2019-2020学年山东省聊城市东阿县八年级下学期期末数学试卷 （word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年山东省聊城市东阿县八年级下学期期末数学试卷 （word版，含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 青岛版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-07 00:00:00 | ||
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文档简介
2019-2020学年山东聊城市东阿县八年级第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．如图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中，逆命题为真命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直
B．矩形的对角线相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．正方形的对角线垂直且相等
3．若＝a，＝b，则的值用a、b可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．等式＝成立的条件是（ ）
A．x＞ B．x≥ C．x＞2 D．≤x＜2
5．如图，在平面直角坐标系中，若点A（2，3）在直线与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，则b的值可能是（ ）
A．﹣3 B．3 C．4 D．5
6．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④
7．若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a﹣3）（b+3）的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，商店准备打折销售，但要 保持利润不低于10%，那么至多打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝16，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE＝4DF，若∠AFC＝90°，则AC的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图，两直线y1＝kx+b和y2＝bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的和最小值为（ ）
A． B．4 C．3 D．
12．小莹和小亮在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知小莹先出发4分钟，在整个步行过程中，两人的距离y（米）与小莹出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①小莹的步行速度为60米/分；②小亮用16分钟追上小莹；③小亮走完全程用了30分钟；④小亮到达终点时，小莹离终点还有300米，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
13．若最简二次根式和是同类二次根式，则m＝ ．
14．若函数y＝﹣x+3与y＝2x+b的图象相交于x轴上的一点，则b的值为 ．
15．如图，将周长为10的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
16．如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集为 ．
17．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，则第2020个正方形的边长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．计算
（1）3﹣9+3﹣4；
（2）﹣++；
（3）（﹣）（+）+（﹣1）2．
19．根据要求解不等式组．
（1）；
（2）（在数轴上把它的解集表示出来）．
20．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点B关于点A对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
21．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
22．某商场计划从厂家购进甲、乙两种不同型号的电视机，已知进价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元．
（1）若商场同时购进这两种不同型号的电视机50台，金额不超过76000元，商场有几种进货方案，并写出具体的进货方案．
（2）在（1）的条件下，若商场销售一台甲、乙型号的电视机的销售价分别为1650元、2300元，以上进货方案中，哪种进货方案获利最多？最多为多少元？
23．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝10，EC＝，求EF的长．
24．某销售商计划购进甲、乙两种商品共1000件进行销售．已知甲种商品每件进价20元，乙种商品每件进价80元；通过市场考察，销售商决定甲种商品以每件30元的价格出售，乙种商品以每件100元的价格出售，设销售商购进的甲种商品有x件，销售完甲、乙两种商品后获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果销售商购进的甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍请求出获利最大的进货方案，所获得的最大利润是多少元？
25．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝x交于点A．
（1）直接写出A、B、C的坐标，A的坐标是 ，B的坐标是 ，C的坐标是 ．
（2）若M是线段OA上的点，且△COM的面积为24，求直线CM的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设E是射线CM上的点，在平面内是否存在点F，使以O、C、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．如图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．下列命题中，逆命题为真命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直
B．矩形的对角线相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．正方形的对角线垂直且相等
解：A、菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题；
B、矩形的对角线相等的逆命题是对角线相等的四边形是矩形，是假命题；
C、平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
