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§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
课标要求
素养要求
会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
从函数的观点认识方程，感悟数学知识之间的联系，重点提升数学抽象与数学运算素养.
新知探究
如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24
m，最高点离水面8
m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系.
2.二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质
?
a>0(开口向上)
a<0(开口向下)
图象
性质
对称轴
直线________
顶点
________
x的取值范围
(－∞，＋∞)或R
y的取值范围
[k，＋∞)
(－∞，k]
函数值的变化趋势
在区间(－∞，h]上，y随x的增大而减小
在区间(－∞，h]上，y随x的增大而增大
在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而增大
在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而减小
最值
x＝h时，y有最小值，ymin＝k
x＝h时，y有最大值，ymax＝k
x＝h
(h，k)
3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.(
)
提示 交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c＝0的根.
×
×
√
√
[微训练]
(2)对称轴x＝4，在区间(－∞，4]上，函数值y随x的增大而增大；在[4，＋∞)上，y随x的增大而减小.函数值y在x＝4处取得最大值14.
[微思考]
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与x轴交点个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解有关系吗？如何判断？
提示 b2－4ac>0?方程有两个不等的解?函数图象与x轴有两个交点，b2－4ac＝0?方程有两个相等的解?函数图象与x轴有1个交点，b2－4ac<0?方程没有实数解?函数图象与x轴没有交点.
2.二次函数y＝a(x－h)2＋k图象可由y＝ax2(a≠0)图象经过怎样的变化而得到？(h>0，k>0)
提示 y＝ax2图象向右平移h个单位长度，得到y＝a(x－h)2的图象，然后整个图象再向上平移k个单位长度得到y＝a(x－h)2＋k的图象.
题型一 待定系数法求二次函数解析式
【例1】 用待定系数法求下列二次函数的解析式：
(1)已知二次函数的图象过点(－2，20)，(1，2)，(3，0)；
(2)已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，且图象过点(2，25)；
(3)已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)，且图象过点(－1，8).
解 (1)设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
将(－2，20)，(1，2)，(3，0)分别代入解析式，
∴所求二次函数的解析式为y＝x2－5x＋6.
(2)∵二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，
∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2－2(a≠0).
∵图象过点(2，25)，
∴a(2＋1)2－2＝25，解得a＝3，
∴所求二次函数的解析式为y＝3(x＋1)2－2，
即y＝3x2＋6x＋1.
(3)∵二次函数图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)，
∴设所求二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－3)(a≠0).
又∵图象过点(－1，8)，
∴8＝a(－1＋2)×(－1－3)，解得a＝－2，
∴所求二次函数的解析式为y＝－2(x＋2)(x－3)，
即y＝－2x2＋2x＋12.
规律方法 二次函数常见解析式的形式有三种：一般式、顶点式、两根式.解题时合理地选择解析式能起到事半功倍的效果.一般地，若已知函数图象经过三点，常设一般式；若题目中给出顶点坐标、最大值、对称轴等信息，常考虑顶点式；若题目中给出函数图象与x轴的交点坐标，可设两根式.
【训练1】 已知二次函数的图象过点(1，4)，且与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)，求二次函数的解析式.
解 法一 设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
将(1，4)，(－1，0)，(3，0)分别代入上式，得
∴y＝－x2＋2x＋3.
法二 设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)·(x－3)(a≠0).
将(1，4)代入上式，得a＝－1，
∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.
题型二 二次函数的增减性与最值
【例2】 (1)已知函数y＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数y的最小值.
(2)已知函数y＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式y>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)①当a＝0时，y＝－2x，在[0，1]上y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y的最小值为－2.
y＝ax2－2x的对称轴在[0，1]内，
∴y＝ax2－2x在[0，1]上y随x的增大而减小.
∴ymin＝a－2.
∴y＝ax2－2x在[0，1]上y随x的增大而减小，
∴ymin＝a－2.
(2)y>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令s＝x2－3x＋1－m，
要使s＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数s＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.
∵s＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上s随x的增大而减小，
∴smin＝－m－1.
由－m－1>0，即m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
规律方法 (1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的变化趋势及分类讨论的思想即可完成，求最值的依据是变化趋势.
(2)恒成立问题可转化为最值来解决，求最值的依据是二次函数的图象.
a≥y恒成立?a≥ymax，a≤y恒成立?a≤ymin.
【训练2】 (1)已知函数y＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值.
(2)已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时，有最大值2，求a的值.
解 (1)y＝a(x＋1)2＋1－a.
