2019-2020学年广东省河源市高二下学期期末数学试卷 （Word解析版）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年广东省河源市高二下学期期末数学试卷 （Word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1020.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-07 21:19:58 | ||
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文档简介
2019-2020学年广东省河源市高二第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．已知全集U＝{x∈Z|0≤x≤4}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{0，2，4}，则?U（A∩B）＝（ ）
A．{1，3} B．{0，1，3} C．{0，4} D．{0，1，2，3，4}
2．若（2﹣mi）（3﹣2i）（m∈R）是纯虚数，则m＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知a＝lg2，b＝ln2，c＝e，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
4．已知直线m，n和平面α，且n?α，那么“m∥α”是“m∥n”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（1﹣x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．16
6．已知数列{an}为等比数列，若a3＝1，a9＝125，则a5＝（ ）
A．±5 B．25 C． D．5
7．港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩短．为了解实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[35，50]内，按通行时间分为[35，38），[38，41），[41，44），[44，47），[47，50]五组，其中通行时间在[38，47）的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则n＝（ ）
A．280 B．260 C．250 D．200
8．已知函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
9．已知向量，满足||＝3||，?＝6，＜，＞＝，则||＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，D为C1B1的中点，则异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．函数y＝（|x|﹣1）ln|x|的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知离心率为的椭圆+y2＝1（m＞1）的左、右顶点分别为A，B，点P为该椭圆上一点，且P在第一象限，直线AP与直线x＝4交于点C，直线BP与直线x＝4交于点D，若|CD|＝，则直线AP的斜率为（ ）
A．或 B． C．或 D．或
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知函数f（x）＝Asin（πx﹣3）+2的最小正周期为A，则f（x）的最大值为 ．
14．若双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的浙近线方程为y＝±7x，则b＝ ．
15．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝﹣f（x），且当0＜x≤1时，f（x）＝2x2﹣log8x，则f（47）＝ ．
16．如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当n越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为 ，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答，）
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2+kn+k．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．
（1）若△ABC的外接圆半径为，求b；
（2）若b＝4，a+c＝6，求△ABC的面积．
19．在某公司举行的年会中，为了表彰年度优秀员工，该公司特意设置了二个抽奖环节，其规则如下，一个不透明的箱子中装有形状、大小相同的两个红色小球和四个绿色小球，从箱子中一次取出两个小球，同色奖励，不同色不奖励，一名优秀员工仅有一次抽奖机会若取出的两个均为红色，奖励2000元；若两个均为绿色，奖励1000元．
（1）求优秀员工小张获得2000元的概率；
（2）若一对夫妻均为年度优秀员工，求这对夫妻获得的奖励总金额X的分布列和数学期望．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，E为侧棱PA上一点，且AE＝2PE，AP＝3，AB＝BC＝2，AD＝4．
（1）证明：PC∥平面BDE．
（2）求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值．
