(共35张PPT)
§3 不等式
3.1 不等式的性质
课标要求
素养要求
1.等式与不等式的性质.
2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
3.体会不等式的性质在比较大小、放缩法中的作用.
通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异，重点提升数学抽象、数学运算素养.
新知探究
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2
000本.
问题 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
1.不等关系与不等式
(1)在生活中，存在形形色色的数量关系，既有相等关系，又有不等关系，在数学中用不等式表示不等关系.
(2)我们经常应用不等式来研究含有不等关系的问题.常用的不等号有
大于
小于
大于等于
小于等于
至多
至少
不少于
不多于
＞
＜
≥
≤
≤
≥
≥
≤
(3)作差法比较两实数(代数式)大小
依据
如果a－b＞0，那么______，
如果a－b＜0，那么______，
如果a－b＝0，那么______
结论
确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系
a＞b
a＜b
a＝b
2.
可用于比较大小、放缩法及不等式的变形中
不等式的性质
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.不等式x≥3的含义是指x不小于3.(
)
2.若a
)
3.若a>b，则ac>bc一定成立.(
)
4.若ac2>bc2，则a>b.(
)
√
√
×
√
[微训练]
1.若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是( )
A.a－b>d－c
B.a＋d>b＋c
C.a－c>b－c
D.a－c答案 B
2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是________.
答案 a>－b>b>－a
[微思考]
1.关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？
提示 (1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错误的，故(1)错误.
(3)中对n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，则3－1>2－1，显然错误，故(3)错误.
(4)正确.
提示 这位同学的解法是错误的.错解是因为忽视了不等式自身的隐含条件β<α?α－β>0而导致扩大了取值范围.正解解法为：
又∵β<α，∴α－β>0，
题型一 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.
……
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……
设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.
解 由题意可获取以下主要信息：
(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；
文字表述
身高在1.2～1.5米
身高超过1.5米
身高不足1.2米
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
?
?
?
?
(2)题中要求用不等式表示不等关系.解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示.
身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5，
身高超过1.5米可表示为h＞1.5，
身高不足1.2米可表示为h＜1.2，
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：
文字表述
身高在1.2～1.5米
身高超过1.5米
身高不足1.2米
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
1.2≤h≤1.5
h＞1.5
h＜1.2
P≤160
规律方法 1.将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言
大于，高于，超过
小于，低于，少于
大于等于，至少，不低于
小于等于，至多，不超过
符号语言
＞
＜
≥
≤
【训练1】 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1
000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式.
解 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
题型二 实数(式)的比较大小
角度1 作差法比较两个实数大小
角度2 作商法比较大小
规律方法 1.作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤
第一步：作差并变形，其目标是应容易判断差的符号.
变形有两种情形：
(1)将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.
(2)将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.
第二步：判断差值与零的大小关系.
第三步：得出结论.
2.作商法比较大小的步骤
(1)作商变形；
(2)与1比较大小；
(3)得出结论.
【训练2】 已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 ∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
题型三 不等式的性质及其应用
答案 C
规律方法 不等式的性质常与比较大小和不等式的证明等问题结合起来考查，此类题目一般可以结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以利用特殊值求解.
证明 (1)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.
又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
又a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，
一、素养落地
1.通过本节内容的学习，重点培养学生的数学抽象素养，提高学生的数学运算素养.
2.比较大小：①当比较多项式大小时，作差比较；②当比较幂的大小时，作商比较.
3.注意不等式性质的单向性或双向性.
二、素养训练
解析 当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x＞100.
答案 C
2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A.a－b>0
B.a3＋b3>0
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析 本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.
答案 D
证明 ∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b).§3 不等式
3.1 不等式的性质
课标要求
素养要求
1.等式与不等式的性质.2.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.3.体会不等式的性质在比较大小、放缩法中的作用.
通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异，重点提升数学抽象、数学运算素养.
新知探究
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2
000本.
问题 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
提示 若杂志的定价为x元，则销售的总收入为x万元.那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式
x≥20.
1.不等关系与不等式
(1)在生活中，存在形形色色的数量关系，既有相等关系，又有不等关系，在数学中用不等式表示不等关系.
