第二课时 基本不等式(二)
课标要求
素养要求
1.掌握基本不等式≤(a，b>0).结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.2.遇到两代数的积或和，能想到利用基本不等式求最值.
通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理素养.
新知探究
如图，用一段长为24
m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
问题 1.两个正数的积为常数P时，它们的和有最小值吗？两个正数的和为常数S时，它们的积有最大值吗？
2.上述规律可归纳为口诀：__________________________________________.
提示 1.(1)已知x，y都是正数，如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值
S2.
2.积定和最小，和定积最大
1.由公式a2＋b2≥2ab和≥可得出以下结论：
(1)＋≥2(a，b同号)，＋≤－2(a，b异号)；
(2)a＋≥2(a>0)，a＋≤－2(a<0)；
(3)≤≤≤(a，b∈(0，＋∞))；
运用基本不等式时，要根据所给代数式的形式合理选择，①如出现两数平方和与两数积，则选择a2＋b2≥2ab；②如出现两数平方和与两数和，则选择≥等等
(4)＋≥(a，b∈(0，＋∞))；
(5)≥2a－b(a，b∈(0，＋∞))；
(6)2(a2＋b2)≥(a＋b)2；
(7)≥－1(b≠0).
2.当x，y均为正数时，下面命题均成立.
(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值；
(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2.
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.函数y＝x2＋的最小值为2－1.(√)
2.不等式＋≥2成立的条件是x>0且y>0.(×)
3.若x>0，y>0，且x＋y＝2，则2xy的最大值为1.(×)
提示 2.成立条件为xy>0.3.x>0，y>0，∴2＝x＋y≥2，∴xy≤1，∴2xy≤2，最大值为2.
[微思考]
已知x，y为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值.
下面是某同学的解题过程：
解：因为x>0，y>0，所以1＝＋≥2×＝，所以≥4.从而x＋y≥2≥2×4＝8.故x＋y的最小值为8.
请分析上面解法是否正确，并说明理由.
提示 这位同学的解法是错误的.理由如下：
上述解法中连续使用两次均值不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当＝＝，即x＝2，y＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x＝y时，等号成立，因此x＋y不能等于8.
正解 x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋4＝＋＋5≥2·＋5＝9，
当且仅当即x＝3，y＝6时，等号成立.
故x＋y的最小值为9.
题型一 利用基本不等式求最值
【例1】 (1)若x＜0，求y＝＋3x的最大值；
(2)若x＞2，求y＝＋x的最小值；
(3)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值；
(4)已知x＞1，求函数y＝的最小值.
解 (1)因为x＜0，所以y＝－≤－2＝
－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以y的最大值为－12.
(2)因为x＞2，所以x－2＞0，y＝＋x－2＋2≥
2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，所以y的最小值为4.
(3)因为0＜x＜所以1－2x＞0，y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，所以y的最大值为.
(4)因为x＞1，所以x－1＞0.设t＝x－1(t＞0)，则x＝t＋1，所以y＝＝＝t＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当t＝，即t＝，x＝＋1时等号成立，所以y的最小值为2＋2.
规律方法 在具体问题中，“正数”条件一般由已知条件容易获得，“相等”条件也易验证确定，而获得“定值”条件往往被设计为一个难点，它需要一定的变形能力，因此，“定值”条件是运用基本不等式求最值的关键，解题时应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，否则也不能求出最值.
【训练1】 (1)已知x>2，求x＋的最小值；
(2)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值；
(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.
解 (1)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立.
∴x＋的最小值为6.
(2)法一 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号.
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
法二 由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值).
由＋＝1可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10
≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
(3)法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立.
∴x＋y的最小值是18.
法二 由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立.
∴x＋y的最小值是18.
题型二 利用基本不等式变形求最值
【例2】 (1)已知2a＋b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值是( )
A.2
B.3－2
C.3＋2
D.3＋
(2)已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值是( )
A.3＋2
B.3－2
C.6－4
D.6＋4
解析 (1)＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.当且仅当＝，又2a＋b＝1，即a＝1－，b＝－1时，等号成立.∴＋的最小值是3＋2.
(2)＋＋＝(a＋2b＋c)
＝4＋＋＋＋＋＋
≥4＋2
＋2
＋2
＝6＋4，
当且仅当＝，＝，＝时，等号成立，
即a2＝c2＝2b2时，等号成立.
答案 (1)C (2)D
规律方法 1.注意寻求已知条件与目标函数之间的联系.
2.利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值.特别注意“1”的代换.