D、正方形的对角线垂直且相等的逆命题是对角线垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；
故选：C．
3．若＝a，＝b，则的值用a、b可以表示为（ ）
A． B． C． D．
解：＝．
故选：C．
4．等式＝成立的条件是（ ）
A．x＞ B．x≥ C．x＞2 D．≤x＜2
解：∵等式＝成立，
∴，
解得：x＞2．
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中，若点A（2，3）在直线与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，则b的值可能是（ ）
A．﹣3 B．3 C．4 D．5
解：∵点A（2，3）在直线y＝﹣x+b与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，
∴点A（2，3）在直线y＝﹣x+b的下方，即当x＝2时，y＞3，
又∵当x＝2时，y＝﹣×2+b＝﹣1+b，
∴﹣1+b＞3，
∴b＞4．
故选：D．
6．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④
解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确
无法判断BE＝CD，故①错误，
故选：C．
7．若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a﹣3）（b+3）的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
解：解不等式2x﹣a＜1，得：x＜，
解不等式x﹣2b＞3，得：x＞2b+3，
∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，
∴，
解得：a＝1，b＝﹣2，
当a＝1，b＝﹣2时，
（a﹣3）（b+3）＝﹣2×1＝﹣2，
故选：D．
8．某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，商店准备打折销售，但要 保持利润不低于10%，那么至多打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
解：设该商品可打x折，
根据题意，得：550×﹣400≥400×10%，
解得：x≥8，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝16，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE＝4DF，若∠AFC＝90°，则AC的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝BC＝8，
∵DE＝4DF，
∴DF＝DE＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝6，
∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，
∴AC＝2EF＝12，
故选：D．
10．如图，两直线y1＝kx+b和y2＝bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
A、由图可得，y1＝kx+b中，k＜0，b＞0，y2＝bx+k中，b＞0，k＜0，符合；
B、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＞0，y2＝bx+k中，b＜0，k＞0，不符合；
C、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，不符合；
D、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＞0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，不符合；
故选：A．
11．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的和最小值为（ ）
A． B．4 C．3 D．
解：设BE与AC交于点P'，连接BD．
∵点B与D关于AC对称，
∴P'D＝P'B，
∴P'D+P'E＝P'B+P'E＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝4，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝4．
故选：B．
12．小莹和小亮在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知小莹先出发4分钟，在整个步行过程中，两人的距离y（米）与小莹出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①小莹的步行速度为60米/分；②小亮用16分钟追上小莹；③小亮走完全程用了30分钟；④小亮到达终点时，小莹离终点还有300米，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：由图可得：
小莹步行的速度为：240÷4＝60米/分，故①正确，
小亮追上小莹用的时间为：16﹣4＝12（分钟），故②错误，
小亮走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）＝30（分钟），故③正确，
小亮到达终点时，小莹离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故④错误，
故选：B．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13．若最简二次根式和是同类二次根式，则m＝ 7 ．
解：∵最简二次根式和 是同类二次根式，
∴3m+1＝8+2m，
∴m＝7，
∵当m＝7时，3m+1＝8+2m＝22，
∴m＝7．
故答案为7．
14．若函数y＝﹣x+3与y＝2x+b的图象相交于x轴上的一点，则b的值为 ﹣6 ．
解：∵y＝﹣x+3与x轴的交点是（3，0），y＝2x+b与x轴的交点是（﹣，0），
∴﹣＝3
解得：b＝﹣6．
故答案为：﹣6
15．如图，将周长为10的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 12 ．
解：根据题意，将周长为10个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD＝1，BF＝BC+CF＝BC+1，DF＝AC；
又∵AB+BC+AC＝10，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC＝12．
故答案为12．
16．如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集为 x＞﹣2 ．
解：由题意及图象得：不等式3x+b＞ax﹣3的解集为x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2
17．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，则第2020个正方形的边长为 （）2019 ．
解：第一个正方形的边长为1＝（）0；
