(共35张PPT)
第二章
一元二次方程
九年级数学教学课件（北师版）
2.3
用公式法求解一元二次方程
第2课时
利用一元二次方程解决面积问题
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
情景导学
2
情景导学
问题
某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________.
C
B
D
A
(30-2x)(20-x)=6×78
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
利用一元二次方程解决面积问题
问题：在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造上个
花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16m
12m
想一想，你会怎么设计这片荒地？
看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？
新课进行时
解：设小路的宽为
xm,
根据题意得：
即
x2
-
14x
+
24
=
0.
解方程得
x1
=
2
,
x2
=
12.
将x
=12
代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为2m.
小明设计：
如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程,
得到小路的宽为2m或12m.
16m
12m
问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
x
x
解：设扇形半径为
xm,
根据题意得：
即
πx2
=
96.
解方程得
x1
=
,
x2
=
(舍去),
答：扇形半径约为5.5m.
小亮设计：
如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.
问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？
16m
12m
新课进行时
小颖设计：
如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.
问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？
16m
12m
xm
xm
解：设小路的宽为
xm,
根据题意得：
即
x2
-
28x
+
96
=
0.
解方程得
x1
=
4
,
x2
=
24,
将x
=24
代入方程中不符合题意舍去
答：小路的宽为4m.
新课进行时
例1：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何
设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
27cm
21cm
典例精析
新课进行时
分析:这本书的长宽之比
：
正中央的矩形长宽之比
：
，上下边衬与左右边衬之比
：
.
9
7
9
7
27cm
21cm
解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：
9
7
新课进行时
27cm
21cm
解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得
解方程得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
方程的哪个根合乎实际意义?
为什么?
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
新课进行时
解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得
27cm
21cm
解得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
新课进行时
例2：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，
AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9
cm?？
根据题意得AP=
xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm
解：若设出发x
s后可使△PCQ的面积为9cm?
整理，得
解得
x1=
x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm?.
新课进行时
主要集中在几何图形的面积问题,
这类问题的面积公式是等量关系.
如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
方法点拨
新课进行时
20
32
x
x
解：设道路的宽为x米
例3：如图，在一块宽为20m,
长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？
典例精析
还有其他解法吗？
新课进行时
20
32
x
x
解：设道路的宽为
x
米
20-x
32-x
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
解得
x1=2,x2=50
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2米.
方法二：
新课进行时
在宽为20m,
长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求
这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为
x
米
(32-x)(20-x)=540
可列方程为
变式一
新课进行时
20
32
x
x
x
20-x
在宽为20m,
长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为
x
米
(32-2x)(20-x)=540
可列方程为
变式二
32-2x
新课进行时
20
32
x
x
x
x
20
32
2x
2x
32-2x
20-2x
在宽为20m,
长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为
x
米
(32-2x)(20-2x)=540
可列方程为
变式三
新课进行时
在宽为20m,
长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？
变式四
新课进行时
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解:设横、竖小路的宽度分别为3x、
2x，
于是可列方程
(30-4x)(20-6x)=
—×20×30
20㎝
30㎝
3x
2x
30-4x
20-6x
4
3
3x
2x
6x
4x
30-4x
20-6x
新课进行时
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
新课进行时
视频：平移求面积动态展示
新课进行时
点击图片播放
解：设AB长是x
m.
(100-4x)x=400
x2-25x+100=0
x1=5，x2=20
x=20,100-4x=20<25
x=5,100-4x=80>25
x=5(舍去)
答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.
例4：如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？
D
C
B
A
25米
新课进行时
变式：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
住房墙
1m
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x
m，
由题意得
x(25-2x+1)=80
化简，得
x2-13x+40=0
解得
x1=5
,
x2=8
当x=5时，26-2x=16>12
（舍去）
当x=8时，26-2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
新课进行时
知识小结
4
知识小结
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系.
类
型
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移能聚零为整方便列方程
随堂演练
5
随堂演练
1.
在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（
）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
80cm
x
x
x
x
50cm
B
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，?
然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000
cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x
cm,则有长为2x
cm
5(2x-10)(x-10)=3000
x2-15x-250=0
解得
x1=25
x2=-10(舍去）
所以
2x=50
答：铁板的长50cm,宽为25cm.
