(共35张PPT)
4.2 一元二次不等式及其解法
课标要求
素养要求
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；
2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
新知探究
提示 1.设这辆汽车刹车前的车速至少为x
km/h，
移项整理，得x2＋10x－7
200>0.
显然Δ>0，x2＋10x－7
200＝0有两个实数根，
即x1＝80，x2＝－90，
然后，根据二次函数y＝x2＋10x－7
200的图象，得不等式的解集为{x|x<－90，或x>80}.
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80
km/h.
1.
一元二次不等式的求解要充分利用“三个二次”的关系
一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义
一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式
表达式
ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
解集
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解方法
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.mx2－5x>0是一元二次不等式.(
)
2.若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解.(
)
3.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1
)
提示 1.当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式.2.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.3.当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1×
×
×
[微训练]
二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表：
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________.
答案 {x|x<－2，或x>3}
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
[微思考]
1.“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)有什么样的关系？
提示
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2
有两个相等的实数根x1，x2
没有实数根
2.若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
题型一 解不含参数的一元二次不等式
【例1】 解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为?.
规律方法 解一元二次不等式的一般步骤
第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ≤0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ>0，求出对应方程的根写出解集.
【训练1】 解下列不等式：
(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；
(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x).
解 (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞6}.
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－3，或x＞2}.
(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.
题型二 解含参数的一元二次不等式
【例2】 解关于x的不等式(a∈R)：
(1)2x2＋ax＋2＞0；
(2)x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解 (1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－4②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}.
(2)将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，所以不等式的解集为{x|x≠0}；
当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2，或x＞a}；
当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}.
规律方法 解含参数的一元二次不等式的步骤
【训练2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
解得a＝－6，c＝－1.
规律方法 应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.
【训练3】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集.
解 ∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.
代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生数学运算素养，培养学生的数学抽象素养，从而解决问题.
2.当二次项的系数为正时，遵循“大于0取两边，小于0取中间”的原则；当二次项系数为负时相反.
3.常见误区：当二次项系数小于0时，化负为正求解.
4.处理含参数的问题，注意分类讨论，讨论点为：①能否因式分解；②二次项系数符号；③判别式的正负；④根的大小；⑤根与x范围的关系.
二、素养训练
1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 一定是一元二次不等式为②④.
答案 B
答案 D
3.不等式x2－3x－10＜0的解集是________.
解析 由于x2－3x－10＝0的两根为－2，5，故x2－3x－10＜0的解集为{x|－2＜x＜5}.
答案 {x|－2＜x＜5}
4.二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________.
答案 (－∞，－1)4.2 一元二次不等式及其解法
课标要求
素养要求
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
新知探究
某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s
m和汽车车速x
km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于40
m，
问题 1.这辆汽车刹车前的车速至少为多少？
2.怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？
3.一元二次不等式有哪些形式？
提示 1.设这辆汽车刹车前的车速至少为x
km/h，
根据题意，得x＋x2>40.
移项整理，得x2＋10x－7
200>0.
显然Δ>0，x2＋10x－7
200＝0有两个实数根，
即x1＝80，x2＝－90，
然后，根据二次函数y＝x2＋10x－7
200的图象，得不等式的解集为{x|x<－90，或x>80}.
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80
km/h.
2.判断一个不等式是否为一元二次不等式，要注意两个方面：
①是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2；
②含有未知数的式子是否是整式，如＞0，不等式左边不是整式，从而不是一元二次不等式，其实它是一个分式不等式.
3.任意一个一元二次不等式都可以利用不等式的性质变成二次项系数大于0的形式，并且可以化为下列形式中的一种：
①ax2＋bx＋c＞0(a＞0)；
②ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
③ax2＋bx＋c≥0(a＞0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a＞0).
1.一元二次不等式的概念
一元二次不等式的求解要充分利用“三个二次”的关系
一元二次不等式
定义
一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式
表达式
ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
解集
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)
解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解方法
拓展深化
[微判断]
判断下列说法的正误.