【训练2】 设0
A.10
B.9
C.8
D.
解析 y＝＋＝[x＋(1－x)]·＝4＋＋＋1≥5＋2＝5＋2×2＝9.当且仅当＝，即x＝时，等号成立.
∴y的最小值为9.
答案 B
题型三 基本不等式与参数的范围问题
【例3】 已知两个正数x，y满足x＋y＝1，求使不等式＋≥m恒成立的实数m的取值范围.
解 ∵＋＝(x＋y)＝5＋＋
≥5＋2＝9，
当且仅当＝，又x＋y＝1，即x＝，y＝时等号成立.
∴＋的最大值为9，∴m≤9.
规律方法 若a≤y恒成立，等价于a≤ymin；若a≥y恒成立，等价于a≥ymax.
【训练3】 已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则实数m的最大值是( )
A.10
B.9
C.8
D.7
解析 ∵a＞0，b＞0，∴＋≥等价于(2a＋b)·≥m.又(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9.当且仅当＝，即a＝b时等号成立.
∴9≥m，故m的最大值为9.
答案 B
题型四 利用基本不等式解应用题
【例4】 围建一个面积为360
m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2
m的进出口，如图.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
解 (1)设矩形的另一边长为a
m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝，
∴y＝225x＋－360(x>0).
(2)∵x>0，
∴225x＋≥2＝10
800.
∴y＝225x＋－360≥10
440.
当且仅当225x＝时，等号成立.
即当x＝24
m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10
440元.
规律方法 求实际问题中最值的一般思路
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数的关系式.
(2)把实际问题转化为函数的最大值或最小值问题.设变量时一般要把最大值或最小值的变量定义为函数.
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(4)求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性.
【训练4】 某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100
km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间.假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为
L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)
解 设总费用为y元.
由题意，得
y＝76.4×＋7.2××
＝＋2x(40≤x≤100).
因为y＝＋2x≥2＝280.
当且仅当＝2x，即x＝70时取等号.
所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70
km/h.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学运算素养及逻辑推理素养.
2.利用不等式求最值注意“和定积最大，积定和最小”及“1”的代换.
3.或型最值求法：令一次为整体进行换元，进而转化为“对勾函数”求最值；或型求最值方法：通过拆分来求最值，体现了代数式简化的原则.
4.常见误区：缺少等号成立的条件.
二、素养训练
1.下列函数中最小值为4的函数是( )
A.y＝x＋
B.y＝2t＋
C.y＝4t＋(t>0)
D.y＝t＋
解析 A中x＝－1时，y＝－5<4，B中t＝－1时，y＝－3<4，C中y＝4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时等号成立，D中t＝－1时，y＝－2<4.选C.
答案 C
2.函数y＝(x>1)在x＝t处取得最小值，则t等于( )
A.1＋
B.2
C.3
D.4
解析 y＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立.
答案 B
3.已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值是________.
解析 ∵x＞0，y＞0，∴1＝＋≥2＝，∴xy≤3，当且仅当＝，即x＝，y＝2时等号成立，所以xy有最大值为3.
答案 3
4.周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________.
解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.
答案
基础达标
一、选择题
1.已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是( )
A.18
B.16
C.8
D.10
解析 x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝12，y＝3时，等号成立.
答案 A
2.已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为( )
A.3
B.5
C.7
D.9
解析 ∵x>0，y>0，且＋＝，
∴x＋1＋y＝2(x＋1＋y)
＝2≥2＝8，
当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，
∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7.
答案 C
3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A.5千米处
B.4千米处
C.3千米处
D.2千米处
解析 设仓库与车站的距离为d千米(d＞0)，则y1＝，y2＝k2d，由题意知2＝，8＝10k2，∴k1＝20，k2＝0.8.∴y1＋y2＝＋0.8d≥2＝8，当且仅当＝0.8d，即d＝5时，等号成立.选A.
答案 A
4.设计用32
m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2
m，则车厢的最大容积是( )
A.(38－3)
m3
B.16
m3
C.4
m3
D.14
m3
解析 设车厢的长为b
m，高为a
m.由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，∴V＝a··2＝2·.
设a＋1＝t，则V＝2
≤2＝16，故选B.
答案 B
5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5
m
B.6.8
m
C.7
m
D.7.2
m
解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m).∵要求够用且浪费最少，故选C.
答案 C
二、填空题
6.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为______(m).
解析 设矩形的另一边长为y.由三角形相似得＝，其中0答案 20
7.设x>－2，则函数y＝x＋的最小值为________.