21．已知直线y＝kx﹣3（k＞1）与抛物线C；x2＝﹣4y相交于A，B两点，且线段AB的中点为D（x0，y0）．
（1）证明：y0＜﹣5．
（2）过D作x轴的垂线，垂足为E，过E作直线AB的垂线，交C于M，N两点，求|MN|的取值范围．
22．已知函数f（x）＝（x﹣m）ex﹣m．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若xlnx＜e对x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知全集U＝{x∈Z|0≤x≤4}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{0，2，4}，则?U（A∩B）＝（ ）
A．{1，3} B．{0，1，3} C．{0，4} D．{0，1，2，3，4}
解：∵全集U＝{x∈Z|0≤x≤4}＝{0，1，2，3，4}，
集合A＝{1，2，3，4}，B＝{0，2，4}，
∴A∩B＝{2，4}，
∴?U（A∩B）＝{0，1，3}．
故选：B．
2．若（2﹣mi）（3﹣2i）（m∈R）是纯虚数，则m＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：∵（2﹣mi）（3﹣2i）＝（6﹣2m）﹣（3m+4）i是纯虚数，
∴，即m＝3．
故选：D．
3．已知a＝lg2，b＝ln2，c＝e，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解：∵0＝lg1＜a＝lg2＜b＝ln2＜lne＝1，
c＝e＞e0＝1，
∴a＜b＜c．
故选：A．
4．已知直线m，n和平面α，且n?α，那么“m∥α”是“m∥n”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：直线m，n，平面α，n?α，
“m∥α”?“m与n平行或异面”，
“m∥n”?“m与α平行或m?α”，
∴“m∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5．（1﹣x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．16
解：展开式的通项公式为Tk+1＝C（x）k，
令k＝3，则T4＝C（x）3＝﹣8x3，
则x3的系数为﹣8，
故选：A．
6．已知数列{an}为等比数列，若a3＝1，a9＝125，则a5＝（ ）
A．±5 B．25 C． D．5
解：设等比数列{an}的公比为q，∵a3＝1，a9＝125，
∴1×q6＝125，解得q2＝5．
∴a5＝＝5．
故选：D．
7．港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩短．为了解实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[35，50]内，按通行时间分为[35，38），[38，41），[41，44），[44，47），[47，50]五组，其中通行时间在[38，47）的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则n＝（ ）
A．280 B．260 C．250 D．200
解：由题意可知，通行时间在[38，47）的频率为1﹣（0.01+0.02）×3＝0.91，
所以，解得n＝200．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
解：函数f（x）＝，f′（x）＝，
故f′（1）＝，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为．
故选：C．
9．已知向量，满足||＝3||，?＝6，＜，＞＝，则||＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
解：因为?＝cos＜，＞＝||?||?cos＝6，所以||＝6．
故选：D．
10．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，D为C1B1的中点，则异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，过点D作DF∥A1C1，交A1B1于点F，
则∠ADF为异面直线A1C1与AD所成角（或所成角的补角），
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，D为C1B1的中点，
∴由题意知AD＝＝，DF＝＝，AF＝＝，
∴异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为：
cos∠ADF＝＝＝．
故选：C．
11．函数y＝（|x|﹣1）ln|x|的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
解：根据题意，f（x）＝（|x|﹣1）ln|x|，有f（﹣x）＝（|x|﹣1）ln|x|＝f（x），
即函数y＝（|x|﹣1）ln|x|为偶函数，排除A选项；
当0＜x＜1时，ln|x|＜0，|x|﹣1＜0，所以y＝（|x|﹣1）ln|x|＞0，排除B选项；
当x＞1时，y＝（x﹣1）lnx，，所以函数y＝（|x|﹣1）ln|x|在（1，+∞）上单调递增，排除D选项．
故选：C．
12．已知离心率为的椭圆+y2＝1（m＞1）的左、右顶点分别为A，B，点P为该椭圆上一点，且P在第一象限，直线AP与直线x＝4交于点C，直线BP与直线x＝4交于点D，若|CD|＝，则直线AP的斜率为（ ）
A．或 B． C．或 D．或
解：由，得m＝9．
设p（x0，y0），则．
