(共30张PPT)
九年级数学教学课件（北师版）
第二章
一元二次方程
2.2
用配方法求解一元二次方程
第2课时
配方法（2）
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;（重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）
情景导学
2
情景导学
(1)
9x2=1
；
(2)
(x-2)2=2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)
x2+6x+9
=5；
(2)x2+6x+4=0.
把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的
形式，再利用开平方
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
①
x2
+
6x
+
8
=
0
;
②
3x2
+8x－3
=
0.
问题2：用配方法来解
x2
+
6x
+
8
=
0
.
解：移项，得
x2
+
6x
=
-8
,
配方，得
（x
+
3）2
=
1.
开平方,
得
x
+
3
=
±1.
解得
x1
=
-2
,
x2=
-4.
想一想怎么来解3x2
+8x－3
=
0.
新课进行时
试一试：解方程：
3x2
+
8x
-3
=
0.
解：两边同除以3,得
x2
+
x
-
1=0.
配方,得
x2
+
x
+
(
)
2
-
(
)2
-
1
=
0,
（x
+
）2
-
=0.
移项,得
x
+
=±
,
即
x
+
=
或
x
+
=
.
所以
x1=
,
x2
=
-3
.
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1,
即
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?
例1
解下列方程：
新课进行时
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程两边都加12？
即
新课进行时
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要
注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
新课进行时
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则
,方程的两个根为
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
规律总结
新课进行时
引例：一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h
(m)与时间
t
(s)满足关系：
h=15t
-
5t2.
小球何时能达到10m高？
解：将
h
=
10代入方程式中.
15t
-
5t2
=10.
两边同时除以-5,得
t2
-
3t
=
-2,
配方,得
t2
-
3t
+
(
)2=
(
)2
-
2,
（t
-
）2
=
新课进行时
核心知识点二
配方法的应用
移项,得
（t
-
）2
=
即
t
-
=
,或
t
-
=
.
所以
t1=
2
,
t2
=
1
.
即在1s或2s时，小球可达10m高.
新课进行时
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5
的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
新课进行时
例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为直角三角形.
新课进行时
1.
方程2x2
-
3m
-
x
+m2
+2=0有一根为x
=
0，则
m的值为（
）
A.
1
B.1
C.1或2
D.1或-2
2.应用配方法求最值.
(1)
2x2
-
4x+5的最小值；
(2)
-3x2
+
5x
+1的最大值.
练一练
C
解：原式
=
2(x
-
1)2
+3
当x
=1时有最小值3
解：原式=
-3(x
-
2)2
-
4
当x
=2时有最大值-4
新课进行时
归纳总结
配方法的应用
1.求最值或
证明代数式
的值为恒正
（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2
＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
新课进行时
例4.读诗词解题：
（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）
大江东去浪淘尽，
千古风流数人物。
而立之年督东吴，
早逝英年两位数。
十位恰小个位三，
个位平方与寿符。
哪位学子算得快，
多少年华属周瑜？
新课进行时
解：设个位数字为x，十位数字为(x-3)
x1=6,
x2=5
x2-11x=-30
x2-11x+5.52=-30+5.52
(x-5.5)2=0.25
x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5
x2=10(x-3)+x
∴这个两位数为36或25，
∴周瑜去世的年龄为36岁.
∵周瑜30岁还攻打过东吴，
新课进行时
知识小结
4
知识小结
配方法
方法
步骤
一移常数项；
二配方[配上
]；
三写成（x+n)2=p
(p
≥0);
四直接开平方法解方程.
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
在方程两边都配上
随堂演练
5
随堂演练
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0；
（4）
3x2+6x-9=0.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2；
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
解：－x2－x－1=－(x2+x+
)+
－1
所以－x2－x－1的值必定小于零.
当
时，－x2－x－1有最大值
随堂演练
3.若
，求(xy)z
的值.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
随堂演练
4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？?
解：设道路的宽为xm,
根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）,
x2=1.
答：道路的宽为1m.
随堂演练
5.已知a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.
随堂演练
课后作业
6(共35张PPT)
第二章
一元二次方程
2.2
用配方法求解一元二次方程
九年级数学教学课件（北师版）
第1课时
直接开平方法与配方法（1）
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n
(n>0)的方程.（重点）
2.理解配方法的基本思路.（难点）
3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（重点）
情景导学
2
情景导学
1.如果
x2=a,则x叫做a的
.
平方根
2.如果
x2=a(a
≥0),则x=
.
3.如果
x2=64
,则x=
.