(2)我们经常应用不等式来研究含有不等关系的问题.常用的不等号有
大于
小于
大于等于
小于等于
至多
至少
不少于
不多于
＞
＜
≥
≤
≤
≥
≥
≤
(3)作差法比较两实数(代数式)大小
依据
如果a－b＞0，那么a＞b，如果a－b＜0，那么a＜b，如果a－b＝0，那么a＝b
结论
确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系
2.不等式的性质
可用于比较大小、放缩法及不等式的变形中
性质
别名
性质内容
注意
1
传递性
?a>c
2
可加性
a＞b?a＋c＞b＋c
可逆
3
可乘性
?ac＞bc
c的符号
?ac＜bc
4
同向可加性
?a＋c＞b＋d
同向
5
同向同号可乘性
?ac＞bd?ac同向
6
可乘方性
a＞b＞0?an＞bn(n∈N
，n≥2)
同正
7
可开方性
a＞b＞0?＞(n∈N
，n≥2)
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.不等式x≥3的含义是指x不小于3.(√)
2.若a3.若a>b，则ac>bc一定成立.(×)
4.若ac2>bc2，则a>b.(√)
[微训练]
1.若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是( )
A.a－b>d－c
B.a＋d>b＋c
C.a－c>b－c
D.a－c答案 B
2.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是________.
答案 a>－b>b>－a
[微思考]
1.关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？
(1)a>b且c>d，则a－c>b－d.
(2)a>b>0且c>d>0，则>.
(3)a>b>0，则an>bn.
(4)a>b，则>.
提示 (1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错误的，故(1)错误.
(2)中例如5>3且4>1，则>是错误的，故(2)错误.
(3)中对n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，则3－1>2－1，显然错误，故(3)错误.
(4)正确.
2.已知－<β<α<，求2α－β的取值范围.
下面是某位同学的解题过程，你认为他的解法是正确的吗？请说明理由.
解：∵－<α<，－<β<，
∴－<－β<，∴－π<α－β<π，
∴－<2α－β<.
提示 这位同学的解法是错误的.错解是因为忽视了不等式自身的隐含条件β<α?α－β>0而导致扩大了取值范围.正解解法为：
∵－<α<，－<β<，
∴－<－β<.∴－π<α－β<π.
又∵β<α，∴α－β>0，
∴0<α－β<π，∴－<2α－β<π.
题型一 用不等式(组)表示不等关系
【例1】 《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.
……
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……
设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.
文字表述
身高在1.2～1.5米
身高超过1.5米
身高不足1.2米
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
解 由题意可获取以下主要信息：
(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；
(2)题中要求用不等式表示不等关系.解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示.
身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5，
身高超过1.5米可表示为h＞1.5，
身高不足1.2米可表示为h＜1.2，
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：
文字表述
身高在1.2～1.5米
身高超过1.5米
身高不足1.2米
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
1.2≤h≤1.5
h＞1.5
h＜1.2
P≤160
规律方法 1.将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言
大于，高于，超过
小于，低于，少于
大于等于，至少，不低于
小于等于，至多，不超过
符号语言
＞
＜
≥
≤
【训练1】 某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1
000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式.
解 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
即
题型二 实数(式)的比较大小
角度1 作差法比较两个实数大小
【例2－1】 已知a＞0，试比较a与的大小.
解 因为a－＝＝，a＞0，
所以当a＞1时，＞0，有a＞；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0＜a＜1时，＜0，有a＜.
综上，当a＞1时，a＞；
当a＝1时，a＝；当0＜a＜1时，a＜.
角度2 作商法比较大小
【例2－2】 已知a＞b＞0，试比较与的大小.
解 ∵a＞b＞0，∴＞0，＞0.
作商得·＝＝＝1＋＞1.
∴＞.
规律方法 1.作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤
第一步：作差并变形，其目标是应容易判断差的符号.
变形有两种情形：
(1)将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.
(2)将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.
第二步：判断差值与零的大小关系.
第三步：得出结论.
2.作商法比较大小的步骤
(1)作商变形；
(2)与1比较大小；
(3)得出结论.
【训练2】 已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 ∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
∵＋>0，x－1<0，
∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x.
题型三 不等式的性质及其应用
【例3】 若＜＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|，②a＜b，③a＋b＜ab，④a3＞b3，则不正确的不等式的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 由＜＜0可得b＜a＜0，从而|a|＜|b|，①②均不正确；a＋b＜0，ab＞0，则a＋b＜ab成立，③正确；a3＞b3，④正确.故不正确的不等式的个数为2.
答案 C
规律方法 不等式的性质常与比较大小和不等式的证明等问题结合起来考查，此类题目一般可以结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以利用特殊值求解.
【训练3】 (1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc；
(2)已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
证明 (1)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.
又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
又a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，
即a－c＞b－d＞0，∴0＜＜，
又e＜0，∴＞.
一、素养落地
1.通过本节内容的学习，重点培养学生的数学抽象素养，提高学生的数学运算素养.
2.比较大小：①当比较多项式大小时，作差比较；②当比较幂的大小时，作商比较.
3.注意不等式性质的单向性或双向性.