设kPA＝k（0＜k＜），则，直线AP的方程为y＝k（x+3），则C的坐标（4，7k）．
直线BP的方程为y＝，则D坐标（4，）．
所以|CD|＝7k+，解得k＝（舍去）或．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知函数f（x）＝Asin（πx﹣3）+2的最小正周期为A，则f（x）的最大值为 4 ．
解：∵函数f（x）＝Asin（πx﹣3）+2的最小正周期为A，
∴A＝＝2，
∴f（x）＝2sin（πx﹣3）+2的最大值为4．
故答案为：4．
14．若双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的浙近线方程为y＝±7x，则b＝ 7 ．
解：双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的浙近线方程为y＝±7x，
可得b＝7．
故答案为：7．
15．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝﹣f（x），且当0＜x≤1时，f（x）＝2x2﹣log8x，则f（47）＝ ﹣2 ．
解：∵函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数是奇函数，
f（x+2）＝﹣f（x）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
所以函数的周期为4，
当0＜x≤1时，f（x）＝2x2﹣log8x，
则f（47）＝f（12×4﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）
＝﹣（2×12﹣log81）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当n越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为 8π ，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为 ．
解：设圆柱的底面半径为r，高h，外接球半径R，则2rh＝8即hr＝4，
所以圆柱的侧面积为2πrh＝8π，
R2＝≥rh＝4即R≥2，当且仅当r＝＝2时取等号，
此时外接球的表面积最小V＝＝．
故答案为：8π；．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答，）
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2+kn+k．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，则
Sn＝n2+（a1﹣）n＝2n2+kn+k．
故，解得．
∴数列{an}的通项公式为an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．
（2）由（1）知，
bn＝＝＝?（﹣）．
故Tn＝b1+b2+…+bn
＝?（1﹣）+?（﹣）+…+?（﹣）
＝?（1﹣+﹣+…+﹣）
＝?（1﹣）
＝．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．
（1）若△ABC的外接圆半径为，求b；
（2）若b＝4，a+c＝6，求△ABC的面积．
解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝＝＝，
由正弦定理可得＝，
∴cos＝sinB＝2sincos，
∵cos≠0，
∴sin＝，
∴＝或＝，（舍去），
∴B＝，
∵△ABC的外接圆半径为，
∴＝2R＝2，
∴b＝2×＝3，
（2）由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac，
即16＝36﹣3ac，
∴ac＝，
∴S△ABC＝acsinB＝××＝．
19．在某公司举行的年会中，为了表彰年度优秀员工，该公司特意设置了二个抽奖环节，其规则如下，一个不透明的箱子中装有形状、大小相同的两个红色小球和四个绿色小球，从箱子中一次取出两个小球，同色奖励，不同色不奖励，一名优秀员工仅有一次抽奖机会若取出的两个均为红色，奖励2000元；若两个均为绿色，奖励1000元．
（1）求优秀员工小张获得2000元的概率；
（2）若一对夫妻均为年度优秀员工，求这对夫妻获得的奖励总金额X的分布列和数学期望．
解：（1）记“小张获得2000元”为事件A，
取出两个小球共有＝15种情况，
其中两个小球均为红色共有＝1种情况，
∴优秀员工小张获得2000元的概率为p（A）＝．
（2）记“一名员工中奖1000元”为事件B，“一名员工不中奖”为事件C，
则P（B）＝＝，
P（C）＝1﹣P（A）﹣P（B）＝，
由题知X所有的可能取值为0，1000，2000，3000，4000，
则P（X＝0）＝P（C）P（C）＝＝，
P（X＝1000）＝2P（B）P（C）＝2×＝，
P（X＝2000）＝2P（A）P（C）+P（B）P（B）＝+＝，
P（X＝3000）＝2P（A）P（B）＝2×＝，
P（X＝4000）＝P（A）P（A）＝，
∴X的分布列为：
X 0 1000 2000 3000 4000
P
E（X）＝+＝．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，E为侧棱PA上一点，且AE＝2PE，AP＝3，AB＝BC＝2，AD＝4．
（1）证明：PC∥平面BDE．
（2）求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值．
解：（1）证明：连结AC，交BD于点F，连结EF，
∵BC∥AD，∴△BFC∽△DFA，∴，
∵＝2．∴，∴EF∥PC，