①当a＝0时，函数y在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
③当a<0时，函数y在区间[－1，2]上随着x的增大而减小，最大值为1－a＝4，解得a＝－3.
当a＞1时，当x＝1时，y有最大值为a，所以a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
(2)函数y＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.
当a＜0时，ymax＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1.
当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1，
所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，
题型三 一元二次方程根的分布
【例3】 已知一元二次方程x2＋(m＋2)x＋3＋m＝0的两个根都小于3，求参数m的取值范围.
解 法一 设方程的两个根分别为x1，x2，由韦达定理知x1＋x2＝－(m＋2)，x1x2＝3＋m，
要使方程的两个根都小于3，则需
法二 设一元二次方程为x2＋(m＋2)x＋3＋m＝0所对应的二次函数为y＝x2＋(m＋2)x＋3＋m，二次项系数a＝1，函数图象开口向上.要使得方程x2＋(m＋2)x＋3＋m＝0的2个根都小于3，也就是一元二次函数y＝x2＋(m＋2)x＋3＋m与x轴的两个交点都在3的左侧，则需
规律方法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根x1，x2(x1≠x2)的分布和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的关系如下：
【训练3】 若一元二次方程x2＋(m＋2)x＋3＋m＝0有两个根，且一根比3小，另一根比4大，求参数m的取值范围.
解 如图，要使一元二次方程x2＋(m＋2)x＋3＋m＝0有两个根，且一根比3小，另一根比4大，则需
一、素养落地
1.通过本节课的学习，培养利用数学抽象素养思考问题，提高学生数学运算素养.
2.根据所给条件选择合适的形式求二次函数解析式.
3.熟练掌握二次函数的图象和性质，关键是抓“三点一轴”.
二、素养训练
1.二次函数的三种表示方式：
(1)一般式：________________________；
(2)顶点式：____________________，顶点坐标是(h，k)；
(3)两根式：________________________，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
答案 (1)y＝ax2＋bx＋c(a≠0) (2)y＝a(x－h)2＋k(a≠0) (3)y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
2.已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，则此二次函数的表达式为________.
解析 设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8.
答案 y＝－2x2＋12x－8
3.不解方程判断下列方程的实数根的个数：
(1)2x2－3x＋1＝0；
(2)4y2＋9＝12y；
(3)5(x2＋3)－6x＝0.
解 (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×1＝1>0，∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可化为4y2－12y＋9＝0，∵Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，∴原方程有两个相等的实数根.
(3)原方程可化为5x2－6x＋15＝0，∵Δ＝(－6)2－4×5×15＝－264<0，∴原方程没有实数根.
4.试求出二次函数y＝－3x2－6x＋1的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小).
解 ∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，
∴函数图象的开口向下，
对称轴方程x＝－1，顶点坐标为(－1，4)，
当x＝－1时，ymax＝4.
在对称轴的左侧，即x<－1时，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，即x>－1时，y随着x的增大而减小.§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
课标要求
素养要求
会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
从函数的观点认识方程，感悟数学知识之间的联系，重点提升数学抽象与数学运算素养.
新知探究
如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24
m，最高点离水面8
m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系.
问题 (1)求此桥拱线所在抛物线的解析式；
(2)桥边有一浮在水面部分的高4
m，最宽处12
m的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下？说明理由.
提示 (1)观察图形及条件(主拱离水面的最大高度为8米，主拱宽为24米)，可知抛物线顶点的坐标为(0，8)，因而可设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋8，又抛物线过点(12，0)，所以有0＝a×122＋8，故a＝－，所以抛物线的关系式y＝－x2＋8.
(2)欲判断船能否开到桥下，因为河鱼餐船最宽处为12
m，船如果沿主拱中间不能通行，则其它的方式更无法开到桥下.现在我们来探究沿桥拱中央行驶的情形.
当x＝6时，代入抛物线的关系式y＝－x2＋8得y＝－(6)2＋8＝4米，所以从理论上讲，河鱼餐船刚好能驶入桥拱下纳凉.
1.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝a＋＝a(x－h)2＋k，其中，h＝－，k＝.一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，它可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.
2.二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质
a>0(开口向上)
a<0(开口向下)
图象
性质
对称轴
直线x＝h
顶点
(h，k)
x的取值范围
(－∞，＋∞)或R
y的取值范围
[k，＋∞)
(－∞，k]
函数值的变化趋势
在区间(－∞，h]上，y随x的增大而减小在区间(－∞，h]上，y随x的增大而增大
在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而增大在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而减小
最值
x＝h时，y有最小值，ymin＝k
x＝h时，y有最大值，ymax＝k
3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac
(1)当Δ>0时，方程有两个实数根x1，x2，
x1，2＝，且
(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－；
(3)当Δ<0时，方程无实数根.
