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人教版数学九年级上《正方形的判定和性质（第二课时）》
教学设计
课题
正方形的判定和性质（第二课时）
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
采用探究的方法，帮助学生发现正方形的判定定理，习得学习数学的快乐
能力目标
能够判定一个四边形是否是正方形
知识目标
掌握正方形的判定定理
重点
正方形的判定定理
难点
正方形的判定定理
学法
自主思考、协作讨论、类比学习法
教法
启发法、讲练结合法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习引入1.正方形的概念是什么？邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质有哪些？正方形四个角相等，边长相等，对角线相互垂直且平分情景创设将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
要保证剪的是正方形，则必须保证剪口线与折痕成45°角.
回顾知识，复习正方形的定义和性质
回顾知识，为本节课教学提供知识基础
讲授新课
探究一：满足怎样的条件的矩形是正方形呢？（从边、角、对角线考虑）只要在满足对角线互相垂直，就能得到正方形只要在满足邻边相等，就能得到正方形满足怎样的条件的菱形是正方形呢？（从边、角、对角线考虑）如果是菱形，只要在满足对角线相等（或者有一个角是直角），就能得到正方形结论证明定理：有一个角是直角的菱形是正方形.已知:四边形ABCD为菱形,∠ABC=90°求证:ABCD为正方形证明:∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=90°∴ABCD
，BCAD∠BAD=∠ABC=90°(两直线平行,内对角相等)
同理可得∠ADC=∠BAD=90°∠ADC=∠BCD=90°4个角都相等,4条边都相等的四边形为正方形定理：对角线相等的菱形是正方形.证明：四边形ABCD是棱形，且对角线相等，可知AO=BO，所以同理可得所以结合有一个角是直角的棱形是正方形，可知对角线相等的棱形是正方形探究结论定理：对角线垂直的矩形是正方形.已知：矩形ABCD的对角线交于点O,且AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA=OB=OC=OD又∵AC⊥BD∴△OAD≌△OBA(SAS)∴AD=BA∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)结论证明定理：对角线垂直的矩形是正方形.证明：因为矩形对角线相等，可知AC=BD结合矩形对角线相互平分，可知BO=OD因为该矩形对角线相互垂直，可知所以所以AB=AD所以该矩形是正方形探究二请你找出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，并绘制知识网络图表，同时在小组内进行交流.
探究总结通过上面的探究活动，我们可以发现：要证明一个四边形是正方形，只要证明出它既是一个矩形，又是一个菱形即可。探究三任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.解：是平行四边形,理由如下连接AC,∵E
、F、
G、
H是AB、BC、CD、DA的中点,∴EF、GH是中位线，∴EFAC
、GHAC∴EFGH∴四边形EFGH是平行四边形
探究三任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.是矩形仿上可知EFGH是平行四边形,∵AC⊥BD,∴EF⊥EH,故EFGH是矩形.探究三任意画一个矩形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.是菱形∵EF；HG,∴EFHG,EFGH是平行四边形,∵AC=BD,EH=
,∴EF=EH,故EFGH是菱形.探究三任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.结合任意四边形各边中点围成的四边形是平行四边形，正方形对角线相互垂直且平分，所以EF和EH相互垂直且相等，所以四边形EFGH是正方形探究总结以四边的中点为顶点可以组成的四边形的形状与那些线段有关？有怎样的关系？无论对角线怎样都是平行四边形,对角线相等是菱形,垂直是矩形,垂直相等是正方形
采用探究的方法，帮助学生独自发现正方形判定定理
结合探究方法，符合学生认知形成过程，帮助学生发现正方形的判定定理
典例探究
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：
四边形BECF是正方形．证明
∵
BF∥CE，CF∥BE∴
四边形BECF是平行四边形∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC＝90°
∠DCB＝90°又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBC=
∠ABC=45°∠ECB=
∠DCB=45°∴
∠EBC=∠ECB
∴EB=EC平行四边形BECF是菱形（菱形的定义）△EBC中∠EBC=45°∠ECB=45°∴∠BEC=90°∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
学生提出自学过程中的疑问，师生共同解答，学生能解答的教师就不要帮忙，学生解决不了的，教师出面点拨。
让学生自学完成，将学习的主动权交给学生，体现学生在教学过程中的主体地位，从而激发学生的求知欲望，培养学生的学习能力。
课堂练习