第二个正方形的边长为＝（）1
第三个正方形的边长为2＝（）2，
第四个正方形的边长为2＝（）3，
…
第n个正方形的边长为（）n﹣1，
所以第2020个正方形的边长为（）2019．
故答案为：（）2019．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．计算
（1）3﹣9+3﹣4；
（2）﹣++；
（3）（﹣）（+）+（﹣1）2．
解：（1）原式＝12﹣3+9﹣
＝9+8；
（2）原式＝2+5+2
＝9；
（3）原式＝5﹣2+3﹣2+1
＝7﹣2．
19．根据要求解不等式组．
（1）；
（2）（在数轴上把它的解集表示出来）．
解：（1）解不等式2x﹣6＜3x，得：x＞﹣6，
解不等式﹣≥0，得：x≤13，
则不等式组的解集为﹣6＜x≤13；
（2）解不等式﹣≤1，得：x≥﹣，
解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣≤x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
20．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点B关于点A对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
解：（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）；
（2）所作图形如图所示：
，
点B'的坐标为：（0，﹣6）；
（3）当以AB为对角线时，点D坐标为（﹣7，3）；
当以AC为对角线时，点D坐标为（3，3）；
当以BC为对角线时，点D坐标为（﹣5，﹣3）．
21．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
解：（1）△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵BC＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形．
（2）由旋转的性质可知：∠DCE＝∠ACB＝90°，CD＝CE＝3，BD＝AE，
∴DE＝3，∠CDE＝∠CED＝45°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADE＝45°+45°＝90°，
∴AE＝＝＝，
∴BD＝AE＝．
22．某商场计划从厂家购进甲、乙两种不同型号的电视机，已知进价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元．
（1）若商场同时购进这两种不同型号的电视机50台，金额不超过76000元，商场有几种进货方案，并写出具体的进货方案．
（2）在（1）的条件下，若商场销售一台甲、乙型号的电视机的销售价分别为1650元、2300元，以上进货方案中，哪种进货方案获利最多？最多为多少元？
解：（1）设购进甲种型号的电视机x台，则乙种型号的电视机（50﹣x）台．则
1500x+2100（50﹣x）≤76000，
解得 x≥48．
则50≥x≥48．
∵x是整数，
∴x＝49或x＝50．
故有2种进货方案：
方案一：是购进甲种型号的电视机49台，乙种型号的电视机1台；
方案二：是甲种型号的电视机50台，乙种型号的电视机0台；
（2）方案一的利润为：49×（1650﹣1500）+（2300﹣2100）＝7550（元）
方案二的利润为：50×（1650﹣1500）＝7500（元）．
∵7550＞7500
∴方案一的利润大，最多为7550元．
23．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝10，EC＝，求EF的长．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，且AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵菱形AECF的面积＝EC×AB＝AC×EF，
又∵AB＝6，AC＝10，EC＝，
∴×6＝×10×EF，
解得EF＝．
24．某销售商计划购进甲、乙两种商品共1000件进行销售．已知甲种商品每件进价20元，乙种商品每件进价80元；通过市场考察，销售商决定甲种商品以每件30元的价格出售，乙种商品以每件100元的价格出售，设销售商购进的甲种商品有x件，销售完甲、乙两种商品后获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果销售商购进的甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍请求出获利最大的进货方案，所获得的最大利润是多少元？
解：（1）由题意得：y＝（30﹣20）x+（100﹣80）（1000﹣x）＝﹣10x+20000
∴y与x的函数关系式是：y＝﹣10x+20000
（2）由题意得：x≥4（1000﹣x）
解得：x≥800
在y＝﹣10x+20000中，
∵k＝﹣10＜0，
∴y随x的增大而减小．
∴当x＝800时，y最大．
此时y最大＝﹣10×800+20000＝12000元
∴获利最大的进货方案是：甲种商品购进800件，乙种商品购进：1000﹣800＝200（件）；
此时获得的最大利润是12000元．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝x交于点A．
（1）直接写出A、B、C的坐标，A的坐标是 （，） ，B的坐标是 （16，0） ，C的坐标是 （0，8） ．
（2）若M是线段OA上的点，且△COM的面积为24，求直线CM的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设E是射线CM上的点，在平面内是否存在点F，使以O、C、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：∵直线l1：y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，
令x＝0，则y＝8，
∴C（0，8），
令y＝0，则﹣x+8＝0，
∴x＝16，
∴B（16，0），
联立直线l1和直线l2得，，解得，，
∴A（，），
故答案为（，），（16，0），（0，8）；
（2）∵点M在线段OA上，且直线OA的解析式为y＝x，设M（m，m）（m＞0），
∵△COM的面积为24，
∴S△COM＝×8×m＝24，
∴m＝6，
∴M（6，2），
设直线CM的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CM的解析式为y＝﹣x+8，
（3）如图，
①CE是菱形的对角线时，由（2）知，直线CM的解析式为y＝﹣x+8，
令y＝0，则﹣x+8＝0，
∴x＝8，
∴E'（8，0），
∵四边形OCF'E'是菱形，
∴E'F'＝OB＝8，
∴∠OCE'＝45°，OC＝OE'，
过点C作CF'∥x轴，过点E'作E'F'∥y轴相交于F'，
．∴F'（8，8），
②CE为菱形的边时，∵四边形OCF'E'是菱形；
在射线CM上取一点E使CE＝OC，
∵四边形OECF是菱形，
∴CE＝OE，
∴点E是OC的垂直平分线，
当y＝4时，﹣x+8＝4，
∴E（4，4），
∴F（﹣4，4），
同理，F''（4，﹣4），
即：满足条件的点F的坐标为（﹣4，4），（4，﹣4），（8，8）．
一、选择题（共12小题）.