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.(×)
提示 交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c＝0的根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c在上，函数值y随自变量x的增大而减小.(×)
3.y＝－(x－1)2＋3图象可由y＝－x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到.(√)
4.函数y＝－3x2＋12x－8的图象与x轴有两个交点.(√)
[微训练]
已知一元二次函数y＝－x2＋4x＋6.
(1)指出它的图象可由函数y＝－x2的图象经过怎样的变换而得到；
(2)指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值和最小值.
解 (1)配方得y＝－(x2－8x)＋6
＝－(x2－8x＋16－16)＋6
＝－(x－4)2＋14.
所以函数y＝－x2＋4x＋6的图象可以由y＝－x2图象向右平移4个单位长度，再向上平移14个单位长度而得到.
(2)对称轴x＝4，在区间(－∞，4]上，函数值y随x的增大而增大；在[4，＋∞)上，y随x的增大而减小.函数值y在x＝4处取得最大值14.
[微思考]
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与x轴交点个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解有关系吗？如何判断？
提示 b2－4ac>0?方程有两个不等的解?函数图象与x轴有两个交点，b2－4ac＝0?方程有两个相等的解?函数图象与x轴有1个交点，b2－4ac<0?方程没有实数解?函数图象与x轴没有交点.
2.二次函数y＝a(x－h)2＋k图象可由y＝ax2(a≠0)图象经过怎样的变化而得到？(h>0，k>0)
提示 y＝ax2图象向右平移h个单位长度，得到y＝a(x－h)2的图象，然后整个图象再向上平移k个单位长度得到y＝a(x－h)2＋k的图象.
题型一 待定系数法求二次函数解析式
【例1】 用待定系数法求下列二次函数的解析式：
(1)已知二次函数的图象过点(－2，20)，(1，2)，(3，0)；
(2)已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，且图象过点(2，25)；
(3)已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)，且图象过点(－1，8).
解 (1)设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
将(－2，20)，(1，2)，(3，0)分别代入解析式，
得解得
∴所求二次函数的解析式为y＝x2－5x＋6.
(2)∵二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，
∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2－2(a≠0).
∵图象过点(2，25)，
∴a(2＋1)2－2＝25，解得a＝3，
∴所求二次函数的解析式为y＝3(x＋1)2－2，
即y＝3x2＋6x＋1.
(3)∵二次函数图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)，
∴设所求二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－3)(a≠0).
又∵图象过点(－1，8)，
∴8＝a(－1＋2)×(－1－3)，解得a＝－2，
∴所求二次函数的解析式为y＝－2(x＋2)(x－3)，
即y＝－2x2＋2x＋12.
规律方法 二次函数常见解析式的形式有三种：一般式、顶点式、两根式.解题时合理地选择解析式能起到事半功倍的效果.一般地，若已知函数图象经过三点，常设一般式；若题目中给出顶点坐标、最大值、对称轴等信息，常考虑顶点式；若题目中给出函数图象与x轴的交点坐标，可设两根式.
【训练1】 已知二次函数的图象过点(1，4)，且与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)，求二次函数的解析式.
解 法一 设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
将(1，4)，(－1，0)，(3，0)分别代入上式，得
解得
∴y＝－x2＋2x＋3.
法二 设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)·(x－3)(a≠0).
将(1，4)代入上式，得a＝－1，
∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.
题型二 二次函数的增减性与最值
【例2】 (1)已知函数y＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数y的最小值.
(2)已知函数y＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式y>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)①当a＝0时，y＝－2x，在[0，1]上y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y的最小值为－2.
②当a>0时，y＝ax2－2x的图象开口向上且对称轴为x＝.
ⅰ.当0<≤1，即a≥1时，
y＝ax2－2x的对称轴在[0，1]内，
∴y＝ax2－2x在上y随x的增大而减小，在上y随x的增大而增大.
∴ymin＝－＝－.
ⅱ.当>1，即0
∴y＝ax2－2x在[0，1]上y随x的增大而减小.
∴ymin＝a－2.
③当a<0时，y＝ax2－2x的图象开口向下且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，
∴y＝ax2－2x在[0，1]上y随x的增大而减小，
∴ymin＝a－2.
综上所述，ymin＝
(2)y>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令s＝x2－3x＋1－m，
要使s＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数s＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.
∵s＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上s随x的增大而减小，
∴smin＝－m－1.
由－m－1>0，即m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
规律方法 (1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的变化趋势及分类讨论的思想即可完成，求最值的依据是变化趋势.
