11.4角平分线的性质1

(共15张PPT)
五常私立万宝中学
教师：吴祥贵
人教版八年级数学上
11.4.1角平分线的性质（1）
A
D
B
C
E
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
A
O
B
C
活
动
1
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（对折）
1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗
活
动
2
A
D
B
C
E
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的
对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
D
B
C
E
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
A
B
C
E
活
动
3
N
O
M
C
E
N
M
1〉平分平角∠AOB
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
活
动
4
A
B
O
C
D
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
活
动
5
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
P
A
O
B
C
E
D
1
2
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE
探究角平分线的性质
活
动
5
(3)验证猜想
角平分线上的点到角两边的距离相等。
(4)得到角平分线的性质：
活
动
5
利用此性质怎样书写推理过程
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
P
A
O
B
C
E
D
1
2
活
如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
A
C
D
E
B
F
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
试试自己写证明。你一定行！
一、过程小结：
情境→观察→作图→应用→探究→再应用
二、知识小结：
本节课学习了那些知识？有哪些运用？你学了吗？做了吗？用了吗？
1.角平分线的性质定理：
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平
分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.