1．如图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中，逆命题为真命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直
B．矩形的对角线相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．正方形的对角线垂直且相等
3．若＝a，＝b，则的值用a、b可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．等式＝成立的条件是（ ）
A．x＞ B．x≥ C．x＞2 D．≤x＜2
5．如图，在平面直角坐标系中，若点A（2，3）在直线与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，则b的值可能是（ ）
A．﹣3 B．3 C．4 D．5
6．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④
7．若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a﹣3）（b+3）的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，商店准备打折销售，但要 保持利润不低于10%，那么至多打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝16，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE＝4DF，若∠AFC＝90°，则AC的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图，两直线y1＝kx+b和y2＝bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的和最小值为（ ）
A． B．4 C．3 D．
12．小莹和小亮在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知小莹先出发4分钟，在整个步行过程中，两人的距离y（米）与小莹出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①小莹的步行速度为60米/分；②小亮用16分钟追上小莹；③小亮走完全程用了30分钟；④小亮到达终点时，小莹离终点还有300米，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
13．若最简二次根式和是同类二次根式，则m＝ ．
14．若函数y＝﹣x+3与y＝2x+b的图象相交于x轴上的一点，则b的值为 ．
15．如图，将周长为10的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
16．如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集为 ．
17．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，则第2020个正方形的边长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．计算
（1）3﹣9+3﹣4；
（2）﹣++；
（3）（﹣）（+）+（﹣1）2．
19．根据要求解不等式组．
（1）；
（2）（在数轴上把它的解集表示出来）．
20．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点B关于点A对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
21．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
22．某商场计划从厂家购进甲、乙两种不同型号的电视机，已知进价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元．
（1）若商场同时购进这两种不同型号的电视机50台，金额不超过76000元，商场有几种进货方案，并写出具体的进货方案．
（2）在（1）的条件下，若商场销售一台甲、乙型号的电视机的销售价分别为1650元、2300元，以上进货方案中，哪种进货方案获利最多？最多为多少元？
23．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝10，EC＝，求EF的长．
24．某销售商计划购进甲、乙两种商品共1000件进行销售．已知甲种商品每件进价20元，乙种商品每件进价80元；通过市场考察，销售商决定甲种商品以每件30元的价格出售，乙种商品以每件100元的价格出售，设销售商购进的甲种商品有x件，销售完甲、乙两种商品后获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果销售商购进的甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍请求出获利最大的进货方案，所获得的最大利润是多少元？
25．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝x交于点A．
（1）直接写出A、B、C的坐标，A的坐标是 ，B的坐标是 ，C的坐标是 ．
（2）若M是线段OA上的点，且△COM的面积为24，求直线CM的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设E是射线CM上的点，在平面内是否存在点F，使以O、C、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．如图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．下列命题中，逆命题为真命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直
B．矩形的对角线相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．正方形的对角线垂直且相等
解：A、菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题；
B、矩形的对角线相等的逆命题是对角线相等的四边形是矩形，是假命题；
C、平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
D、正方形的对角线垂直且相等的逆命题是对角线垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；
故选：C．
3．若＝a，＝b，则的值用a、b可以表示为（ ）
A． B． C． D．
解：＝．
故选：C．
4．等式＝成立的条件是（ ）
A．x＞ B．x≥ C．x＞2 D．≤x＜2
解：∵等式＝成立，
∴，
解得：x＞2．
