使得n解析 原命题是全称量词命题，条件为?x∈R，结论为?n∈N
，使得n≥x2，其否定形式为存在量词命题，条件中改量词，并否定结论，只有D选项符合.
答案 D
题型二 存在量词命题的否定
【例2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形.
解 (1)p的否定：?x>1，x2－2x－3≠0.(假).
(2)p的否定：所有的素数都不是奇数.(假).
(3)p的否定：所有的平行四边形都是矩形.(假).
规律方法 存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论.
【训练2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.
解 (1)命题的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.
题型三 存在量词命题、全称量词命题的综合应用
【例3】 已知函数y＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋y>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－(x－2x0＋5)>0成立，求实数m的取值范围.
解 (1)不等式m＋y>0可化为m>－y，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可.
故存在实数m，使不等式m＋y>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－(x－2x0＋5)>0可化为m>x－2x0＋5，若存在一个实数x0，使不等式m>x－2x0＋5成立，只需m>ymin
又y＝(x－1)2＋4，
∴ymin＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
规律方法 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>y恒成立，只要a>ymax；若存在一个实数x0，使a>y成立，只需a>ymin.
【训练3】 已知y＝3ax2＋6x－1(a∈R).
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有y≤0；
(2)方程y＝4x有两个不相等的正实数根，求a的取值范围.
(1)证明 当a＝－3时，y＝－9x2＋6x－1＝－(9x2－6x＋1)＝－(3x－1)2≤0，
∴对任意x∈R，都有y≤0.
(2)解 由y＝4x得3ax2＋2x－1＝0，
∴∴∴－故a的取值范围为.
一、素养落地
1.通过学习全称量词命题、存在量词命题的否定的概念，提升数学抽象素养，通过存在量词命题、全称量词命题否定的综合应用培养逻辑推理素养.
2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
3.命题与其否定的真假性相反.
二、素养训练
1.下列命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.两个无理数的和必是无理数
B.存在一个实数x，使＝0
C.至少有一个实数x，使x2<0
D.有个实数的倒数等于它本身
解析 A项，为全称量词命题；B项，是不能为零的，故B为假命题；C项，x2≥0，故不存在实数x使x2<0，故C为假命题；D项，当实数为1或－1时可满足题意，故D为真命题.
答案 D
2.命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是( )
A.不存在x∈R，2x>0
B.存在x0∈R，2x0≥0
C.对任意的x∈R，2x≤0
D.对任意的x∈R，2x>0
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题.
答案 D
3.命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A.对任意实数x，都有x>1
B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x，都有x≤1
D.存在实数x，使x≤1
解析 利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.
答案 C
4.命题“?x∈R，x2＋2x＋3＞0”的否定是________.
答案 ?x∈R，x2＋2x＋3≤0
基础达标
一、选择题
1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是( )
A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
解析 命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.
答案 C
2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：?x∈A，2x∈B，则( )
A.p的否定：?x∈A，2x∈B
B.p的否定：?x?A，2x?B
C.p的否定：?x?A，2x∈B
D.p的否定：?x∈A，2x?B
解析 命题p：?x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，命题的否定应为：?x∈A，2x?B.选D.
答案 D
3.对下列命题的否定说法错误的是( )
A.p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C.p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D.p：?n∈N，2n≤100；p的否定：?n∈N，2n>100.
解析 “有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.
答案 C
4.命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A.?x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B.?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C.?x∈[0，＋∞)，x3＋x<0
D.?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
解析 全称量词命题：?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是存在量词命题：?x∈[0，＋∞)，x3＋x<0.
答案 C
5.下列命题中为真命题且为全称量词命题的是( )
A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B.菱形的两条对角线相等
C.?x∈R，＝x
D.y＝(k>0)的图象在一、三象限
解析 A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是存在量词命题，所以选D.
答案 D
二、填空题
6.已知命题p：?x＞0，总有x＋1＞1，则p的否定为________.
答案 ?x＞0，使得x＋1≤1
7.命题“?x∈(0，＋∞)，x2＝x－1”的否定为________.
答案 ?x∈(0，＋∞)，x2≠x－1
8.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________.