(2)恒成立问题可转化为最值来解决，求最值的依据是二次函数的图象.
a≥y恒成立?a≥ymax，a≤y恒成立?a≤ymin.
【训练2】 (1)已知函数y＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值.
(2)已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时，有最大值2，求a的值.
解 (1)y＝a(x＋1)2＋1－a.
①当a＝0时，函数y在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数y在区间[－1，2]上随着x的增大而增大，最大值为8a＋1＝4，解得a＝；
③当a<0时，函数y在区间[－1，2]上随着x的增大而减小，最大值为1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
(2)函数y＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.
当a＜0时，ymax＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1.
当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1，
所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，
所以a＝(舍去).
当a＞1时，当x＝1时，y有最大值为a，所以a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
题型三 一元二次方程根的分布
【例3】 已知一元二次方程x2＋(m＋2)x＋3＋m＝0的两个根都小于3，求参数m的取值范围.
解 法一 设方程的两个根分别为x1，x2，由韦达定理知x1＋x2＝－(m＋2)，x1x2＝3＋m，
要使方程的两个根都小于3，则需
即
得
将x1＋x2＝－(m＋2)，x1x2＝3＋m代入不等式组，得m≥2或－即m的取值范围为∪[2，＋∞).
法二 设一元二次方程为x2＋(m＋2)x＋3＋m＝0所对应的二次函数为y＝x2＋(m＋2)x＋3＋m，二次项系数a＝1，函数图象开口向上.要使得方程x2＋(m＋2)x＋3＋m＝0的2个根都小于3，也就是一元二次函数y＝x2＋(m＋2)x＋3＋m与x轴的两个交点都在3的左侧，则需
得
解得m≥2或－即m的取值范围为∪[2，＋∞).
规律方法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根x1，x2(x1≠x2)的分布和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的关系如下：
根值
图象
条件
x1x2x1>k
x2>k
mpmmx1ay|x＝k<0
x1【训练3】 若一元二次方程x2＋(m＋2)x＋3＋m＝0有两个根，且一根比3小，另一根比4大，求参数m的取值范围.
解 如图，要使一元二次方程x2＋(m＋2)x＋3＋m＝0有两个根，且一根比3小，另一根比4大，则需
即解得m<－.
即m的取值范围为.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，培养利用数学抽象素养思考问题，提高学生数学运算素养.
2.根据所给条件选择合适的形式求二次函数解析式.
3.熟练掌握二次函数的图象和性质，关键是抓“三点一轴”.
二、素养训练
1.二次函数的三种表示方式：
(1)一般式：________________________；
(2)顶点式：____________________，顶点坐标是(h，k)；
(3)两根式：________________________，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
答案 (1)y＝ax2＋bx＋c(a≠0) (2)y＝a(x－h)2＋k(a≠0) (3)y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
2.已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，则此二次函数的表达式为________.
解析 设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由条件得解得
所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8.
答案 y＝－2x2＋12x－8
3.不解方程判断下列方程的实数根的个数：
(1)2x2－3x＋1＝0；
(2)4y2＋9＝12y；
(3)5(x2＋3)－6x＝0.
解 (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×1＝1>0，∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可化为4y2－12y＋9＝0，∵Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，∴原方程有两个相等的实数根.
(3)原方程可化为5x2－6x＋15＝0，∵Δ＝(－6)2－4×5×15＝－264<0，∴原方程没有实数根.
4.试求出二次函数y＝－3x2－6x＋1的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小).
解 ∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，
∴函数图象的开口向下，
对称轴方程x＝－1，顶点坐标为(－1，4)，
当x＝－1时，ymax＝4.
在对称轴的左侧，即x<－1时，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，即x>－1时，y随着x的增大而减小.
基础达标
一、选择题
1.已知a≠0，b<0，则一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2在同一坐标系下的图象可能是( )
解析 由于b<0，排除B、D；A中，抛物线开口向下，∴a<0，而直线中的a>0，从而排除A.故选C.
答案 C
2.函数y＝3＋2x－x2(0≤x≤3)的最小值为( )
A.－1
B.0
C.3
D.4
解析 ∵y＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4，
∴函数在[0，1]上y随着x的增大而增大，在[1，3]上y随着x的增大而减小，
∴y＝3＋2x－x2(0≤x≤3)的最小值为y＝3＋2×3－32＝0.
答案 B
3.若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为( )
A.－3
B.3
C.－2
D.2
解析 因为抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点的横坐标为－＝＝0，故m＝2.