1.mx2－5x>0是一元二次不等式.(×)
2.若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解.(×)
3.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1提示 1.当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式.2.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.3.当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1[微训练]
二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________.
答案 {x|x<－2，或x>3}
[微思考]
1.“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)有什么样的关系？
提示
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2
有两个相等的实数根x1，x2
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＜x1，或x＞x2}
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
2.若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
提示 ?
∴a>.
题型一 解不含参数的一元二次不等式
【例1】 解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.
解 (1)方程2x2＋5x－3＝0的两实根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①.由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝36－4×3×2＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝.作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②，由图可得原不等式的解集为.
(3)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图.由图可得原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为?.
规律方法 解一元二次不等式的一般步骤
第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ≤0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ>0，求出对应方程的根写出解集.
【训练1】 解下列不等式：
(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；
(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x).
解 (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞6}.
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x＜－3，或x＞2}.
(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠}.
题型二 解含参数的一元二次不等式
【例2】 解关于x的不等式(a∈R)：
(1)2x2＋ax＋2＞0；
(2)x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解 (1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－4②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
x1＝(－a－)，x2＝(－a＋).
当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}.
(2)将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，所以不等式的解集为{x|x≠0}；
当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2，或x＞a}；
当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a，或x＞a2}.
规律方法 解含参数的一元二次不等式的步骤
【训练2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当<－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为.
题型三 三个“二次”之间的关系
【例3】 已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解 (1)由题意知不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.
规律方法 应用三个“二次”之间的关系解题的思想
一元二次不等式与其对应的函数、方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.
【训练3】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集.
解 ∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.
由根与系数的关系得得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.
解得x＜或x＞1.
∴bx2＋ax＋1＞0的解集为.
一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生数学运算素养，培养学生的数学抽象素养，从而解决问题.
2.当二次项的系数为正时，遵循“大于0取两边，小于0取中间”的原则；当二次项系数为负时相反.
3.常见误区：当二次项系数小于0时，化负为正求解.
4.处理含参数的问题，注意分类讨论，讨论点为：①能否因式分解；②二次项系数符号；③判别式的正负；④根的大小；⑤根与x范围的关系.
二、素养训练
1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 一定是一元二次不等式为②④.
答案 B
2.设a>1，则关于x的不等式(1－a)(x－a)<0的解集是( )
A.(－∞，a)∪
B.(a，＋∞)
C.
D.∪(a，＋∞)
解析 a>1时，1－a<0，且a>，则关于x的不等式(1－a)(x－a)<0可化为(x－a)·>0，解得x<或x>a，所以不等式的解集为∪(a，＋∞).
答案 D
3.不等式x2－3x－10＜0的解集是________.
解析 由于x2－3x－10＝0的两根为－2，5，故x2－3x－10＜0的解集为{x|－2＜x＜5}.
答案 {x|－2＜x＜5}
4.二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________.
解析 由题意知∴∴a＜－1.
答案 (－∞，－1)
基础达标
一、选择题
1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A.
B.
C.?
D.
解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.
答案 D
2.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|x∈N
，x≤5}，则A∩B＝( )
A.{1，2，3}
B.{1，2}
C.{4，5}
D.{1，2，3，4，5}
解析 (2x＋1)(x－3)＜0，∴－＜x＜3，
又x∈N
且x≤5，则x＝1，2.
答案 B
3.如果关于x的不等式x2＜ax＋b的解集是{x|1＜x＜3}，那么ba＝( )
A.－81
B.81
C.－64
D.64
解析 不等式x2＜ax＋b可化为
x2－ax－b＜0，其解集是{x|1＜x＜3}，由根与系数的关系得
解得a＝4，b＝－3；所以ba＝(－3)4＝81.故选B.