解析 ∵x>－2，∴x＋2>0，
∴x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2.
当且仅当x＋2＝，即x＝0时等号成立.
∴x＋的最小值为2.
答案 2
8.若x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则x＋2y的最小值是______.
解析 ∵x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则2y＝，则x＋2y＝x＋＝x＋2＋－3≥2－3＝3，当且仅当x＝1时取等号.因此其最小值是3.
答案 3
三、解答题
9.(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，求xy的最大值.
解 (1)当x>0时，x＋≥2＝4，
当且仅当x＝时，即x＝2时取等号.
∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.
(2)由4x2＋9y2＋3xy＝30，得2·2x·3y＋3xy≤4x2＋9y2＋3xy＝30，即15xy≤30，∴xy≤2，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时取等号，∴xy的最大值为2.
10.已知x，y都是正数.
(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
(2)若x＋2y＝3，求＋的最小值.
解 (1)∵3x＋2y＝12，
∴xy＝·3x·2y≤×＝6，
当且仅当3x＝2y＝6，即x＝2，y＝3时，等号成立.
∴xy取得最大值为6.
(2)∵x＋2y＝3，∴1＝＋，
∴＋＝＝＋＋＋
≥1＋2＝1＋，
当且仅当＝，即x＝3－3，y＝3－时取等号，
∴最小值为1＋.
能力提升
11.若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________.
解析 ∵实数x，y满足xy＋3x＝3，∴x＝∈，解得y>3.则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y＝4，x＝时取等号.
答案 8
12.某市近郊有一块500
m×500
m的正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3
000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米.
(1)分别用x表示y和S的函数关系式，并给出x的取值范围；
(2)怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值.
解 (1)由已知xy＝3
000，
所以y＝，其中x取值范围是(6，500).
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a，
又因为y＝2a＋6，所以a＝＝＝－3，
S＝(2x－10)＝3
030－，其中x取值范围是(6，500).
(2)S＝3
030－≤3
030－2＝3
030－2×300＝2
430，当且仅当＝6x，即x＝50∈(6，500)时，上述不等式等号成立，
此时，x＝50，y＝60，Smax＝2
430.
设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大，最大值为2
430平方米.
创新猜想
13.(多选题)一个矩形的周长为L，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，L)的是( )
A.(1，4)
B.(6，8)
C.(7，12)
D.
解析 设矩形的长、宽分别为a、b，由题意L＝2(a＋b)，S＝ab，∴L＝2(a＋b)≥4＝4，即L≥4，显然A、C符合，故选A，C.
答案 AC
14.(多空题)当x＞－1时，x＋(t＞0)的最小值为3，则实数t的值为________；当x＞0时，则x＋的最小值为________.
解析 当x＞－1时，x＋1＞0，则x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1，当且仅当x＋1＝时等号成立，则x＋的最小值为2－1，则有2－1＝3，解得t＝4.∵x＞0，∴x＋＞0，x＋＝x＋＝x＋＋－≥2－＝.当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立.
答案 4 3.2 基本不等式
第一课时 基本不等式(一)
课标要求
素养要求
掌握基本不等式≤(a，b≥0).结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.
新知探究
如图风车是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.
问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
提示 由图可知
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab，
②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.
均值不等式
两数(式)和与积之间的不等关系
如果a≥0，b≥0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立.
这个不等式称为基本不等式，其中，称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值，可表述为两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.若a≠0，则a＋≥2＝4.(×)
2.若a>0，b>0，则ab≤.(√)
3.若xy＝4，则x＋y的最小值为4.(×)
提示 1.当a>0时，才正确.3.当x>0，y>0时，x＋y≥2＝4.
[微训练]
已知a>0，b>0，求证≤.
证明 因为a2＋b2≥2ab，
所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
所以≥.
又因为a>0，b>0，
所以≤.
题型一 利用基本不等式比较大小
【例1】 (1)设0A.aB.a<<C.a<D.(2)某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A.x＝
B.x≤
C.x＞
D.x≥
解析 法一 (1)∵00，即>a，排除D项，故选B.
法二 取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.
(2)由题意A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤＝，∴1＋x≤1＋，∴x≤，故选B.
答案 (1)B (2)B
规律方法 利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性).
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a＞0，b＞0.
【训练1】 经计算可以发现：
＋<2，＋<2，
＋<2，….
对于任意正实数a，b，试写出一个使＋≤2成立的条件，并给出证明.
解 7＋15＝2×11，5.5＋16.5＝2×11，
3－＋19＋＝2×11，…，不难发现使＋≤2成立的条件是a＋b＝22.证明如下：
由于≤＝＝.
