北师大版九年级数学上册 第二章 小结与复习 课件

(共23张PPT)
第二章
一元二次方程
小结与复习
九年级数学教学课件（北师版）
要点梳理
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：
ax2
＋
bx
＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)
要点梳理
3.项数和系数：
ax2
＋
bx
＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)
一次项：
ax2
一次项系数：a
二次项：
bx
二次项系数：b
常数项：c
4.注意事项：
(1)含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0；
(4)整式方程．
要点梳理
二、解一元二次方程的方法
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2
+
px
+
q
=
0
（p2
-
4q
≥0）
(x+m)2＝n（n
≥
0）
ax2
+
bx
+c
=
0(a≠0
,
b2
-
4ac≥0)
(x
+
m)
（x
+
n）＝0
各种一元二次方程的解法及使用类型
要点梳理
三、一元二次方程在生活中的应用
列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
考点讲练
核心知识点一
一元二次方程的定义
例1
若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（
）
A.
m≠1
B.
m=1
C.
m≥1
D.
m≠0
解析
本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
A
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是
，一次项系数是
，常数项是
.
4
-2
0
针对训练
考点讲练
核心知识点二
一元二次方程的根的应用
解析
根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
例2
若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m=
.
【易错提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.
-1
考点讲练
2.
一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为
.
-1
针对训练
考点讲练
核心知识点三
一元二次方程的解法
【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)2与（a+b)2
要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯
解析
(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；
（2）先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长．
例3
(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（
）
A.
(x-1)2=6
B.(x+2)2=9
C.
(x+1)2=6
D.(x-2)2=9
(2)
(易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（　）
　A．13
B．
15
C．18
D．13或18
A
A
考点讲练
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（
）
A.
16
B.
12
C.
16或12
D.
24
A
针对训练
考点讲练
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0
（要求写出必要解题步骤）.
考点讲练
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0
（要求写出必要解题步骤）.
考点讲练
核心知识点四
一元二次方程的根的判别式的应用
例4
已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（
）
A.
B.
m<2
C.
m
≥0
D.
m<0
A
【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.
解析
根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式
>0,即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得
,故选A.
Δ
考点讲练
针对训练
5.下列所给方程中，没有实数根的是（
）
A.
x2+x=0
B.
5x2-4x-1=0
C.3x2-4x+1=0
D.
4x2-5x+2=0
6.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是　　（写出一个即可）．
D
0
考点讲练
核心知识点五
一元二次方程的根与系数的关系
例5
已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝
．
25
解析
根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3.
m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3
×(-3)=25.故填25.
【重要变形】
考点讲练
针对训练
7.
已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（
）
A.
7
B.
-2
C.
D.
A
考点讲练
核心知识点六
一元二次方程的应用
例6
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.
(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
市场销售问题
考点讲练
解析
本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.
单件利润
销售量（件）
每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
4
32
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24)
×2=80-2x;
（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
解得
x1=25,
x2=35.
由题意x≤28,
∴x=25,即售价应当为25元.
【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.
128
考点讲练
平均变化率问题
例7
菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得
5（1-x)2=3.2
解得
x1=1.8
(舍去）,
x2=0.2=20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
考点讲练
例8
为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2,，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形）
解：设小道进出口的宽为xcm
（30-2x)(20-x)=532
x2-35x+34=0
x1=1
x2=34（舍去）
答：小道进出口的宽度应为1米.
考点讲练
解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.
（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）
平移转化
方法总结
知识小结
一元二次方程
一元二次方
程的定义
概念：①整式方程；
②一元；
③二次.
一般形式：ax2+bx+c=0
(a≠0)
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根的判别式及
根与系数的关系
根的判别式：
Δ=b2-4ac
根与系数的关系
一元二次方程的应用
营销问题、平均变化率问题
几何问题、数字问题
课后作业