答案 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
三、解答题
9.判断下列命题的真假：
(1)?x∈Z，x3＜0；
(2)存在一个四边形不是正方形.
解 (1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1＜0，∴“?x∈Z，x3＜0”是真命题.
(2)真命题，如梯形.
10.写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)p：2的平方是正数；(2)p：实数的平方都是正数.
解 (1)否定：2的平方不是正数，假命题.
(2)否定：实数的平方不都是正数，真命题.
能力提升
11.命题“?x∈R，?n∈N＋，使得n≥2x＋1”的否定形式是( )
A.?x∈R，?n∈N＋，使得n＜2x＋1
B.?x∈R，?n∈N＋，使得n＜2x＋1
C.?x∈R，?n∈N＋，使得n＜2x＋1
D.?x∈R，?n∈N＋，使得n＜2x＋1
答案 D
12.写出下列命题的否定：
(1)可以被5整除的数，末位是0；
(2)能被3整除的数，也能被4整除.
解 (1)命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.
(2)命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除.
创新猜想
13.(多选题)下列命题的否定是假命题的是( )
A.三角形角平分线上的点到两边的距离相等
B.所有平行四边形都不是菱形
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.3是方程x2－9＝0的一个根
解析 原命题与其命题的否定的真假性相反.
答案 CD
14.(多空题)命题“每个函数都有最大值”的否定是________，且其为________命题(填真、假).
解析 命题的量词是“每个”，即为全称量词命题，因此其否定是存在量词命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.即有些函数没有最大值，如y＝.
答案 有些函数没有最大值 真(共27张PPT)
第二课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
课标要求
素养要求
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
一位探险家被土人抓住，土人首领说：“你猜你被烧死还是被五马分尸，如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸”.
问题 请问探险家该如何保命？
提示 探险家应该说“我将被五马分尸”.
如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该被烧死；
如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五马分尸.
所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着.
1.命题的否定
当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题.
2.
对于全称量词命题p：?x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为?x∈M，x不具有性质p(x).
全称量词命题的否定是存在量词命题.
全称量词命题的否定
改量词，否定结论
3.存在量词命题的否定
对于存在量词命题p：?x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为?x∈M，x不具有性质p(x).存在量词命题的否定是全称量词命题.
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.?x∈R，x2－3x＋3>0的否定是?x?R，x2－3x＋3≤0.(
)
提示 ?x∈R，x2－3x＋3≤0.
2.?x∈R，x2≠x的否定是?x∈R，x2＝x.(
)
×
√
[微训练]
写出下列命题的否定：
(1)?x∈Q，3x2＋2x＋1∈Q；
(2)?锐角α，使sin
α＝cos
α；
(3)所有的矩形都是平行四边形；
(4)?x>1，使x2－2x－3＝0.
答案 (1)?x∈Q，3x2＋2x＋1?Q.
(2)?锐角α，sin
α≠cos
α.
(3)存在一个矩形不是平行四边形.
(4)?x>1，x2－2x－3≠0.
[微思考]
全称量词命题的否定有什么特点？存在量词命题的否定有什么特点？
提示 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.
方法步骤：改量词，否定结论.
题型一 全称量词命题的否定
【例1】 写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解.
解 (1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)其否定为：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数.
(3)其否定为：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
规律方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
【训练1】 命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A.?x∈R，?n∈N
，使得nB.?x∈R，?n∈N
，使得nC.?x∈R，?n∈N
，使得nD.?x∈R，?n∈N
，使得n解析 原命题是全称量词命题，条件为?x∈R，结论为?n∈N
，使得n≥x2，其否定形式为存在量词命题，条件中改量词，并否定结论，只有D选项符合.
答案 D
题型二 存在量词命题的否定
【例2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形.
解 (1)p的否定：?x>1，x2－2x－3≠0.(假).
(2)p的否定：所有的素数都不是奇数.(假).
(3)p的否定：所有的平行四边形都是矩形.(假).
规律方法 存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论.
【训练2】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
解 (1)命题的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.
题型三 存在量词命题、全称量词命题的综合应用
【例3】 已知函数y＝x2－2x＋5.
解 (1)不等式m＋y>0可化为m>－y，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可.