∵EF?平面BDE，PC?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，
则B（2，0，0），D（0，4，0），C（2，2，0），P（0，0，3），E（0，0，2），
则＝（﹣2，2，0），＝（0，4，﹣3），＝（﹣2，4，0），＝（0，4，﹣2），
设平面PCD的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝3，得＝（3，3，4），
设平面BDE的法向量＝（a，b，c），
则，取b＝1，得＝（2，1，2），
cos＜＞＝＝＝．
∴平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值为．
21．已知直线y＝kx﹣3（k＞1）与抛物线C；x2＝﹣4y相交于A，B两点，且线段AB的中点为D（x0，y0）．
（1）证明：y0＜﹣5．
（2）过D作x轴的垂线，垂足为E，过E作直线AB的垂线，交C于M，N两点，求|MN|的取值范围．
解：（1）证明：由，可得x2+4kx﹣12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣4k，
可得x0＝＝﹣2k，y0＝kx0﹣3＝﹣2k2﹣3，
因为k＞1，所以y0＜﹣5；
（2）由题意，可得E的坐标为（﹣2k，0），
直线MN的方程为y＝﹣（x+2k）即y＝﹣x﹣2，
由可，得x2﹣x﹣8＝0，
设M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4＝，x3x4＝﹣8，
△＝+32＞0恒成立，
|MN|＝?＝＝4，
由k＞1，所以0＜＜1，则2＜++2＜6，
故|MN|的取值范围是（4，4）．
22．已知函数f（x）＝（x﹣m）ex﹣m．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若xlnx＜e对x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．
解：（1）由f（x）＝（x﹣m）ex﹣m，得f′（x）＝（x﹣m+1）ex﹣m．
令f′（x）＜0，得x＜m﹣1，令f′（x）＞0，得x＞m﹣1．
∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，m﹣1），单调递增区间为（m﹣1，+∞）；
（2）当m＝0时，f（x）＝xex，由（1）知，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
xlnx＜e对x∈（1，+∞）恒成立，
即elnx?lnx＜e对x∈（1，+∞）恒成立，
当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，x2＞0，
当a＜0时，不等式elnx?lnx＜e显然不成立．
故a＞0．
∴＞0，则lnx＜，即a＜．
设函数g（x）＝（x＞1），则g′（x）＝（x＞1）．
当1＜x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0，
∴．
故0＜a＜2e．
即a的取值范围是（0，2e）．
一、选择题（共12小题）.
1．已知全集U＝{x∈Z|0≤x≤4}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{0，2，4}，则?U（A∩B）＝（ ）
A．{1，3} B．{0，1，3} C．{0，4} D．{0，1，2，3，4}
2．若（2﹣mi）（3﹣2i）（m∈R）是纯虚数，则m＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知a＝lg2，b＝ln2，c＝e，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
4．已知直线m，n和平面α，且n?α，那么“m∥α”是“m∥n”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（1﹣x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．16
6．已知数列{an}为等比数列，若a3＝1，a9＝125，则a5＝（ ）
A．±5 B．25 C． D．5
7．港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩短．为了解实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[35，50]内，按通行时间分为[35，38），[38，41），[41，44），[44，47），[47，50]五组，其中通行时间在[38，47）的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则n＝（ ）
A．280 B．260 C．250 D．200
8．已知函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
9．已知向量，满足||＝3||，?＝6，＜，＞＝，则||＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，D为C1B1的中点，则异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．函数y＝（|x|﹣1）ln|x|的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知离心率为的椭圆+y2＝1（m＞1）的左、右顶点分别为A，B，点P为该椭圆上一点，且P在第一象限，直线AP与直线x＝4交于点C，直线BP与直线x＝4交于点D，若|CD|＝，则直线AP的斜率为（ ）
