(共33张PPT)
第二章
一元二次方程
2.6
应用一元二次方程
九年级数学教学课件（北师版）
第1课时
行程问题及几何问题
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点）
2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识解决问题．
情景导学
2
情景导学
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
利用一元二次方程解决行程（动点）问题
例1
：如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n?mile
处有一目标B,在B的正东方向200n?mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
F
东
北
A
B
C
D
新课进行时
（1）小岛D与小岛F相距多少海里?
东
北
A
B
C
D
F
解：连接DF.∵AD=CD
,
BF=CF,
∴DF是△ABC的中位线.
∴DF∥AB，且DF=
AB，
∵AB⊥BC,
AB
=
BC
=200n
mile,
∴DF⊥BC,
DF
=100n
mile.
东
北
A
B
C
D
F
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？
E
解:
设相遇是补给船航行了x
n
mile,那么
DE
=
x
n
mile
,
AE
+
BE
=
2x
n
mile,
EF=AB
+BF-(AB
+
BE)
=(300
-
2x)n
mile.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2
=
1002
+
(300
-
2x)2.
整理得：
3x2
-
1200x
+
100000
=
0
,
解方程得
(舍去)
新课进行时
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,
BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？
A
B
C
D
Q
P
解:设所需时间为
t
s,根据题意,得
2t
(6
-
t)
÷2
=
6×12
-
64.
整理得
t2
-
6t
+
8
=
0.
解方程,得
t1
=
2
,
t2
=
4
.
答:在第2秒和第4秒是五边形面积是
64cm2.
(6
-
t)
2t
针对练习
新课进行时
填空：假设某种糖的成本为每斤2元，售价为3元时，可卖100斤.
(1)此时的利润w=
_____;
(2)若售价涨了1元，每斤利润为_____元，同时少买了10斤，销售量为_____斤，利润w=_____
(3)若售价涨了2元，每斤利润为_____元，同时少买了20斤，销售量为____斤，利润w=_____
100元
2
90
180元
3
80
240元
合作探究
新课进行时
核心知识点二
平均变化率问题与一元二次方程
（4）若售价涨了3元，每斤利润为____元，同时少买了30斤，销售量为______斤，利润w=______
（5）若售价涨了4元，每斤利润为____元，同时少买了40斤，销售量为______斤，利润w=_______
（6）若售价涨了x元，每斤利润为____元，同时少买了________斤，销售量为_______
斤，利润w=__________________
4
5
1+x
70
60
100-10x
10x
280元
300元
(1+x)×(100-10x)元
新课进行时
涨价
售价
成本
单件利润
少卖量
销售量
总利润
3+x
3-2+x
10x
100-10x
w=(3-2+x)×
(100-10x)
试一试：假设某种糖的成本每斤为2元，售价为3元时，可卖100斤.每涨1元，少卖10斤.设利润为x元，则总利润w为多少元（用含有x的式子表示出来）？
0
1
2
3
4
x
2
2
2
2
2
2
3
3+1
3+2
3+3
3+4
0
3-2
3-2+1
3-2+2
3-2+3
3-2+4
10×4
10×3
10×2
10×1
100
100-10×1
100-10×2
100-10×3
100-10×4
w=(3-2)
×100
w=(3-2+1)×
(100-10×1)
w=(3-2+3)×
(100-10×3)
w=(3-2+4)×
(100-10×4)
w=(3-2+2)×
(100-10×2）
每
涨
一
元
少
卖
十
斤
新课进行时
涨价
售价
成本
单件利润
少卖量
销售量
总利润
3+x
3-2+x
10x
100-10x
w=(3-2+x)×
(100-10x)
0
1
2
3
4
x
2
2
2
2
2
2
3
3+1
3+2
3+3
3+4
0
3-2
3-2+1
3-2+2
3-2+3
3-2+4
10×4
10×3
10×2
10×1
100
100-10×1
100-10×2
100-10×3
100-10×4
w=(3-2)
×100
w=(3-2+1)×
(100-10×1)
w=(3-2+3)×
(100-10×3)
w=(3-2+4)×
(100-10×4)
w=(3-2+2)×
(100-10×2）
每
涨
一
元
少
卖
十
斤
总利润
（售价-进价）×
销售量=
总利润
单件利润
×
销售量
=
新课进行时
填空：
1.