答案 D
4.若方程5x2－bx＋c＝0的根为－1，3，则b＋c的值为( )
A.5
B.－5
C.－25
D.10
解析 由题意得
∴∴b＋c＝－5，故选B.
答案 B
5.已知一元二次函数y＝x2＋2x＋5，它的图象可以由函数y＝x2的图象经过怎样的变换得到( )
A.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
解析 y＝x2＋2x＋5＝(x＋2)2＋3，显然C正确.
答案 C
二、填空题
6.已知m∈Z，一元二次方程x2＋mx＋3＝0有两个实数根x1，x2，且0解析 因为一元二次方程x2＋mx＋3＝0有两个实数根x1，x2，且0所以二次方程x2＋mx＋3＝0分别在(0，2)和(2，4)内各有一个根.
∴
所以即－因为m∈Z，所以m＝－4.
答案 －4
7.已知关于x的二次方程(m－2)x2＋3mx＋1＝0的两个根分别属于(－1，0)和(0，2)，则m的取值范围为________.
解析 因为二次方程(m－2)x2＋3mx＋1＝0的两个根分别属于(－1，0)和(0，2)，
当m－2＞0即m＞2时，
不等式组无解.
当m－2＜0，即m＜2时.
解得－＜m＜.
答案
8.关于x的一元二次方程5x2－ax－1＝0有两个不同的实根，一根位于区间(－1，0)内，另一根位于区间(1，2)内，则实数a的取值范围为________.
解析 设y＝5x2－ax－1，依题意得
解得4答案
三、解答题
9.如果方程(1－m2)x2＋2mx－1＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，求实数m的取值范围.
解 令y＝(1－m2)x2＋2mx－1，根据题设条件，图象的开口方向可能向上或向下，如图(1)(2)所示，
当图象开口向上时，∴－1开口向下的图象不满足题意，∴－1即m的取值范围为(－1，0).
10.已知方程x2－(2k－1)x－k＋1＝0.
(1)当k为何值时，方程有一根为正、一根为负？
(2)当k为何值时，方程两根都为正数？
(3)当k为何值时，方程一根大于1，一根小于1?
解 设方程的两根为x1，x2.
(1)由题意得
解得k>1.
所以k的取值范围为(1，＋∞).
(2)由题意得
解得≤k<1.
所以k的取值范围为.
(3)由题意得(x1－1)(x2－1)<0，
即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
由根与系数的关系得(－k＋1)－(2k－1)＋1<0，
所以k>1.
所以k的取值范围为(1，＋∞).
能力提升
11.已知函数y＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是( )
A.[1，2]
B.(0，1]
C.(0，2]
D.[1，＋∞)
解析 作出函数的图象如图所示，
从图中可以看出当1≤m≤2时，函数y＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.
答案 A
12.已知函数y＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数y的取值范围；
(2)若函数y在[1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
解 (1)当a＝2时，y＝x2＋3x－3＝－，
又x∈[－2，3]，所以ymin＝y|x＝－＝－，
ymax＝y|x＝3＝15，所以所求函数y的取值范围为.
(2)对称轴为直线x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，ymax＝y|x＝3＝6a＋3，
所以6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－≥3，即a≤－时，ymax＝y|x＝1＝2a－3，
所以2a－3＝1，即a＝2，不满足题意；
③当1<－<3，即－综上，可知a＝－.
创新猜想
13.(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出的下面结论中正确的是( )
A.b2－4ac＞0
B.2a－b＝1
C.a－b＋c＝0
D.5a＜b
解析 ∵图象与x轴交于两点，∴b2－4ac＞0，A正确；对称轴x＝－1，即－＝－1，∴2a＝b，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴x＝－1知b＝2a，又开口向下，∴a＜0，∴5a＜2a＝b，D正确.
答案 AD
14.(多空题)已知二次函数y＝ax2＋bx＋1(a、b为实数，a≠0，x∈R)，若a－b＋1＝0，且y的范围为[0，＋∞)，则二次函数的表达式为y＝________；若当x∈[－2，2]时，s＝y－kx是单调函数，则k的取值范围是________.
解析 因为y＝ax2＋bx＋1(a≠0)，a－b＋1＝0，所以a＝b－1，①又因为y＝a＋1＝a＋1－，所以a＞0，且ymin＝1－＝0，②取立①②解得a＝1，b＝2，所以y＝x2＋2x＋1.因为s＝y－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝＋1－，所以当≥2或≤－2时，函数s在[－2，2]上是单调函数，故实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).
答案 x2＋2x＋1 (－∞，－2]∪[6，＋∞)