(共31张PPT)
第一章
特殊平行四边形
1.1
菱形的性质与判定
九年级数学教学课件（北师版）
第2课时
菱形的判定
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判
定定理．（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
（难点）
情景导学
2
情景导学
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
问题
菱形的定义是什么？性质有哪些？
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
思考
还有其他的判定方法吗？
情景导学
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
新课进行时
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O
，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
证一证
新课进行时
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴
□ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
归纳总结
新课进行时
例1
如图，
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵
OA=4,OB=3,AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴
AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
典例精析
∴四边形ABCD是菱形.
新课进行时
例2
如图,□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO
=
OC
.
又∠AOE
=∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO
=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴
四边形AFCE是菱形.
新课进行时
练一练
在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是
（
）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
B
新课进行时
核心知识点二
四条边相等的四边形是菱形
小刚：分别以A、C为圆心,以大于
AC的长为半径作弧,两条
弧分别相交于点B
,
D,依次连接A、B、C、D四点.
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
新课进行时
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD
,
BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证一证
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形
ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理：
归纳总结
四边形ABCD
A
B
C
D
新课进行时
下列命题中正确的是
（
）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
练一练
新课进行时
证明：
∵
∠1=
∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴
△ACD≌
△AED
(SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS)
.
∴CD=ED,
CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
2
例3
如图,在△ABC中,
AD是角平分线,点E、F分别在
AB、
AD上,且AE=AC,EF
=
ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
新课进行时
例4
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
归纳：四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
新课进行时
知识小结
4
知识小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
随堂演练
5
随堂演练
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的
四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组
对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为
24cm和26cm，那么平行四边形的面积是
.
312cm2
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC
B．AC=BC
C．∠B=60°
D．∠ACB=60°
B
解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC∥DE，AC=DE，
∴四边形ABED为平行四边形.
当AC=BC时，
平行四边形ACED是菱形．
故选B．
随堂演练
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，
∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO（ASA）．
∴AD=CE，OD=OE，
∵OD=OE，OA=OC，
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
4.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.
B
C
A
D
O
E
M
随堂演练
（1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，
∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形；
5.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的
平分线交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
随堂演练
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO=
FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO
=4，
∴AE=2AO=8．
随堂演练
课后作业
6
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课后作业
1、完成教材本课时的习题
2、预习下节课内容
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第一章
特殊平行四边形
1.1
菱形的性质与判定
九年级数学教学课件（北师版）
第3课时
菱形的性质、判定与其他知识的综合
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题,并掌握菱形面积的求法.（重点、难点）
2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会数形结合、转化等思想方法.
情景导学
2
情景导学
1．平行四边形的对边
，对角
，对角线
．
2．菱形具有
的一切性质．
3．菱形是
图形也是
图形．
4．菱形的四条边都
．
5．菱形的两条对角线互相
．
平行且相等
相等
互相平分
平行四边形
轴对称
中心对称
相等
垂直且平分
6.平行四边形的面积=_________.
A
B
C
D
F
底×高
7.菱形是特殊的平行四边形，如图菱形ABCD的面积
=_________.
BC·DF
思考：你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？
A
B
C
O
D
情景导学
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
菱形的面积
问题1
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?
A
B
C
D
思考
前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
能.过点A作AE⊥BC于点E,则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
新课进行时
问题2
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC
+S△ADC
=
AC·BO+
AC·DO
=
AC(BO+DO)
=
AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积
=
底×高
=
对角线乘积的一半
例1：如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对
角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=90°,
(2)菱形ABCD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
新课进行时
归纳：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
新课进行时
例2
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2
）.
A
B
C
D
O
解：∵花坛ABCD是菱形，
新课进行时
【变式题】
如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC=
×180°=60°，
∴∠ABO=
×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
新课进行时
∴OA=
AB=1cm，AC=AB=2cm，
∴BD=2OB=
cm；
（2）S菱形ABCD=
AC?BD
=
×2×
=
（cm2）．
归纳：菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.
新课进行时
练一练
如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（ ）
A.2.4cm
B.4.8cm
C.5cm
D.9.6cm
B
新课进行时
如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？
做一做
平行四边形
新课进行时
核心知识点二
菱形的判定与性质的综合问题
如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？
菱形
新课进行时
A
C
D
B
分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.
由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，
然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
E
F
新课进行时
例3
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
新课进行时
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为
，
∴菱形的面积为
.
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
归纳：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
新课进行时
练一练
如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=DC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
新课进行时
知识小结
4
知识小结
菱形的性质与判定的综合性问题
菱形的面积
综合运用
面积=底×高=两条对角线乘积的一半
随堂演练
5
随堂演练
1.已知菱形的周长是24cm，那么它的边长是______.
2.如图，菱形ABCD中∠BAC＝120°，
则∠BAC＝_______.
6cm
60°
3.如图，菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，
则菱形的边长是（
）
C
A.10cm
B.24cm
C.
13cm
D.17cm
A
B
C
D
O
4.
如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝
OA·OB＝
×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝
.
随堂演练
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD
=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD=
BD
=
×6=3
(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB
=
BD
=
6.
A
B
C
O
D
随堂演练
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴OA
=
=
=
∴AC=2OA=
（菱形的对角线相互平分）.
A
B
C
O
D
随堂演练
课后作业
6
文本
文本
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文本
课后作业
1、完成教材本课时的习题
2、预习下节课内容
谢谢欣赏
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LISTENING(共27张PPT)
第一章
特殊平行四边形
1.1
菱形的性质与判定
九年级数学教学课件（北师版）
第1课时
菱形的性质
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
情景导学
2
情景导学
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
菱形的性质
思考
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形
菱形
邻边相等
新课进行时
定义：有一组邻边相等的平行四边形.
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
归纳总结
新课进行时
活动2
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中
的图形(如图），并回答以下问题:
问题1
菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2
根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
猜想1
菱形的四条边都相等.
猜想2
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
新课进行时
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB
=
BC
=
CD
=AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB
=
CD，AD
=
BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB
=
BC
=
CD
=AD.
A
B
C
O
D
证一证
新课进行时
（2）∵AB
=
AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB
=
OD
（平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB
=
OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
新课进行时
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳总结
新课进行时
例1
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AO＝
AC，BO＝
BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴菱形的周长＝4AB＝4×3
＝12
(cm)．
典例精析
新课进行时
例2
如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
归纳
新课进行时
例3
如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB
，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，?
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.?
又∵AD＝BA
，
∴△AOD≌△BEA
，
∴AO＝BE
.
新课进行时
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是
( )
A.10
B.12
C.15
D.20
C
练一练
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
第1题图
第2题图
6cm
知识小结
4
知识小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
周长=边长的四倍
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
随堂演练
5
随堂演练
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（
）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
C
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于
（ ）
A.18
B.16
C.15
D.14
B
随堂演练
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长
是
______.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120
°，则∠BAC＝
_______.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长是_______.
3cm
30°
A
B
C
O
D
5cm
随堂演练
（4）菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，菱形的周长为______.
44cm
A
B
C
O
D
随堂演练
4.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，
CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又
CE=CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
课后作业
6
1、完成教材本课时的习题
2、预习下节课内容
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课后作业
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