前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650
元，则下降率是
.如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是
元.
探究归纳
7%
4324.5
下降率=
下降前的量-下降后的量
下降前的量
新课进行时
2.
前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是
元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是
元.
下降率x
第一次降低前的量
5000(1-x)
第一次降低后的量
5000
下降率x
第二次降低后的量
第二次降低前的量
5000(1-x)(1-x)
5000(1-x)2
5000(1-x)
5000(1-x)2
新课进行时
例2
前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得
5
000
(
1－x
)2
=
3000，
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
下降率不可为负，且不大于1.
新课进行时
练一练：前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？
解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得
6
000
(
1－y
)2
=
3
600.
解方程，得
y1≈0.225，y2≈－1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
新课进行时
答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
问题1
药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？
新课进行时
答：不能.
能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等．
问题2
从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?
新课进行时
问题3
你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
类似地
这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
新课进行时
变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为
x.
根据题意，得
解这个方程，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
新课进行时
变式2:某药品两次升价，零售价升为原来的
1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）
解：设原价为a元，每次升价的百分率为x
，
根据题意，得
解这个方程，得
由于升价的百分率不可能是负数，
所以
(不合题意，舍去)
答：每次升价的百分率为9.5%.
新课进行时
例3
某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
答：这个增长率为50%.
200+200(1+x)
+200(1+x)2=950
整理方程，得
4x2+12x-7=0，
解这个方程得
x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
增长率不可为负，但可以超过1.
新课进行时
知识小结
4
知识小结
利用一元二次方程
解决行程问题
列方程步骤：
应用类型
行程问题
平均变化率
问题
面积问题
动点问题
审
设
列
解
检
答
随堂演练
5
随堂演练
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程(
)
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
.
B
2（1+x)+2(1+x)2=8
3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意，得
系数化为1得，
直接开平方得，
则
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
7200（1+x)2=8712
（1+x)2=1.21
1+x=1.1,
1+x=-1.1
x1=0.1,
x2=-1.1,
随堂演练
能力提升:菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
（1）求平均每次下调的百分率；
解：设平均每次下调的百分率为x，
由题意，得
5(1－x)2=3.2，
解得
x1=20%，x2=1.8
（舍去）
∴平均每次下调的百分率为20%;
随堂演练
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
随堂演练
课后作业
6(共37张PPT)
第二章
一元二次方程
九年级数学教学课件（北师版）
2.6
应用一元二次方程
第2课时
营销问题及平均变化率问题
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
1.会用一元二次方程的方法解决营销问题及其他类型问题.（重点、难点）
2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题解决问题的能力．
情景导学
2
情景导学
每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
利用一元二次方程解决营销问题
例1
：新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?
分析：本题的主要等量关系是：
每台的销售利润×平均每天销售的数量=
5000元.
新课进行时
解：设每台冰箱降价x元,根据题意,得
整理,得：x2
-
300x
+
22500
=
0.
解方程,得：
x1
=
x2
=
150.
∴
2900
-
x
=
2900
-
150
=
2750.
答：每台冰箱的定价应为2750元.
例2：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为(500－10x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10x)·
[(50+x)－40]=8000.
新课进行时
解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则
(500－10x)·
[(50+x)－40]=8000，
整理得
x2－40x+300=0，
解得x1=10，x2=30都符合题意.
当x=10时,50+x
=60，500－10
x=400；
当x=30时，50+x
=80，
500－10
x=200.
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个.
新课进行时
某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?
思考:这个问题设什么为x?有几种设法?
如果直接设每盆植x株,怎样表示问题中相关的量?
如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？
针对练习
新课进行时
整理，得
x2
-
3x
+
2
=
0.
解程,得
x1=1,
x2=2.
经检验，x1=1
,
x2
=
2
都符合题意.
答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(x+3)株,平均单株盈利为(3
-
0.5x)元.根据题意,得.
(x
+
3)(3
-
0.5x)
=
10.
新课进行时
总结归纳
利润问题常见关系式
基本关系：(1)利润＝售价－________；
(3)总利润＝____________×销量
进价
单个利润
新课进行时
引例：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析
：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
传染源记作小明，其传染示意图如下：
合作探究
新课进行时
核心知识点二
传播问题与一元二次方程
第2轮
???