A．或 B． C．或 D．或
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知函数f（x）＝Asin（πx﹣3）+2的最小正周期为A，则f（x）的最大值为 ．
14．若双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的浙近线方程为y＝±7x，则b＝ ．
15．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝﹣f（x），且当0＜x≤1时，f（x）＝2x2﹣log8x，则f（47）＝ ．
16．如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当n越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为 ，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答，）
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2+kn+k．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．
（1）若△ABC的外接圆半径为，求b；
（2）若b＝4，a+c＝6，求△ABC的面积．
19．在某公司举行的年会中，为了表彰年度优秀员工，该公司特意设置了二个抽奖环节，其规则如下，一个不透明的箱子中装有形状、大小相同的两个红色小球和四个绿色小球，从箱子中一次取出两个小球，同色奖励，不同色不奖励，一名优秀员工仅有一次抽奖机会若取出的两个均为红色，奖励2000元；若两个均为绿色，奖励1000元．
（1）求优秀员工小张获得2000元的概率；
（2）若一对夫妻均为年度优秀员工，求这对夫妻获得的奖励总金额X的分布列和数学期望．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，E为侧棱PA上一点，且AE＝2PE，AP＝3，AB＝BC＝2，AD＝4．
（1）证明：PC∥平面BDE．
（2）求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值．
21．已知直线y＝kx﹣3（k＞1）与抛物线C；x2＝﹣4y相交于A，B两点，且线段AB的中点为D（x0，y0）．
（1）证明：y0＜﹣5．
（2）过D作x轴的垂线，垂足为E，过E作直线AB的垂线，交C于M，N两点，求|MN|的取值范围．
22．已知函数f（x）＝（x﹣m）ex﹣m．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若xlnx＜e对x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知全集U＝{x∈Z|0≤x≤4}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{0，2，4}，则?U（A∩B）＝（ ）
A．{1，3} B．{0，1，3} C．{0，4} D．{0，1，2，3，4}
解：∵全集U＝{x∈Z|0≤x≤4}＝{0，1，2，3，4}，
集合A＝{1，2，3，4}，B＝{0，2，4}，
∴A∩B＝{2，4}，
∴?U（A∩B）＝{0，1，3}．
故选：B．
2．若（2﹣mi）（3﹣2i）（m∈R）是纯虚数，则m＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：∵（2﹣mi）（3﹣2i）＝（6﹣2m）﹣（3m+4）i是纯虚数，
∴，即m＝3．
故选：D．
3．已知a＝lg2，b＝ln2，c＝e，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解：∵0＝lg1＜a＝lg2＜b＝ln2＜lne＝1，
c＝e＞e0＝1，
∴a＜b＜c．
故选：A．
4．已知直线m，n和平面α，且n?α，那么“m∥α”是“m∥n”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：直线m，n，平面α，n?α，
“m∥α”?“m与n平行或异面”，
“m∥n”?“m与α平行或m?α”，
∴“m∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5．（1﹣x）4的展开式中x3的系数为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣16 D．16
解：展开式的通项公式为Tk+1＝C（x）k，
令k＝3，则T4＝C（x）3＝﹣8x3，
则x3的系数为﹣8，
故选：A．
6．已知数列{an}为等比数列，若a3＝1，a9＝125，则a5＝（ ）
A．±5 B．25 C． D．5
解：设等比数列{an}的公比为q，∵a3＝1，a9＝125，
∴1×q6＝125，解得q2＝5．
∴a5＝＝5．
故选：D．
7．港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩短．为了解实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[35，50]内，按通行时间分为[35，38），[38，41），[41，44），[44，47），[47，50]五组，其中通行时间在[38，47）的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则n＝（ ）
A．280 B．260 C．250 D．200
解：由题意可知，通行时间在[38，47）的频率为1﹣（0.01+0.02）×3＝0.91，
