(共30张PPT)
第二章
一元二次方程
2.1
认识一元二次方程
九年级数学教学课件（北师版）
第1课时
一元二次方程
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点）
2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.（重点）
情景导学
2
情景导学
没有未知数
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
2x+3
5x+6=22
x+3y=8
x-5＜18
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
想一想：什么叫一元二次方程呢？
情景导学
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2
的地毯
,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为
x
m
,那么地毯中央长方形图案的长为
m,宽为
m,根据题意,可得方程：
(8
-
2x)
(5
-
2x)
x
x
(8
–
2x)
x
x
(5
–
2x)
(
8
-
2x)（
5
-
2x）=
18.
化简：2x2
-
13x
+
11
=
0
.①
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
新课进行时
问题2：观察下面等式：102
+
112
+
122
=
132
+
142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：
,
,
,
.
根据题意，可得方程：
x+1
x+2
x+3
x+4
x2
+
(x
+
1)2
+
(x
+
2)2
=
(x
+
3)2
+
(x
+
4)2.
化简得，x2
-
8x
-
20＝0.
②
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙 m.如果设梯子底端滑动x
m
,那么滑动后梯子底端距墙
m
,
根据题意，可得方程：
问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
6
x+6
72
+
(x
+
6)2
=
102.
化简得，x2
+
12
x
-
15
=
0.
③
10m
8m
1m
xm
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
新课进行时
①
2x2
-
13x
+
11
=
0
；②
x2
-
8x
-
20＝0；
③
x2
+
12
x
-
15
=
0.
1.只含有一个未知数;
2.未知数的最高次数是2;
3.整式方程．
观察与思考
方程①、
②、
③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
新课进行时
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,
a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2+bx
+c
=
0(a
,
b
,
c为常数,
a≠0)
ax2
称为二次项,
a
称为二次项系数.
bx
称为一次项,
b
称为一次项系数.
c
称为常数项.
知识要点
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是
新课进行时
想一想
为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c
可以为零吗？
当
a
=
0
时
bx＋c
=
0
当
a
≠
0
，
b
=
0时
，
ax2＋c
=
0
当
a
≠
0
，
c
=
0时
，
ax2＋bx
=
0
当
a
≠
0
，b
=
c
=0时
，
ax2
=
0
总结：只要满足a
≠
0
，b
，
c
可以为任意实数.
新课进行时
典例精析
例1
下列选项中，关于x的一元二次方程的是（
）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成
x2-3x+2=0
少了限制条件
a≠0
提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
新课进行时
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2)
x3+
x2=36
(3)x+3y=36
(5)
x+1=0
?
?
?
?
?
?
?
?
(1)
x2+
x=36
新课进行时
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2
(2)
(a－1)x
|a|+1
－2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a
∣+1
=2，且a-1
≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
新课进行时
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0,
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当
2a－4≠0，即a
≠2
时是一元二次方程
（2）当a=2
且
b
≠0
时是一元一次方程
新课进行时
一元一次方程
一元二次方程
一般式
相同点
不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b
(a≠0）
ax2+bx+c=0
(a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
新课进行时
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：系数和项均包含前面的符号.
新课进行时
知识小结
4
知识小结
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2.
一般形式
ax2+bx+c=0
(a
≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
随堂演练
5
随堂演练
1.
下列哪些是一元二次方程？
√
×
√
×
×
√
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
2.填空：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
随堂演练
3.关于x的方程(k2－1)x2
＋
2
(k－1)
x
＋
2k
＋
2＝0,
当k
时，是一元二次方程．
当k
时，是一元一次方程．
≠±1
＝－1
随堂演练
4.(1)
如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）.
解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为
3x2
cm2.
整理，得
根据题意有，
200cm
150cm
随堂演练
(2)
如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x
整理，得
根据题意有，
随堂演练
课后作业
6
完成教材相应习题
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文本
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课后作业(共28张PPT)
第二章
一元二次方程
2.1
认识一元二次方程
九年级数学教学课件（北师版）
第2课时
一元二次方程的解及其估算
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.理解方程的解的概念.
2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.（重点）
3.会估算一元二次方程的解.（难点）
情景导学
2
情景导学
问1：一元二次方程有哪些特点？
①
只含有一个未知数;
②未知数的最高次项系数是2;
③整式方程
问2：一元二次方程的一般形式是什么？
ax2
+bx
+
c
=
0(a
,
b
,
c为常数,
a≠0)
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
一元二次方程的根
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程
x2
–
x
–
6
=
0
的解?