小明
1
2
x
第1轮
第1轮传染后人数
x+1
小明
第2轮传染后人数
x(x+1)+x+1
注意：不要忽视小明的二次传染
新课进行时
x1=
,
x2=
.
根据示意图，列表如下：
解方程,得
答:平均一个人传染了________个人.
10
-12
(不合题意,舍去)
10
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
(1+x)2=121
注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.
传染源人数
第1轮传染后的人数
第2轮传染后的人数
1
1+x=(1+x)1
1+x+x(1+x)=(1+x)2
新课进行时
想一想：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
第2种做法
以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人.
第一轮传染后的人数
第二轮传染后的
人数
第三轮传染后的
人数
(1+x)1
(1+x)2
分析
第1种做法
以1人为传染源,3轮传染后的人数是:
(1+x)3=(1+10)3=1331人.
(1+x)3
新课进行时
传染源
新增患者人数
本轮结束患者总人数
第一轮
1
1?x=x
1+x
第二轮
1+x
(1+x)x
1+x+(1+x)x=
第三轮
第n轮
思考：如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？
(1+x)2
(1+x)n
(1+x)3
经过n轮传染后共有
(1+x)n
人患流感.
(1+x)2
(1+x)2?x
(1+x)2+(1+x)2?x=
新课进行时
例3：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
主干
支干
支干
……
小分支
小分支
……
小分支
小分支
……
……
x
x
x
1
解:设每个支干长出x个小分支,
则
1+x+x2=91
即
解得,
x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
新课进行时
交流讨论
1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？
每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
新课进行时
方法归纳
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检
验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
新课进行时
例4：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有
100
台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4
轮感染后，被感染的电脑会不会超过
7000
台？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染
x
台电脑，则
1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.
解得
x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9.
4轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000.
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染
9
台电脑，4
轮感染后，被感染的电脑会超过
7000
台．
新课进行时
1.电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染.
每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
练一练
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；
第三轮感染中，被感染的电脑台数不会超过700台.
解得x1=19
或
x2=-21
(舍去)
依题意
60+60x+60x
(1+x)
=2400
60
(1+x)2
=2400
新课进行时
2.某种细胞细胞分裂时，每个细胞在每轮分裂中分成两个细胞.
（1）经过三轮分裂后细胞的个数是
.
（2）n轮分裂后，细胞的个数共是
.
8
2n
起始值
新增细胞
本轮结束细胞总数
第一轮
第二轮
第三轮
第n轮
1
2
2
2
4
4
4
8
8
=22
=23
=21
2n
新课进行时
知识小结
4
知识小结
列一元二次方程解应题
传播问题
数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量×
（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×
（1+传播速度）=传播前的量×
（1+传播速度）2
数字问题
握手问题
送照片问题
关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.
甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.
甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.
营销
其他类型
随堂演练
5
随堂演练
1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（
）
A.x2=1980
B.
x(x+1)=1980
C.
x(x-1)=1980
D.x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（
）
A.1+x+x(1+x)=73
B.1+x+x2=73
C.1+x2
=73
D.(1+x)2=73
D
B
3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（
）？
A.10
B.9
C.8
D.7
D
4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.
10
随堂演练
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40-x)(20+2x)=1200
整理得，x2-30x+200=0
解方程得，x1=10,x2=20
因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.
答：每件衬衫应降价20元.
5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
随堂演练
6.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？
解：初三有x个班，根据题意列方程，得
化简，得
x2-x-12=0
解方程，得
x1=4，
x2=-3（舍去）
答：初三有4个班.
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传染源
本轮分裂成有益菌数目
本轮结束有益菌总数
第一轮
第二轮
第三轮
分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌
60
60x
60(1+x)
60(1+x)
60(1+x)x
7.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
随堂演练
解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌
60+60x+60(1+x)x=24000
x1=19，x2=-21（舍去）
∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
8.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
三轮后有益菌总数为
24000×(1+19)=480000.
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9.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
随堂演练
解：设每天平均一个人传染了x人，
解得
x1=-4
(舍去），x2=2.
答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型流感.
1+x+x(1+x)=9，
即（1+x）2=9.
9(1+x)5=9(1+2)5=2187，
(1+x)7=
(1+2)7=2187.
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课后作业
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