所以，解得n＝200．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
解：函数f（x）＝，f′（x）＝，
故f′（1）＝，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为．
故选：C．
9．已知向量，满足||＝3||，?＝6，＜，＞＝，则||＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
解：因为?＝cos＜，＞＝||?||?cos＝6，所以||＝6．
故选：D．
10．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，D为C1B1的中点，则异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，过点D作DF∥A1C1，交A1B1于点F，
则∠ADF为异面直线A1C1与AD所成角（或所成角的补角），
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，D为C1B1的中点，
∴由题意知AD＝＝，DF＝＝，AF＝＝，
∴异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为：
cos∠ADF＝＝＝．
故选：C．
11．函数y＝（|x|﹣1）ln|x|的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
解：根据题意，f（x）＝（|x|﹣1）ln|x|，有f（﹣x）＝（|x|﹣1）ln|x|＝f（x），
即函数y＝（|x|﹣1）ln|x|为偶函数，排除A选项；
当0＜x＜1时，ln|x|＜0，|x|﹣1＜0，所以y＝（|x|﹣1）ln|x|＞0，排除B选项；
当x＞1时，y＝（x﹣1）lnx，，所以函数y＝（|x|﹣1）ln|x|在（1，+∞）上单调递增，排除D选项．
故选：C．
12．已知离心率为的椭圆+y2＝1（m＞1）的左、右顶点分别为A，B，点P为该椭圆上一点，且P在第一象限，直线AP与直线x＝4交于点C，直线BP与直线x＝4交于点D，若|CD|＝，则直线AP的斜率为（ ）
A．或 B． C．或 D．或
解：由，得m＝9．
设p（x0，y0），则．
设kPA＝k（0＜k＜），则，直线AP的方程为y＝k（x+3），则C的坐标（4，7k）．
直线BP的方程为y＝，则D坐标（4，）．
所以|CD|＝7k+，解得k＝（舍去）或．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知函数f（x）＝Asin（πx﹣3）+2的最小正周期为A，则f（x）的最大值为 4 ．
解：∵函数f（x）＝Asin（πx﹣3）+2的最小正周期为A，
∴A＝＝2，
∴f（x）＝2sin（πx﹣3）+2的最大值为4．
故答案为：4．
14．若双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的浙近线方程为y＝±7x，则b＝ 7 ．
解：双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的浙近线方程为y＝±7x，
可得b＝7．
故答案为：7．
15．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝﹣f（x），且当0＜x≤1时，f（x）＝2x2﹣log8x，则f（47）＝ ﹣2 ．
解：∵函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数是奇函数，
f（x+2）＝﹣f（x）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
所以函数的周期为4，
当0＜x≤1时，f（x）＝2x2﹣log8x，
则f（47）＝f（12×4﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）
＝﹣（2×12﹣log81）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当n越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为 8π ，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为 ．
解：设圆柱的底面半径为r，高h，外接球半径R，则2rh＝8即hr＝4，
所以圆柱的侧面积为2πrh＝8π，
R2＝≥rh＝4即R≥2，当且仅当r＝＝2时取等号，
此时外接球的表面积最小V＝＝．
故答案为：8π；．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答，）
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2+kn+k．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，则
Sn＝n2+（a1﹣）n＝2n2+kn+k．
故，解得．
∴数列{an}的通项公式为an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．
（2）由（1）知，
bn＝＝＝?（﹣）．
故Tn＝b1+b2+…+bn
＝?（1﹣）+?（﹣）+…+?（﹣）
＝?（1﹣+﹣+…+﹣）
＝?（1﹣）
＝．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．
（1）若△ABC的外接圆半径为，求b；