二、素养训练
1.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为( )
A.4×2x≥100
B.4×2x≤100
C.4×2x＞100
D.4×2x＜100
解析 当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x＞100.
答案 C
2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A.a－b>0
B.a3＋b3>0
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析 本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.若x∈R，则与的大小关系为________.
解析 －＝＝≤0.
∴≤.
答案 ≤
4.若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
证明 ∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b).
又bd＞0，两边同除以bd得≤.
基础达标
一、选择题
1.设xA.x2B.x2>ax>a2
C.x2D.x2>a2>ax
解析 ∵xa2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.
答案 B
2.已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是( )
A.a＞＞
B.＞＞a
C.＞a＞
D.＞＞a
解析 由题意知＞0，b2＞1，则＞a.且＜0，所以＞＞a.
答案 D
3.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是( )
A.
B.
C.
D.
解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”，∴x≥95，y＞380，z＞45.
答案 D
4.下列命题中一定正确的是( )
A.若a＞b，且＞，则a＞0，b＜0
B.若a＞b，b≠0，则＞1
C.若a＞b，且a＋c＞b＋d，则c＞d
D.若a＞b，且ac＞bd，则c＞d
解析 对于A，∵＞，∴＞0，
又a＞b，∴b－a＜0，∴ab＜0，
∴a＞0，b＜0，故A正确；
对于B，当a＞0，b＜0时，有＜1，故B错；
对于C，当a＝10，b＝2时，有10＋1＞2＋3，但1＜3，
故C错；
对于D，当a＝－1，b＝－2时，有(－1)×(－1)＞(－2)×3，但－1＜3，故D错.
答案 A
5.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室( )
A.甲
B.乙
C.同时到达
D.无法判断
解析 设寝室到教室的路程为s，步行速度v1，跑步速度v2，则
甲用时t1＝＋，乙用时t2＝，
t1－t2＝＋－＝s
＝·s＝＞0，
∴甲用时多.
答案 B
二、填空题
6.给出下列命题：①a＞b?ac2＞bc2；②a＞|b|?a2＞b2；③a＞b?a3＞b3；④|a|＞b?a2＞b2.其中正确的命题序号是________.
解析 ①当c2＝0时不成立；②一定成立；
③当a＞b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·＞0成立；
④当b＜0时，不一定成立.如：|2|＞－3，但22＜(－3)2.
答案 ②③
7.设a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小顺序是________.
解析 ∵a＞b＞c＞0，
∴y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2ac－2bc
＝2c(a－b)>0，
∴y2>x2，即y>x.
同理可得z>y，故z>y>x.
答案 z>y>x
8.一辆汽车原来每天行驶x
km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19
km，那么在8天内它的行程就超过2
200
km，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12
km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为______________.
解析 由题意知，汽车原来每天行驶x
km，8天内它的行程超过2
200
km，则8(x＋19)＞2
200.若每天行驶的路程比原来少12
km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即＞9.
答案 8(x＋19)＞2
200 ＞9
三、解答题
9.已知甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如下表：
甲
乙
丙
维生素A(单位/kg)
600
700
400
维生素B(单位/kg)
800
400
500
成本(元/kg)
11
9
4
若用甲、乙、丙三种食物各x
kg、y
kg、z
kg配成100
kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56
000单位维生素A和63
000单位维生素B.
试用x，y表示混合食物成本c元，并写出x，y所满足的不等关系.
解 依题意得c＝11x＋9y＋4z，
又x＋y＋z＝100，∴c＝400＋7x＋5y，
由
及z＝100－x－y，得
∴x，y所满足的不等关系为
10.设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小.
解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号.
能力提升
11.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
解析 M－N＝x2＋x＋1＝＋＞0.
∴M＞N.
答案 A
12.已知1(1)2a＋b；(2)a－b；(3).
解 (1)因为1又3(2)因为3又1(3)因为3又1创新猜想
13.(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为( )
A.若a＞b，则ac＜bc
B.若ac2＞bc2，则a＞b
C.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D.若c＞a＞b＞0，则＞
解析 当c＝0时，A错误；若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b，∴B正确；若a＜b＜0，则a2＞ab且ab＞b2，即a2＞ab＞b2，∴C正确；若c＞a＞b＞0，则0＜＜，则＞，故D正确.故选B、C、D.
答案 BCD
14.(多选题)下列四个条件中，能推出＜成立的有( )
A.b＞0＞a
B.0＞a＞b
C.a＞0＞b
D.a＞b＞0
解析 由a＞b＞0，ab＞0可得＜，D正确；∵0＞a＞b，∴a－b＞0，ab＞0，∴＞0，∴－＞0，∴＞，∴B正确；又正数大于负数，A正确；C错误.
答案 ABD