即＋≤2.
题型二 用基本不等式证明不等式
【例2】 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.
证明 ＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
规律方法 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
【训练2】 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，
证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
证明 (1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)
≥2·2·2＝8abc.
当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立.
题型三 基本不等式的变形应用
【例3】 (1)设a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
(2)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
①＋＋≥8；②≥9.
证明 (1)法一 ∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)
＝[2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)]
＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
法二 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
∴(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋2bc＋2ca.
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
(2)①＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).
②法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).
法二 ＝1＋＋＋.
由①知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立.
规律方法 几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
(2)＋≥2(a，b同号).
(3)ab≤(a，b∈R).
(4)≥≥≥(a，b∈R＋).
【训练3】 设a、b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.
证明 ∵a、b均为正实数，∴＋≥，
∵＋ab≥2，∴＋＋ab≥2(当且仅当a＝b时取等号).
一、素养落地
1.通过本节课的学习，进一步培养学生的数学建模素养，提升逻辑推理素养及数学运算素养.
2.注意不等式≥成立的条件(一正二定三相等).
3.当代数式含有三项或多项时，要拆分成部分能利用基本不等式的形式.
二、素养训练
1.设a>0，b>0，下列不等式中不成立的是( )
A.＋≥2
B.a2＋b2≥2ab
C.＋≥a＋b
D.＋≥2＋
解析 可采用排除法或特殊值法.(特殊值法)令a＝b＝1，则＋＝2，2＋＝3，故D不正确.
答案 D
2.若0＜a＜b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( )
A.
B.a2＋b2
C.2ab
D.a
解析 ∵0答案 B
3.下列不等式成立的是( )
A.ab≤
B.ab≥
C.a＋b≥2
D.a＋b≤2
解析 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤，故选A.
答案 A
4.若x>0，则x＋________2(填“＝”，“≥”，“≤”，“＞”，“＜”).
解析 x＞0时，x＋≥2＝2.
答案 ≥
基础达标
一、选择题
1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA.aB.v＝
C.D.v＝
解析 设甲、乙两地的距离为s，
则v＝＝.
由于aa，
又＋>2，∴v<.
故a答案 A
2.若a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A.a2＋b2≥2|ab|
B.a2＋b2＝2|ab|
C.a2＋b2≤2|ab|
D.a2＋b2＞2|ab|
解析 a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|ab|，故选A.
答案 A
3.若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是( )
A.a2＋b2＞2ab
B.a＋b≥2
C.＋＞
D.＋≥2
解析 a2＋b2≥2ab，A错误；当a＜0，b＜0时，B、C错误；故选D.
答案 D
4.给出下列条件：
①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.
其中可使＋≥2成立的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 显然①③④成立，故选C.
答案 C
5.已知a＞0，b＞0，且ab＝2，那么( )
A.a＋b≥4
B.a＋b≤4
C.a2＋b2≥4
D.a2＋b2≤4
解析 a＋b≥2＝2，∴A、B错误；a2＋b2≥2ab＝4，∴C正确；D错误；故选C.
答案 C
二、填空题
6.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________.
解析 x2＝，y2＝a＋b＝.
∵a＋b>2(a≠b)，∴x2∵x，y>0，∴x答案 x7.设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
①a2＋1＞a；②≥4；
③(a＋b)≥4；④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是________(填序号).
解析 由于a2＋1－a＝＋＞0，故①恒成立；
由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b时“＝”成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，①②③正确.
答案 ①②③
8.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是______(填序号).
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；
⑤＋≥2.
解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝2，
∴ab≤＝1，∴①恒成立；
a2＋b2≥＝2，∴③恒成立；
＋≤2＝2，∴②不恒成立；
当a＝b＝1时，a3＋b3＝2<3，∴④不恒成立；
＋＝(a＋b)＝≥2，
∴⑤恒成立.故填①③⑤.
答案 ①③⑤
三、解答题
9.设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：a＋b≥2.
证明 由a>0，b>0，则a＋b＝＋＝，由于a＋b>0，则ab＝1，即有a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b取得等号，∴a＋b≥2.
10.已知a，b∈R＋，求证：＋≥a＋b.
证明 ∵a，b>0，∴＋b≥2＝2a，＋a≥2＝2b，∴＋b＋＋a≥2a＋2b，∴＋≥a＋b；当且仅当a＝b时等号成立.
能力提升
11.已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.
证明 ∵＋≥2，∴≤，
即≤.