（2）若b＝4，a+c＝6，求△ABC的面积．
解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝＝＝，
由正弦定理可得＝，
∴cos＝sinB＝2sincos，
∵cos≠0，
∴sin＝，
∴＝或＝，（舍去），
∴B＝，
∵△ABC的外接圆半径为，
∴＝2R＝2，
∴b＝2×＝3，
（2）由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac，
即16＝36﹣3ac，
∴ac＝，
∴S△ABC＝acsinB＝××＝．
19．在某公司举行的年会中，为了表彰年度优秀员工，该公司特意设置了二个抽奖环节，其规则如下，一个不透明的箱子中装有形状、大小相同的两个红色小球和四个绿色小球，从箱子中一次取出两个小球，同色奖励，不同色不奖励，一名优秀员工仅有一次抽奖机会若取出的两个均为红色，奖励2000元；若两个均为绿色，奖励1000元．
（1）求优秀员工小张获得2000元的概率；
（2）若一对夫妻均为年度优秀员工，求这对夫妻获得的奖励总金额X的分布列和数学期望．
解：（1）记“小张获得2000元”为事件A，
取出两个小球共有＝15种情况，
其中两个小球均为红色共有＝1种情况，
∴优秀员工小张获得2000元的概率为p（A）＝．
（2）记“一名员工中奖1000元”为事件B，“一名员工不中奖”为事件C，
则P（B）＝＝，
P（C）＝1﹣P（A）﹣P（B）＝，
由题知X所有的可能取值为0，1000，2000，3000，4000，
则P（X＝0）＝P（C）P（C）＝＝，
P（X＝1000）＝2P（B）P（C）＝2×＝，
P（X＝2000）＝2P（A）P（C）+P（B）P（B）＝+＝，
P（X＝3000）＝2P（A）P（B）＝2×＝，
P（X＝4000）＝P（A）P（A）＝，
∴X的分布列为：
X 0 1000 2000 3000 4000
P
E（X）＝+＝．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，E为侧棱PA上一点，且AE＝2PE，AP＝3，AB＝BC＝2，AD＝4．
（1）证明：PC∥平面BDE．
（2）求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值．
解：（1）证明：连结AC，交BD于点F，连结EF，
∵BC∥AD，∴△BFC∽△DFA，∴，
∵＝2．∴，∴EF∥PC，
∵EF?平面BDE，PC?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，
则B（2，0，0），D（0，4，0），C（2，2，0），P（0，0，3），E（0，0，2），
则＝（﹣2，2，0），＝（0，4，﹣3），＝（﹣2，4，0），＝（0，4，﹣2），
设平面PCD的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝3，得＝（3，3，4），
设平面BDE的法向量＝（a，b，c），
则，取b＝1，得＝（2，1，2），
cos＜＞＝＝＝．
∴平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值为．
21．已知直线y＝kx﹣3（k＞1）与抛物线C；x2＝﹣4y相交于A，B两点，且线段AB的中点为D（x0，y0）．
（1）证明：y0＜﹣5．
（2）过D作x轴的垂线，垂足为E，过E作直线AB的垂线，交C于M，N两点，求|MN|的取值范围．
解：（1）证明：由，可得x2+4kx﹣12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣4k，
可得x0＝＝﹣2k，y0＝kx0﹣3＝﹣2k2﹣3，
因为k＞1，所以y0＜﹣5；
（2）由题意，可得E的坐标为（﹣2k，0），
直线MN的方程为y＝﹣（x+2k）即y＝﹣x﹣2，
由可，得x2﹣x﹣8＝0，
设M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4＝，x3x4＝﹣8，
△＝+32＞0恒成立，
|MN|＝?＝＝4，
由k＞1，所以0＜＜1，则2＜++2＜6，
故|MN|的取值范围是（4，4）．
22．已知函数f（x）＝（x﹣m）ex﹣m．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若xlnx＜e对x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．
解：（1）由f（x）＝（x﹣m）ex﹣m，得f′（x）＝（x﹣m+1）ex﹣m．
令f′（x）＜0，得x＜m﹣1，令f′（x）＞0，得x＞m﹣1．
∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，m﹣1），单调递增区间为（m﹣1，+∞）；
（2）当m＝0时，f（x）＝xex，由（1）知，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
xlnx＜e对x∈（1，+∞）恒成立，
即elnx?lnx＜e对x∈（1，+∞）恒成立，
当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，x2＞0，
当a＜0时，不等式elnx?lnx＜e显然不成立．
故a＞0．
∴＞0，则lnx＜，即a＜．
设函数g（x）＝（x＞1），则g′（x）＝（x＞1）．
当1＜x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0，
∴．
故0＜a＜2e．
即a的取值范围是（0，2e）．
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