1.已知四边形ABCD是平行四边形，C，BD相交于点O，下列结论错误的是（
）A.OA=OC，OB=ODB.当AB=CD时，四边形ABCD是菱形C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D.当AC=BD且时，四边形4BCD是正方形答案：B2.下列四个命题中错误的是（
）A.对角线相等的菱形是正方形B.有两边相等的平行四边形是菱形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形答案：B3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(
)A．平行四边形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．菱形答案：D4.如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE，则∠EBC的度数是___________答案：22.5度5.如图，等边AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°，求证：矩形ABCD是正方形证明：因为四边形ABCD是矩形，因为AEF是等边三角形所以矩形ABCD是正方形。
运用讲练结合法，通过检测题及时正方形的判定。
回归课本，重视基础，突出重、难点。
拓展练习
如图，在ABC中，∠ACB=
90°，CD是∠ACB的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F.求证：四边形CEDF是正方形.证明：因为CD的垂直平分线分别交AC、CD、BC于点E、O、F所以EC=
ED，FC=
FD.因为∠ACB=90°，CD平分∠ACB.所以∠ACD=∠BCD=45°.又因为CD⊥EF.所以CE=CF.所以ED=EC=CF=
FD，所以四边形CEDF为菱形，因为∠ACB
=90°所以四边形CEDF为正方形.
讨论交流，思考解题思路。
通过练习巩固本课所学，学会运用知识解答问题。
达标测试
1.下列命题是假命题的是（）A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.B.对角线互相垂直的矩形是正方形.C.对角线相等的菱形是正方形.D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.答案：D2.如图，把一一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为______答案：3.要使矩形ABCD成为正方形，可添加的条件是______（写一个即可）.答案：4.正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为__________.答案：2a5.如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，则∠AFC＝
________答案：112.5
结合正方形的判定，完成各个小题
结合习题，检测学生掌握知识程度
课堂小结
学会总结学习收获，巩固知识点，理清知识间的联系。
通过总结学习收获，对于巩固知识很有帮助。
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精品试卷·第
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2020
数学北师版
九年级上
正方形的判定和性质（第二课时）
复习引入
1.正方形的概念是什么？
邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
2.正方形的性质有哪些？
正方形四个角相等，边长相等，对角线相互垂直且平分
导入新课
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
情景创设：：
要保证剪的是正方形，
则必须保证剪口线与折痕成45°角.
探究新知
满足怎样的条件的矩形是正方形呢？
（从边、角、对角线考虑）
探究一：
只要在满足对角线互相垂直，就能得到正方形
只要在满足邻边相等，就能得到正方形
新课讲解
探究一：
如果是菱形，只要在满足对角线相等（或者有一个角是直角），就能得到正方形
满足怎样的条件的菱形是正方形呢？
（从边、角、对角线考虑）
一个角是直角
对角线相等
新课讲解
结论证明：
已知:四边形ABCD为菱形,∠ABC=90°
求证:ABCD为正方形
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
证明:∵四边形ABCD为菱形,
∠ABC=90°
∴AB
CD
，BC
AD
∠BAD=∠ABC=90°(两直线平行,内对角相等)
同理可得
∠ADC=∠BAD=90°
∠ADC=∠BCD=90°
4个角都相等,4条边都相等的四边形为正方形
新课讲解
结论证明：
定理：对角线相等的菱形是正方形.
证明：四边形ABCD是棱形，且对角线相等，
可知AO=BO，
所以
同理可得
所以
结合有一个角是直角的棱形是正方形，可知
对角线相等的棱形是正方形
新课讲解
探究结论：
定理：对角线垂直的矩形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OB=OC=OD
又∵AC⊥BD
∴△OAD≌△OBA(SAS)
∴AD=BA
∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
已知：矩形ABCD的对角线交于点O,且AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
新课讲解
结论证明：
定理：对角线垂直的矩形是正方形.