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中，若点A（2，3）在直线与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，则b的值可能是（ ）
A．﹣3 B．3 C．4 D．5
解：∵点A（2，3）在直线y＝﹣x+b与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，
∴点A（2，3）在直线y＝﹣x+b的下方，即当x＝2时，y＞3，
又∵当x＝2时，y＝﹣×2+b＝﹣1+b，
∴﹣1+b＞3，
∴b＞4．
故选：D．
6．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④
解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确
无法判断BE＝CD，故①错误，
故选：C．
7．若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a﹣3）（b+3）的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
解：解不等式2x﹣a＜1，得：x＜，
解不等式x﹣2b＞3，得：x＞2b+3，
∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，
∴，
解得：a＝1，b＝﹣2，
当a＝1，b＝﹣2时，
（a﹣3）（b+3）＝﹣2×1＝﹣2，
故选：D．
8．某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，商店准备打折销售，但要 保持利润不低于10%，那么至多打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
解：设该商品可打x折，
根据题意，得：550×﹣400≥400×10%，
解得：x≥8，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝16，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE＝4DF，若∠AFC＝90°，则AC的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝BC＝8，
∵DE＝4DF，
∴DF＝DE＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝6，
∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，
∴AC＝2EF＝12，
故选：D．
10．如图，两直线y1＝kx+b和y2＝bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
A、由图可得，y1＝kx+b中，k＜0，b＞0，y2＝bx+k中，b＞0，k＜0，符合；
B、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＞0，y2＝bx+k中，b＜0，k＞0，不符合；
C、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，不符合；
D、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＞0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，不符合；
故选：A．
11．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的和最小值为（ ）
A． B．4 C．3 D．
解：设BE与AC交于点P'，连接BD．
∵点B与D关于AC对称，
∴P'D＝P'B，
∴P'D+P'E＝P'B+P'E＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝4，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝4．
故选：B．
12．小莹和小亮在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知小莹先出发4分钟，在整个步行过程中，两人的距离y（米）与小莹出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①小莹的步行速度为60米/分；②小亮用16分钟追上小莹；③小亮走完全程用了30分钟；④小亮到达终点时，小莹离终点还有300米，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：由图可得：
小莹步行的速度为：240÷4＝60米/分，故①正确，
小亮追上小莹用的时间为：16﹣4＝12（分钟），故②错误，
小亮走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）＝30（分钟），故③正确，
小亮到达终点时，小莹离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故④错误，
故选：B．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13．若最简二次根式和是同类二次根式，则m＝ 7 ．
解：∵最简二次根式和 是同类二次根式，
∴3m+1＝8+2m，
∴m＝7，
∵当m＝7时，3m+1＝8+2m＝22，
∴m＝7．
故答案为7．
14．若函数y＝﹣x+3与y＝2x+b的图象相交于x轴上的一点，则b的值为 ﹣6 ．
解：∵y＝﹣x+3与x轴的交点是（3，0），y＝2x+b与x轴的交点是（﹣，0），
∴﹣＝3
解得：b＝﹣6．
故答案为：﹣6
15．如图，将周长为10的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 12 ．
解：根据题意，将周长为10个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD＝1，BF＝BC+CF＝BC+1，DF＝AC；
又∵AB+BC+AC＝10，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC＝12．
故答案为12．
16．如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集为 x＞﹣2 ．
解：由题意及图象得：不等式3x+b＞ax﹣3的解集为x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2
17．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，则第2020个正方形的边长为 （）2019 ．
解：第一个正方形的边长为1＝（）0；
第二个正方形的边长为＝（）1
第三个正方形的边长为2＝（）2，
第四个正方形的边长为2＝（）3，
…
第n个正方形的边长为（）n﹣1，
所以第2020个正方形的边长为（）2019．