又∵＝≤＝，
∴≤.
故≤≤≤(当且仅当a＝b时取“＝”).
12.已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：··≥8.
证明 因为a＋b＋c＝1，a>0，b>0，c>0，
所以－1＝－1＝≥>0，
－1＝－1＝≥>0，
－1＝－1＝≥>0，
将以上三式相乘得
≥＝8，
即··≥8.
创新猜想
13.(多选题)下列四个命题中，是真命题的是( )
A.?x∈R，且x≠0，x＋≥2
B.?x∈R，使得x2＋1≤2x
C.若x＞0，y＞0，则≥
D.若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则的最大值为9
解析 对于A，当x＜0时不成立；对于B，当x＝1时成立，B正确；对于C，若x＞0，y＞0，则(x2＋y2)(x＋y)2≥2xy·4xy＝8x2y2，可化为≥，当且仅当x＝y＞0时取等号，C正确；对于D：∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝18≥2，∴≤9，D正确.故选BCD.
答案 BCD
14.(多空题)已知a，b都为正实数，且＋＝3，则ab的最小值为________；的最大值为________.
解析 因为a，b都为正实数，且＋＝3，所以3＝＋≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，所以ab≥，所以ab的最小值是.因为＋＝3，所以ab＝，所以a＝，因为a＞0，所以＞0，所以b＞，所以＝＝＝＝－＋2＋3＝－＋4≤4，所以的最大值是4.
答案 4(共28张PPT)
3.2 基本不等式
第一课时 基本不等式(一)
新知探究
如图风车是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.
问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
提示 由图可知
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab，
②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.
均值不等式
两数(式)和与积之间的不等关系
a＝b
×
√
×
[微训练]
证明 因为a2＋b2≥2ab，
所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
又因为a>0，b>0，
题型一 利用基本不等式比较大小
【例1】 (1)设0(2)某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
(2)由题意A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，
答案 (1)B (2)B
规律方法 利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性).
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a＞0，b＞0.
【训练1】 经计算可以发现：
解 7＋15＝2×11，5.5＋16.5＝2×11，
题型二 用基本不等式证明不等式
≥3＋2＋2＋2＝9.
规律方法 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
【训练2】 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，
证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
证明 (1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)
证明 (1)法一 ∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
法二 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
∴(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋2bc＋2ca.
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
②法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
二、素养训练
1.设a>0，b>0，下列不等式中不成立的是( )
答案 D
2.若0＜a＜b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( )
答案 B
3.下列不等式成立的是( )
答案 A
答案 ≥(共40张PPT)
第二课时 基本不等式(二)
新知探究
如图，用一段长为24
m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
问题 1.两个正数的积为常数P时，它们的和有最小值吗？两个正数的和为常数S时，它们的积有最大值吗？
2.上述规律可归纳为口诀：_____________________________.
2.积定和最小，和定积最大
2
2
√
×
×
[微思考]
提示 这位同学的解法是错误的.理由如下：
故x＋y的最小值为9.
题型一 利用基本不等式求最值
规律方法 在具体问题中，“正数”条件一般由已知条件容易获得，“相等”条件也易验证确定，而获得“定值”条件往往被设计为一个难点，它需要一定的变形能力，因此，“定值”条件是运用基本不等式求最值的关键，解题时应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，否则也不能求出最值.
解 (1)∵x>2，∴x－2>0，
即x＝4，y＝12时，上式取等号.
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
(3)法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∴x＋y的最小值是18.
∴x＋y的最小值是18.
即a2＝c2＝2b2时，等号成立.
答案 (1)C (2)D
规律方法 1.注意寻求已知条件与目标函数之间的联系.
2.利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值.特别注意“1”的代换.
∴y的最小值为9.
答案 B
规律方法 若a≤y恒成立，等价于a≤ymin；若a≥y恒成立，等价于a≥ymax.
∴9≥m，故m的最大值为9.
答案 B
题型四 利用基本不等式解应用题
【例4】 围建一个面积为360
m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2
m的进出口，如图.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
(2)∵x>0，
解 (1)设矩形的另一边长为a
m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
即当x＝24
m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10
440元.
规律方法 求实际问题中最值的一般思路
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数的关系式.
(2)把实际问题转化为函数的最大值或最小值问题.设变量时一般要把最大值或最小值的变量定义为函数.
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(4)求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性.
解 设总费用为y元.
由题意，得
所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70
km/h.
二、素养训练
1.下列函数中最小值为4的函数是( )
答案 C
答案 B
答案 3