答案 B
4.若函数y＝的x的范围为实数集R，则实数a的取值范围为( )
A.(－2，2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D.[－2，2]
解析 由题意知，x2＋ax＋1≥0的解集为R，∴Δ≤0，
即a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
答案 D
5.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A.(0，2)
B.(－2，1)
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－1，2)
解析 根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，故不等式的解集是(－2，1).
答案 B
二、填空题
6.不等式－x2＋5x＞6的解集是________.
解析 不等式－x2＋5x＞6变形为x2－5x＋6＜0，
因式分解为(x－2)(x－3)＜0，解得2＜x＜3.
∴不等式－x2＋5x＞6的解集为{x|2＜x＜3}.
答案 (2，3)
7.不等式x2＋3x－4＜0的解集为________.
解析 易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4，1，所以不等式x2＋3x－4＜0的解集为(－4，1).
答案 (－4，1)
8.关于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________.
解析 ∵不等式(mx－1)(x－2)＞0的解集为，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，
且解得m＜0，∴m的取值范围是(－∞，0).
答案 (－∞，0)
三、解答题
9.求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－x2＋8x－3＞0；
(3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－≥0.
解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4－＜x＜4＋}.
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.
(4)原不等式可化为≤0，
所以原不等式的解集为.
10.已知函数y＝x2－2x＋a，y＜0的解集为{x|－1＜x＜t}.
(1)求a，t的值；
(2)c为何值时，(c＋a)x2＋2(c＋a)x－1＜0的解集为R.
解 (1)∵x2－2x＋a＜0的解集为{x|－1＜x＜t}.
∴－1＋t＝2，－1×t＝a，解得t＝3，a＝－3.
(2)由(1)可知a＝－3，代入得
(c－3)x2＋2(c－3)x－1＜0，∵其解集为R，
∴或c＝3，解得2＜c≤3.
故c的取值范围为(2，3].
能力提升
11.若函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围是( )
A.{k|0＜k≤1}
B.{k|k＜0或k＞1}
C.{k|0≤k≤1}
D.{k|k＞1}
解析 当k＝0时，8＞0恒成立；k≠0时，只须∴0＜k≤1，综上0≤k≤1.
答案 C
12.解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4＞0.
解 (1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4＞0，
解得x＜2，所以原不等式的解集为{x|x＜2}.
(2)当a＞0时，原不等式可化为(ax－2)·(x－2)＞0，
对应方程的两个根为x1＝，x2＝2.
①当0＜a＜1时，＞2，
所以原不等式的解集为；
②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当a＞1时，＜2，所以原不等式的解集为
.
(3)当a＜0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)＜0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2，则＜2，所以原不等式的解集为.
综上，a＜0时，原不等式的解集为；
a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；
0＜a≤1时，原不等式的解集为；
a＞1时，原不等式的解集为.
创新猜想
13.(多选题)不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，且|x1|＋|x2|≤2，其中错误的命题为( )
A.|a＋2b|≥2
B.|a＋2b|≤2
C.|a|≥1
D.b≤1
解析 由题意又|x1|＋|x2|≤2，不妨令a＝－1，b＝0，则x1＝－1，x2＝0，但|a＋2b|＝1，∴A不成立；令a＝2，b＝1，则x1＝x2＝－1，但|a＋2b|＝4，B不成立；令a＝0，b＝－1，则x1＝－1，x2＝1，但|a|＝0，C不成立；b＝x1x2≤≤≤1，D正确.
答案 ABC
14.(多空题)设函数y＝2x2＋bx＋c，若不等式y＜0的解集是(1，5)，则函数的解析式y＝________，若对任意x∈[1，3]，不等式y≤2＋t有解，则实数t的取值范围为________.
解析 由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以y＝2x2－12x＋10.不等式y≤2＋t在x∈[1，3]时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1，3]时有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设s＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则在[1，3]上s随x的增大而减小，所以(2x2－12x＋8)min＝－10，所以t≥－10.
答案 2x2－12x＋10 [－10，＋∞)