-4
,-3
,
-2
,-1
,0
,1,2,3
,4
解：
3和-2.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
新课进行时
例1：已知a是方程
x2+2x－2=0
的一个实数根,
求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0
9+4a=0
4a=-9
1.已知方程5x?+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______．
练一练
新课进行时
问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8
-2x)(5-2x)=
18，你能求出这个宽度吗？
(1)
x可能小于0吗?说说你的理由．
(2)
x可能大于4吗?可能大于2.5吗?
说说你的理由.
新课进行时
核心知识点二
一元二次方程解的估算
（3）完成下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
(8
-2x)(5-2x)
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?
还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．
4
10
18
28
40
新课进行时
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程
x2
+12
x
-
15
=
0.
10m
8m
1m
xm
你能猜出滑动距离x的大致范围吗？
(1)
小明认为底端也滑动了1
m,他的
说法正确吗？为什么？
(2)
底端滑动的距离可能是2
m吗？
可能是3
m吗？为什么？
新课进行时
下面是小亮的求解过程：
x
0
0.5
1
1.5
2
…
x2+12x
-
15
-15
-
8.75
-
2
5.25
13
…
可知x取值的大致范围是:1进一步计算：
所以1.1＜x＜1.2,因此x整数部分是1
,十分位部分是1．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2
+12x-15
-
0.59
0.84
2.29
3.76
新课进行时
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值;
②根据题意所列的具体情况再次进行排除;
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
规律方法
上述求解是利用了“两边夹”的思想
归纳总结
新课进行时
例2：一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系:
h＝10+2.5t－5t2.
那么他最多有多长时间完成规定动作？
5＝10+2.5t－5t2.
2t2－t－2＝0.
即
解：根据题意得
完成下表(在0根据题意,t的取值范围大致是0新课进行时
完成下表(在0由此看出,可以使2t2-t-2的值为0的t的范围是1.2t
…
…
2t2-t-2
…
…
0
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
3
-2
-1
-0.68
-0.32
0.08
0.52
4
13
根据题意,t的取值范围大致是0新课进行时
知识小结
4
知识小结
解一元二次方程
（“两边夹”方法）
确定其解的大致范围
列表、计算
进行两边“夹逼”
……
求得近似解
随堂演练
5
随堂演练
1.请求出一元二次方程
x2
-
2x
-
1=0的正数根（精确到0.1）.
解：（1）列表.依次取x=0,1,2,3,…
由上表可发现，当2＜x＜3时,
-1＜
x2
-
2x
-1
＜2；
x
0
1
2
3
…
x2
-
2x
-
1
-1
-2
-1
2
…
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
由表发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜
x2
-2x-1＜0.25;
（3）取x=2.45,则x2
-
2x
-
1≈0.1025.
∴2.4＜x＜2.45,
∴x≈2.4.
x
2.2
2.3
2.4
2.5
…
x2
-
2x
-
1
-0.79
-0.31
-0.04
0.25
…
随堂演练
2.根据题意,列出方程,并估算方程的解：
一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设苗圃的宽为x
m,则长为(x+2)
m
,根据题意得：
x
(x
+
2)
=
120.
即
x2
+
2x
-
120
=
0.
120m2
(x+2)m
xm
根据题意,x的取值范围大致是0
<
x
<
11.
随堂演练
根据题意,x的取值范围大致是0
<
x
<
11.
解方程
x2
+
2x
-
120
=
0.
完成下表(在0
<
x
<
11这个范围内取值计算,逐步逼近):
x
…
…
x2
+2x
–
120
…
…
8
9
10
11
-40
-21
0
23
所以x=10.因此这苗圃的长是12米，宽是10米.
随堂演练
3.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
二次项系数不为零不容忽视
解：将x=0代入方程m2-4=0，
解得m=
±2.
∵
m+2
≠0，
∴
m
≠-2，
综上所述：m
=2.
随堂演练
拓广探索
已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)一个根为1,
求a+b+c的值.
解：由题意得
随堂演练
思考:1.若
a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗?
解：由题意得
∴方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根是1.
2.
若
a-b
+c=0,4a+2b
+c=0
，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗?
x=2
随堂演练
课后作业
6
