(共22张PPT)
五常市私立万宝中学
教师:吴祥贵
13.3.1角平分线的性质(1)
★ 什么是角的平分线?怎样画一个角的平分线?
B
O
A
C
如图,AB=AD,BC=DC, 沿着AC画一条射线AE, AE就是∠BAC的角平分线, 你知道为什么吗?
D
·
·
·
·
C
B
A
E
2、证明:
在△ACD和△ACB中
AD=AB(已知)
DC=BC(已知)
CA=CA(公共边)
∴ △ACD≌ △ACB(SSS)
∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的
对应边相等)
∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)
A
D
B
C
E
2.分别以M,N为圆心.大于 MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.
如何用尺规做一个角的平分线?
A
B
O
M
N
C
作法:
1.以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.
3.作射线oC .
则射线OC即为所求.
1〉平分平角∠AOB
2〉通过上面的步骤,得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?
3〉结论:作平角的平分线即可平分平角,由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
A
B
O
C
D
探究角平分线的性质
(1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明:∵OC平分∠ AOB (已知)
∴ ∠1= ∠2(角平分线的定义)
∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB(已知)
∴ ∠PDO= ∠PEO(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO(已证)
∠1= ∠2 (已证)
OP=OP (公共边)
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS)
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
P
A
O
B
C
E
D
1
2
已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E
求证: PD=PE
探究角平分线的性质
(3)验证猜想
角平分线上的点到角两边的距离相等。
利用此性质怎样书写推理过程
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA, PE ⊥ OB(已知)
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
P
A
O
B
C
E
D
1
2
角平分线的性质:
如图:在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF; 求证:CF=EB
A
C
D
E
B
F
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
试试自己写证明。你一定行!
回味无穷
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
用尺规作角的平分线.
小结 拓展
B
A
O
P
D
E
c
1.角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点,在这个角平
分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.
探索2
将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论
O
A
B
A
O
B
E
D
操作测量题:
OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点,
1. 操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三次数据填入下表:
2. 观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,
写出结论:____________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
结论:在角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设:一个点在一个角的平分线上
结论:它到角的两边的距离相等
已知:OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD ⊥OA ,PE ⊥OB,垂足分别是D、E.
求证:PD=PE.
A
O
B
P
E
D
如图,要在S区建一全集贸市场,使它到公路,铁路的距离相等,离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建于何处?
做一做
驶向胜利的彼岸
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
老师期望:
做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
B
A
E
D
C
F
回味无穷
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
用尺规作角的平分线.
小结 拓展
O
C
B
1
A
2
P
D
E
独立作业
1
驶向胜利的彼岸
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线.
老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
你发现了什么?