±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
直接开平方法
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为x
dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
由此可得
x2=25
开平方得
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
x=±5，
新课进行时
试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1)
x2=4
(2)
x2=0
(3)
x2+1=0
解:根据平方根的意义，得
x1=2,
x2=-2.
解:根据平方根的意义，得
x1=x2=0.
解:根据平方根的意义，得
x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
(2)当p=0
时，方程(I)有两个相等的实数根
=0；
(3)当p<0
时,因为任何实数x，都有x2≥0
，所以方程(I)无实数根.
探究归纳
一般的，对于可化为方程
x2
=
p,
(I)
(1)当p>0
时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等
的实数根
，
；
归纳：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
新课进行时
例1
利用直接开平方法解下列方程:
(1)
x2=6；
(2)
x2－900=0.
解：
（1）
x2=6，
直接开平方，得
（2）移项，得
x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30,
x2=－30.
典例精析
新课进行时
在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:
（x+3)2=5
，
②
得
对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5
探究交流
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
新课进行时
上面的解法中
，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
解题归纳
新课进行时
例2
解下列方程：
（1）（x＋1）2=
2
；
解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
即x1=-1+
，x2=-1-
解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1=
新课进行时
解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.
例2
解下列方程：
（2）（x－1）2－4
=
0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
新课进行时
∴
x1=
，
x2=
（3）12（3－2x）2－3
=
0.
解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.
解：（3）移项，得12（3-2x）2=3，
两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
新课进行时
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2=
p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
探讨交流
新课进行时
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1)
a2+2ab+b2=(
)2；
(2)
a2-2ab+b2=(
)2.
a+b
a-b
探究交流
新课进行时
核心知识点二
配方的方法
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+
=
(
x
+
)2
（2）x2-6x+
=
(
x-
)2
（3）x2+8x+
=
(
x+
)2
（4）
x2-
x+
=
(
x-
)2
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
新课进行时
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳总结
想一想：
x2+px+(
)2=(x+
)2
配方的方法
新课进行时
合作探究
怎样解方程:
x2+6x+4=0
(1)
问题1
方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
新课进行时
核心知识点三
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
方法归纳
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
问题2
为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方程配方的方法：
新课进行时
要点归纳
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
新课进行时
例3：解方程
x2
+
8x
-
9
=
0
解：可以把常数项移到方程的右边,得
x2
+
8x
=
9
,
两边都加42（一次项系数8的一半的平方）,得
x2
+
8x
+
42
=
9
+
42
,
即
（x+4）2
=
25
.
两边开平方,得
x
+
4
=
±
5
,
即
x
+
4
=5
或
x
+
4
=
-5.
所以
x1
=
1
,
x2=
-9.
新课进行时
试一试：解决梯子底部滑动问题：x2
+
12x
-15=0
.
解：可以把常数项移到方程的右边,得
x2
+
12x
=
15
,
两边都加62（一次项系数6的一半的平方）,得
x2
+
12x
+
62
=
15
+
62
,
即
（x+6）2
=
51
.
两边开平方,得
x
+
6
=
,
即
x
+
6
=
或
x
+
6
=
.
所以
x1
=
,
x2=
.
新课进行时
知识小结
4
知识小结
用配方法解
一元二次方程
直接开平方法：
基本思路：
解二次项系数为1的一元二次方程步骤
形如（x
+
m）2
=
n
(n≥0)
将方程转化为（x
+
m）2
=
n
(n≥0)的形式，在用直接开平方法，
直接求根.
1.移项
3.直接开平方求解
2.配方
随堂演练
5
随堂演练
(C)
4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=
±3,
x1=
;
x2=
(D)
(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,
x1=
1;x2=-4
1.下列解方程的过程中，正确的是（
）
(A)
x2=-2,解方程，得x=±
(B)
(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
D
(1)方程x2=0.25的根是
.
(2)方程2x2=18的根是
.
(3)方程(2x-1)2=9的根是
.
3.
解下列方程：
(1)x2-81＝0；
(2)2x2＝50；
(3)(x＋1)2=4
.
x1=0.5,x2=-0.5
x1＝3,x2＝-3
x1＝2,x2＝－1
2.填空:
解：x1＝9,
x2＝－9；
解：x1＝5,
x2＝－5；
解：x1＝1,
x2＝－3.
随堂演练
4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.
①
②
③
④
解：
解：不对，从开始错，应改为
随堂演练
解：
方程的两根为
5.解下列方程：
随堂演练
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42
,
(
x－4)2=15
由此可得
即
随堂演练
解方程:
解：
方程的两根为
随堂演练
课后作业
6