证明：因为矩形对角线相等，可知AC=BD
结合矩形对角线相互平分，可知BO=OD
因为该矩形对角线相互垂直，可知
所以
所以AB=AD
所以该矩形是正方形
新课讲解
探究二：
请你找出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，并绘制知识网络图表，同时在小组内进行交流.
新课讲解
通过上面的探究活动，我们可以发现：
要证明一个四边形是正方形，只要证明出它既是一个矩形，又是一个菱形即可。
探究总结：
新课讲解
探究三：
任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.
解：是平行四边形,理由如下
连接AC,∵E
、F、
G、
H是AB、BC、CD、DA的中点,
∴EF、GH是中位线，
∴EF
AC
、GH
AC
∴EF
GH
∴四边形EFGH是平行四边形
新课讲解
探究三：
任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.
仿上可知EFGH是平行四边形,
∵AC⊥BD,∴EF⊥EH,故EFGH是矩形.
是矩形
新课讲解
探究三：
任意画一个矩形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.
∵EF
；HG
,∴EF
HG,EFGH
是平行四边形,
∵AC=BD,EH=
,∴EF=EH,故EFGH是菱形.
是菱形
新课讲解
探究三：
任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.
结合任意四边形各边中点围成的四边形是平行四边形，
正方形对角线相互垂直且平分，所以
EF和EH相互垂直且相等，所以
四边形EFGH是正方形
新课讲解
探究总结：
以四边的中点为顶点可以组成的四边形的形状与那些线段有关？有怎样的关系？
无论对角线怎样都是平行四边形,对角线相等是菱形,垂直是矩形,垂直相等是正方形
例题讲解
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：
四边形BECF是正方形．
、典例探究：：
例题讲解
证明
∵
BF∥CE，CF∥BE
结论论证：
∴
四边形BECF是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC＝90°
∠DCB＝90°
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBC=
∠ABC=45°∠ECB=
∠DCB=45°
∴
∠EBC=∠ECB
∴EB=EC
平行四边形BECF是菱形（菱形的定义）
△EBC中∠EBC=45°∠ECB=45°
∴∠BEC=90°
∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
课堂练习
尝试应用
1.已知四边形ABCD是平行四边形，C，BD相交于点O，下列结论错误的是（
）
A.OA=OC，OB=OD
B.当AB=CD时，四边形ABCD是菱形
C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD且
时，四边形4BCD是正方形
答案：B
课堂练习
2.下列四个命题中错误的是（
）
A.对角线相等的菱形是正方形
B.有两边相等的平行四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(
)
A．平行四边形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．菱形
答案：B
答案：D
课堂练习
4.如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE，则∠EBC的度数是___________
答案：22.5度
5.如图，等边
AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°，求证：矩形ABCD是正方形
课堂练习
证明：因为四边形ABCD是矩形，
因为
AEF是等边三角形
所以矩形ABCD是正方形。
拓展提升
如图，在
ABC中，∠ACB=
90°，CD是∠ACB的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F.求证：四边形CEDF是正方形.
证明：因为CD的垂直平分线分别交AC、CD、BC于点E、O、F
所以EC=
ED，FC=
FD.
因为∠ACB=90°，CD平分∠ACB.
所以∠ACD=∠BCD=45°.
又因为CD⊥EF.所以CE=CF.
课堂练习
所以ED=EC=CF=
FD，所以四边形CEDF为菱形，因为∠ACB
=90°所以四边形CEDF为正方形.
达标测试
1.下列命题是假命题的是（）
A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.
B.对角线互相垂直的矩形是正方形.
C.对角线相等的菱形是正方形.
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.
答案：D
2.如图，把一一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为______
答案：
达标测试
3.要使矩形ABCD成为正方形，可添加的条件是______（写一个即可）.
答案：
4.正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为__________.
5.如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，则∠AFC＝
________
2a
112.50
课堂总结
正方形的判定有：
作业布置
习题1.8（1、3、5）
谢谢观看