故存在实数m，使不等式m＋y>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
又y＝(x－1)2＋4，
∴ymin＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
规律方法 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>y恒成立，只要a>ymax；若存在一个实数x0，使a>y成立，只需a>ymin.
【训练3】 已知y＝3ax2＋6x－1(a∈R).
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有y≤0；
(2)方程y＝4x有两个不相等的正实数根，求a的取值范围.
(1)证明 当a＝－3时，y＝－9x2＋6x－1＝－(9x2－6x＋1)＝－(3x－1)2≤0，
∴对任意x∈R，都有y≤0.
(2)解 由y＝4x得3ax2＋2x－1＝0，
一、素养落地
1.通过学习全称量词命题、存在量词命题的否定的概念，提升数学抽象素养，通过存在量词命题、全称量词命题否定的综合应用培养逻辑推理素养.
2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题.
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.
3.命题与其否定的真假性相反.
二、素养训练
1.下列命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
答案 D
2.命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是( )
A.不存在x∈R，2x>0
B.存在x0∈R，2x0≥0
C.对任意的x∈R，2x≤0
D.对任意的x∈R，2x>0
解析 存在量词命题的否定是全称量词命题.
答案 D
3.命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A.对任意实数x，都有x>1
B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x，都有x≤1
D.存在实数x，使x≤1
解析 利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.
答案 C
4.命题“?x∈R，x2＋2x＋3＞0”的否定是________.
答案 ?x∈R，x2＋2x＋3≤02.2 全称量词与存在量词
第一课时 全称量词命题与存在量词命题
课标要求
素养要求
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.
用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，从而提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现：
任何一个大于6的偶数都可以表示成两个质数之和.
任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和.
这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意，哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”.
中国数学家陈景润于1966年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”，通常这个结果表示为“1＋2”这是目前这个问题的最佳结果.
问题 “任何充分大的……”中，“任何”是哪种量词？你还能说出几个这种量词吗？
提示 全称量词 所有的，每一个.
1.全称量词命题与全称量词
在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“?”表示，读作“对任意的”.
2.存在量词命题与存在量词
在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“?”表示，读作“存在”.
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.“所有的素数都是奇数”是全称量词命题.(√)
2.“在实数集内，有些一元二次方程无解”是存在量词命题.(√)
3.“至少有一个三角形没有外接圆”是全称量词命题.(×)
提示 含有“至少有一个”，为存在量词.
[微训练]
指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
(1)?x∈N，2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使＝0；
(3)能被5整除的整数末位数是0.
答案 (1)是全称量词命题.因为?x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.
(2)是存在量词命题.因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题.
(3)是全称量词命题.因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题.
[微思考]
“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式.
提示 是存在量词命题，可改写成“存在x0∈R，使ax＋2x0＋1＝0.”
题型一 全称量词命题与存在量词命题的识别
【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2
α＋cos2
α＝1.
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
规律方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
【训练1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
解 (1)全称量词命题.表示为?n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题.?一次函数，它的图象过原点.
(3)全称量词命题.?二次函数，它的图象的开口都向上.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【例2】 判断下列命题的真假：
(1)所有的素数都是奇数；
(2)?x∈R，x2＋1≥1；
(3)对每一个无理数x，x2也是无理数；
(4)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
解 (1)2是素数，但2不是奇数.
所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.
所以全称量词命题“?x∈R，x2＋1≥1”是真命题.
(3)是无理数，但()2＝2是有理数.
所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题.
(4)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
规律方法 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x0，使p(x0)不成立即可.
【训练2】 判断下列命题的真假：
(1)有一些二次函数的图象过原点；
(2)?x0∈R，2x＋x0＋1<0；
(3)?x0∈R，x>0.
解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
∵2x＋x0＋1＝2＋≥>0，
∴不存在x0∈R，使2x＋x0＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
x0＝0时，x＝0，故该命题是假命题.
题型三 依据含量词命题的真假求参数取值范围
【例3】 已知命题p：?x∈R，a＋x2－1≥0是真命题，求实数a的取值范围.
解 由题意a≥－x2＋1恒成立，∵－x2＋1≤1，∴a≥1.