故答案为：（）2019．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．计算
（1）3﹣9+3﹣4；
（2）﹣++；
（3）（﹣）（+）+（﹣1）2．
解：（1）原式＝12﹣3+9﹣
＝9+8；
（2）原式＝2+5+2
＝9；
（3）原式＝5﹣2+3﹣2+1
＝7﹣2．
19．根据要求解不等式组．
（1）；
（2）（在数轴上把它的解集表示出来）．
解：（1）解不等式2x﹣6＜3x，得：x＞﹣6，
解不等式﹣≥0，得：x≤13，
则不等式组的解集为﹣6＜x≤13；
（2）解不等式﹣≤1，得：x≥﹣，
解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣≤x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
20．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点B关于点A对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
解：（1）点B关于点A对称的点的坐标为（2，6）；
（2）所作图形如图所示：
，
点B'的坐标为：（0，﹣6）；
（3）当以AB为对角线时，点D坐标为（﹣7，3）；
当以AC为对角线时，点D坐标为（3，3）；
当以BC为对角线时，点D坐标为（﹣5，﹣3）．
21．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
解：（1）△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵BC＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形．
（2）由旋转的性质可知：∠DCE＝∠ACB＝90°，CD＝CE＝3，BD＝AE，
∴DE＝3，∠CDE＝∠CED＝45°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADE＝45°+45°＝90°，
∴AE＝＝＝，
∴BD＝AE＝．
22．某商场计划从厂家购进甲、乙两种不同型号的电视机，已知进价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元．
（1）若商场同时购进这两种不同型号的电视机50台，金额不超过76000元，商场有几种进货方案，并写出具体的进货方案．
（2）在（1）的条件下，若商场销售一台甲、乙型号的电视机的销售价分别为1650元、2300元，以上进货方案中，哪种进货方案获利最多？最多为多少元？
解：（1）设购进甲种型号的电视机x台，则乙种型号的电视机（50﹣x）台．则
1500x+2100（50﹣x）≤76000，
解得 x≥48．
则50≥x≥48．
∵x是整数，
∴x＝49或x＝50．
故有2种进货方案：
方案一：是购进甲种型号的电视机49台，乙种型号的电视机1台；
方案二：是甲种型号的电视机50台，乙种型号的电视机0台；
（2）方案一的利润为：49×（1650﹣1500）+（2300﹣2100）＝7550（元）
方案二的利润为：50×（1650﹣1500）＝7500（元）．
∵7550＞7500
∴方案一的利润大，最多为7550元．
23．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝10，EC＝，求EF的长．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，且AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵菱形AECF的面积＝EC×AB＝AC×EF，
又∵AB＝6，AC＝10，EC＝，
∴×6＝×10×EF，
解得EF＝．
24．某销售商计划购进甲、乙两种商品共1000件进行销售．已知甲种商品每件进价20元，乙种商品每件进价80元；通过市场考察，销售商决定甲种商品以每件30元的价格出售，乙种商品以每件100元的价格出售，设销售商购进的甲种商品有x件，销售完甲、乙两种商品后获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果销售商购进的甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍请求出获利最大的进货方案，所获得的最大利润是多少元？
解：（1）由题意得：y＝（30﹣20）x+（100﹣80）（1000﹣x）＝﹣10x+20000
∴y与x的函数关系式是：y＝﹣10x+20000
（2）由题意得：x≥4（1000﹣x）
解得：x≥800
在y＝﹣10x+20000中，
∵k＝﹣10＜0，
∴y随x的增大而减小．
∴当x＝800时，y最大．
此时y最大＝﹣10×800+20000＝12000元
∴获利最大的进货方案是：甲种商品购进800件，乙种商品购进：1000﹣800＝200（件）；
此时获得的最大利润是12000元．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y＝x交于点A．
（1）直接写出A、B、C的坐标，A的坐标是 （，） ，B的坐标是 （16，0） ，C的坐标是 （0，8） ．
（2）若M是线段OA上的点，且△COM的面积为24，求直线CM的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设E是射线CM上的点，在平面内是否存在点F，使以O、C、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：∵直线l1：y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，
令x＝0，则y＝8，
∴C（0，8），
令y＝0，则﹣x+8＝0，
∴x＝16，
∴B（16，0），
联立直线l1和直线l2得，，解得，，
∴A（，），
故答案为（，），（16，0），（0，8）；
（2）∵点M在线段OA上，且直线OA的解析式为y＝x，设M（m，m）（m＞0），
∵△COM的面积为24，
∴S△COM＝×8×m＝24，
∴m＝6，
∴M（6，2），
设直线CM的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CM的解析式为y＝﹣x+8，
（3）如图，
①CE是菱形的对角线时，由（2）知，直线CM的解析式为y＝﹣x+8，
令y＝0，则﹣x+8＝0，
∴x＝8，
∴E'（8，0），
∵四边形OCF'E'是菱形，
∴E'F'＝OB＝8，
∴∠OCE'＝45°，OC＝OE'，
过点C作CF'∥x轴，过点E'作E'F'∥y轴相交于F'，
．∴F'（8，8），
②CE为菱形的边时，∵四边形OCF'E'是菱形；
在射线CM上取一点E使CE＝OC，
∵四边形OECF是菱形，
∴CE＝OE，
∴点E是OC的垂直平分线，
当y＝4时，﹣x+8＝4，
∴E（4，4），
∴F（﹣4，4），
同理，F''（4，﹣4），
即：满足条件的点F的坐标为（﹣4，4），（4，﹣4），（8，8）．
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