随堂演练
3.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3
，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向彩条的宽度2xcm
,竖彩条的宽度3xcm
(20-6x)(30-4x)=400
6x2-65x+50=0
随堂演练
课后作业
6(共38张PPT)
第二章
一元二次方程
2.3
用公式法求解一元二次方程
九年级数学教学课件（北师版）
第1课时
用公式法求解一元二次方程
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.经历求根公式的推导过程.（难点）
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.（重点）
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
情景导学
2
情景导学
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步?
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
情景导学
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
合作探究
新课进行时
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0).
方程两边都除以a
解:
移项，得
配方，得
即
问题：接下来能用直接开平方解吗？
即
一元二次方程的求根公式
特别提醒
∵a
≠0,4a2>0，
当b2-4ac
≥0时，
新课进行时
∵a
≠0,4a2>0，
当b2-4ac
＜0时，
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
新课进行时
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0
(a≠0)
，当b2-4ac
≥0
时，将a，b，c
代入式子
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
注意：用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0);
2.b2-4ac≥0.
新课进行时
例1
用公式法解方程
5x2-4x-12=0
解：∵a=5,b=-4,c=-12，
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
典例精析
新课进行时
核心知识点二
公式法解方程
例2
解方程：
化简为一般式：
解：
即
：
这里的a、b、c的值是什么？
新课进行时
例3
解方程：
（精确到0.001）.
解：
用计算器求得：
新课进行时
例4
解方程：4x2-3x+2=0
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.
解：
新课进行时
要点归纳
公式法解方程的步骤
1.变形:
化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算:
b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac
≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
新课进行时
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“
”表示，即
=
b2-4ac.
>
0
=
0
<
0
≥
0
新课进行时
核心知识点三
一元二次方程根的判别式
按要求完成下列表格：
练一练
的值
0
4
根的
情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
新课进行时
3.判别根的情况，得出结论.
1.化为一般式，确定a,b,c的值.
要点归纳
根的判别式使用方法
2.计算
的值，确定
的符号.
新课进行时
例5:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是(
)
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
B
新课进行时
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
b2
-
4ac
>
0时,方程有两个不相等的实数根.
b2
-
4ac
=
0时,方程有两个相等的实数根.
b2
-
4ac
<
0时,方程无实数根.
新课进行时
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(
)
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即
，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
B
新课进行时
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9;
（3）7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3,
∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0,
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
新课进行时
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（3）
7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0,
∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程有两个相等的实数根．
新课进行时
知识小结
4
知识小结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（
Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
根的判别式b2-4ac
务必将方程化为一般形式
随堂演练
5
随堂演练
1.解方程：x2
+7x
–
18
=
0.
解：这里
a=1,
b=
7,
c=
-18.
∵
b
2
-
4ac
=7
2
–
4
×
1×
(-18
)
=121>0,
即
x1
=
-9,
x2
=
2
.
2.
解方程（x
-
2)
(1
-
3x)
=
6.
解：去括号
，得
x
–2
-
3x2
+
6x
=
6,
化简为一般式
3x2
-
7x
+
8
=
0,
这里
a
=
3,
b
=
-7
,
c
=
8.
∵b2
-
4ac=(-7
)2
–
4
×
3
×
8
=
49–96
=
-
47
<
0,
∴原方程没有实数根.
随堂演练
3.
解方程：2x2
-
x
+
3
=
0
解：
这里
a
=
2
,
b
=
-
,
c
=
3
.
∵
b2
-
4ac
=
27
-
4×2×3
=
3
>
0
,
∴
即
x1=
x2=
随堂演练
4.关于x的一元二次方程
有两个实根，则m的取值范围是
.
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
解：
∴
随堂演练
5.不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+
=0;
（3）
x2-x+1=0.
解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）x2-x+
=0,a=1,b=-1,c=
.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×
=0.
∴方程有两个相等的实数根．
随堂演练
（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.
∴方程无实数根．
（3）
x2-x+1=0.
随堂演练
6.不解方程，判别关于x的方程
的根的情况.
解：
所以方程有两个实数根．
随堂演练
在等腰△ABC
中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC
的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实
数根，
所以Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
所以b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC
的三边长为4，4，5，
其周长为4+4+5=13.
随堂演练
课后作业
6