即实数a的取值范围为[1，＋∞).
规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
【训练3】 若?x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解 当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，
所以此时a∈R；
当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的等价条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的等价条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0，a∈[－1，1].
一、素养落地
1.通过学习全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.
2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
二、素养训练
1.下列存在量词命题是假命题的是( )
A.存在x∈Q，使2x－x3＝0
B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立.
答案 B
2.给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数.下列说法正确的是( )
A.四个命题都是真命题
B.①②是全称量词命题
C.②③是存在量词命题
D.四个命题中有两个是假命题
解析 ①④为全称量词命题；②③为存在量词命题；①②③为真命题；④为假命题.
答案 C
3.判断下列命题的真假：
①?x∈R，都有|x|＝x；
②?x∈R，都有＝x；
③任意一元二次方程都有实数解；
④凡是x<2，都有x<1(x∈R).
解 ①当x＝－1时，|x|＝1，等式不成立，故为假命题.
②当x＝－1时，＝1，等式不成立，故为假命题.
③方程x2＋2x＋2＝0无实数解，故为假命题.
④令x＝1.5，则x<2，但x>1，故为假命题.
4.用符号“?”表示下列存在量词命题：
(1)存在一个实数对(x0，y0)，使2x0＋3y0＋3<0成立；
(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(3)某个四边形不是平行四边形.
解 (1)?(x0，y0)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x0＋3y0＋3<0.
(2)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
(3)?x∈{x|x是四边形}，x不是平行四边形.
基础达标
一、选择题
1.下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何一个数除0，都等于0.
其中全称量词命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 命题①②④都是全称量词命题.
答案 C
2.下列命题中存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.
答案 B
3.若“?x∈R，x2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A.[0，＋∞)
B.(0，＋∞)
C.(－∞，0]
D.(－∞，0)
解析 由于“?x∈R，x2＝m”是真命题，则实数m的取值集合就是函数y＝x2的函数值的集合，即{m|m≥0}.
答案 A
4.下面四个命题：
①?x∈R，x2－2x＋3＞0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；
③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R，4x2>2x－1＋3x2.
其中真命题的个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
解析 x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，∴①为真命题.
∵当且仅当x＝±时，x2＝2，∴②为假命题.
对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.
∴②③④均为假命题.
答案 C
5.下列全称量词命题中真命题的个数为( )
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①②③为真命题.
答案 C
二、填空题
6.给出下列四个命题：
①?x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；
③?x，y∈R，x2＋y2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.
其中全称量词命题是________(填序号).
解析 ②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”.
答案 ①②④
7.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
答案 (－∞，3]
8.下列命题中，是全称量词命题的有________(填序号).
①有的实数是整数；②三角形是多边形；③矩形的对角线互相垂直；④?x∈R，x2＋2＞0；⑤有些素数是奇数.
答案 ②③④
三、解答题
9.试判断下列全称量词命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2>0；
(2)?x∈N，x4≥1；
(3)对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
解 (1)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“?x∈R，x2＋2>0”是真命题.
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题.
(3)当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.
10.试判断下列全称量词命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋1≥2；
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；
(3)每个二次函数都有最小值.
解 (1)由于?x∈R，都有x2≥0，
因而有x2＋1≥1，所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题.
(2)与x轴平行且不重合的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题.
(3)对于y＝ax2＋bx＋c，当a<0时函数有最大值无最小值，所以“每个二次函数都有最小值”是假命题.
能力提升
11.“a2＋b2≠0”的含义是( )
A.a，b不全为0
B.a，b全不为0
C.a，b至少有一个为0
D.a为0且b不为0或b为0且a不为0
解析 “a2＋b2≠0”即任意a，b∈R，a＝0和b＝0不同时成立，即a，b不全为0，因此选A.
答案 A
12.判断下列语句是不是命题，如果是，说明其真假：
(1)奇数不能被2整除；
(2)实数的平方是正数；
(3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.
解 (1)(2)(3)(4)都是陈述句，且能判断真假，因此都是命题.
(1)是真命题.因为奇数是不能被2整除的整数.
(2)是假命题.反例：0的平方还是0，不是正数.
(3)是真命题.由(a－1)2＋(b－1)2＝0可得a－1＝0且b－1＝0，则a＝b＝1.
(4)是假命题.反例：y＝4，x＝3也满足y＝x＋1.
创新猜想
13.(多选题)给出下列命题，其中是真命题的是( )
A.对任意的x∈R，x2＞1
B.存在x∈R，使得x2≤x成立
C.对于集合A、B，若x∈A∩B，则x∈A且x∈B
D.梯形的对角线相等
解析 对于A，x＝0不成立，A错误；B、C成立，对于D，等腰梯形的对角线相等，D错误.故答案为BC.
答案 BC
14.(多空题)命题p：?x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”).
答案 存在量词命题 假(共26张PPT)
2.2 全称量词与存在量词
第一课时 全称量词命题与存在量词命题
课标要求
素养要求
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.
用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，从而提升数学抽象、逻辑推理素养.
新知探究
哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现：
任何一个大于6的偶数都可以表示成两个质数之和.
任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和.
这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意，哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”.
中国数学家陈景润于1966年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”，通常这个结果表示为“1＋2”这是目前这个问题的最佳结果.
问题 “任何充分大的……”中，“任何”是哪种量词？你还能说出几个这种量词吗？
提示 全称量词 所有的，每一个.
1.全称量词命题与全称量词
在给定集合中，断言所有元素都具有____________的命题叫作全称量词命题.在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“_____”表示，读作“对任意的”.
2.存在量词命题与存在量词
在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作__________命题.在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“_____”表示，读作“存在”.
同一种性质
?
存在量词
?
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.“所有的素数都是奇数”是全称量词命题.(
)
2.“在实数集内，有些一元二次方程无解”是存在量词命题.(
)
3.“至少有一个三角形没有外接圆”是全称量词命题.(
)
提示 含有“至少有一个”，为存在量词.
√
√
×
[微训练]
[微思考]
“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式.
题型一 全称量词命题与存在量词命题的识别
【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的速度方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2
α＋cos2
α＝1.
解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
规律方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
【训练1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
解 (1)全称量词命题.表示为?n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题.?一次函数，它的图象过原点.
(3)全称量词命题.?二次函数，它的图象的开口都向上.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【例2】 判断下列命题的真假：
(1)所有的素数都是奇数；
(2)?x∈R，x2＋1≥1；
(3)对每一个无理数x，x2也是无理数；
(4)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.
解 (1)2是素数，但2不是奇数.
所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.
所以全称量词命题“?x∈R，x2＋1≥1”是真命题.
所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题.
(4)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
规律方法 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x0，使p(x0)不成立即可.
【训练2】 判断下列命题的真假：
解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
题型三 依据含量词命题的真假求参数取值范围
【例3】 已知命题p：?x∈R，a＋x2－1≥0是真命题，求实数a的取值范围.
解 由题意a≥－x2＋1恒成立，∵－x2＋1≤1，∴a≥1.
即实数a的取值范围为[1，＋∞).
规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
【训练3】 若?x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解 当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，
所以此时a∈R；
当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的等价条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的等价条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0，a∈[－1，1].
一、素养落地
1.通过学习全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.
2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.
4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
二、素养训练
1.下列存在量词命题是假命题的是( )
A.存在x∈Q，使2x－x3＝0
B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
答案 B
2.给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数.下列说法正确的是( )
A.四个命题都是真命题
B.①②是全称量词命题
C.②③是存在量词命题
D.四个命题中有两个是假命题
解析 ①④为全称量词命题；②③为存在量词命题；①②③为真命题；④为假命题.
答案 C
3.判断下列命题的真假：
解 ①当x＝－1时，|x|＝1，等式不成立，故为假命题.
③方程x2＋2x＋2＝0无实数解，故为假命题.
④令x＝1.5，则x<2，但x>1，故为假命题.
4.用符号“?”表示下列存在量词命题：
(1)存在一个实数对(x0，y0)，使2x0＋3y0＋3<0成立；
(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(3)某个四边形不是平行四边形.
解 (1)?(x0，y0)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x0＋3y0＋3<0.
(2)?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.
(3)?x∈{x|x是四边形}，x不是平行四边形.