中考数学专题复习之一 数形结合思想
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(共28张PPT)
数形结合思想
余金耀
中考专题复习之一
一. 数学思想方法的三个层次:
数学思想和方法
数学一般方法
逻辑学中的方法(或思维方法)
数学思想方法
配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等
分析法、综合法、归纳法、反证法等
函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等
二、数形结合思想---图形帮助解题
数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，华罗庚先生说过:“数与形本是两依倚,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观, 形少数时难入微.”.数形结合思想是一种重要的解题思想，用这种思想指导，一些几何问题可以用代数方法来处理，一些代数问题又可以用几何图形帮助解决，下面主要讲如何用图形帮助解题，这也是中考命题中主要考查的一个内容．
数 无 形 时 不 直 观
形 无 数 时 难 入 微
华罗庚教授
数形结合思想最明显地表现是利用直角坐标系将几何问题与代数问题结合联系起来，“以形助数，用数解形”。这种思想是近年来中考的热点之一，也是中考的高档题。
例1：丁俊辉在今年的世界台球（中国）公开赛中获得冠军，这是中国人在这一项目上的首个冠军。如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将7号球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证∠1为 ( )A．30° B．45° C．60° D．75°
7
C
例2：(2004年安徽）“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点…，用
分别表示乌龟和兔子所行的路程，t
表示时间，则下列图象中，与故事情节相吻合的是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
S
S
S
S
t
t
t
t
D
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
例3：如图中的图象(折线ABCDE)描述了一汽车在某一直路上的
行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间
的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶120千米；
②汽车在行驶途中停留了0.5小时；
③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 千米/时；
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减小.
其中正确的说法共有 ( )
A
例4：下列选项中，（ ）的解集如图所示。
A、 B、
C、 D、
– 1
– 7
C
利用数轴解绝对值、不等式（组）等问题
例5：试比较 与 的大小
x
y
0
1
-1
1
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( )
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0
(D)a－b＋c＞0
x
y
O
D
看看我
掌握得如何？
2 无论m为何实数，直线y＝x＋2m与y＝－x＋4的交点不可能在 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
x
y
O
y＝－x＋4
3 已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2,4)，B(8,2)（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是＿＿＿＿＿
x
y
O
y2
y1
A
B
x＜－2或x＞8
－2
8
4 某市民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）。若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池
外？
x
y
O
P
A
水平面
3
4
1
B
5． 已知一次函数y＝3x/2＋m和
y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
解：∵一次函数y＝3x/2＋m和y＝﹣x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0）
∴0＝3×(﹣2)/2＋m，
0＝﹣(﹣2)/2＋n
∴m＝3，n＝﹣1
∴两个一次函数解析式分别为
y＝3x/2＋3， y＝﹣x/2－1
∴它们与y轴的交点为B(0,3)C(0,﹣1)
x
O
y
∴画出草图，如图，
BC＝∣3－（﹣1）∣＝4，AO＝2
A
B
C
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
Q＝42－6t
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿＿＿＿＿＿
此函数自变量t的
取值范围是
＿＿＿＿＿＿＿
5
0≤t≤5
(3)中途加油＿＿升
24
(4)如果加油站离
目的地还有230公里，
车速为40公里/小时，
要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 .
7、思考题：
已知：如图，直线y＝－√3 x/3＋1和x轴、y轴分别相交于A、B两点，以线段AB为边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P在第一象限内，且使△ABP与△ABC的面积相等。（1）求C点坐标；
（2）求直线PC的解析式；
（3）若点Q的坐标为
(√3 m,m2－3),问点Q在
不在直线上？
x
y
O
B
D
C
P
A
E
8：如图，如果士 所在位置的坐标为(-1,-2), 相所在位置的坐标为 那么，马可以走的位置的坐标为 .
帅
士
相
马
A
B
C
D
9：（2004江西）右图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子.我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步.已知点A为已方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（ ）
C
B
E
D
F
G
1、（1）已知平面直角坐标系中第一象限有一 点P（m,n)则P点到O点的距离是多少？ 用m,n代数式表示
（2）证明 < m+n
2.已知 ，以
， 为一个三角形的三条边，
求该三角形的面积。
拓展思考
3．如图，∠APD＝900，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是（ ）
A ΔPAB∽ΔPCA B ΔPAB∽ΔPDA
C ΔABC ∽ ΔDBA
D ΔABC∽ΔDCA
小结：
谈到“数形结合”，大多与函数问题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从“数”和“形”两方面反映了函数的性质，
函数的解析式是从数量关系上反映量与量之间的联系；
函数图象则直观地反映了函数的各种性质，使抽象的函数关系得到了形象的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与图形之间相互转化来解决数学问题的思想.
“数”与“形”是相互联系的.
数轴与直角坐标系的建立，为“数”与“形”的沟通提供了工具，使抽象的数量关系有了形象直观的几何意义，而直观图象的性质也常可用数量关系加以精确地描述.
1、试判断a , b , c 的符号
1
-1
2、点（b , 2a-b）在第 象限
3、若M=
则 （ ）
A、M > 0 B、M = 0
C、M < 0 D、不能确定
运用数形结合的方法，将
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
例6：已知二次函数
的图象如图所示
0
x
y
二
C
数形结合思想
余金耀
中考专题复习之一
一. 数学思想方法的三个层次:
数学思想和方法
数学一般方法
逻辑学中的方法(或思维方法)
数学思想方法
配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等
分析法、综合法、归纳法、反证法等
函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等
二、数形结合思想---图形帮助解题
数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，华罗庚先生说过:“数与形本是两依倚,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观, 形少数时难入微.”.数形结合思想是一种重要的解题思想，用这种思想指导，一些几何问题可以用代数方法来处理，一些代数问题又可以用几何图形帮助解决，下面主要讲如何用图形帮助解题，这也是中考命题中主要考查的一个内容．
数 无 形 时 不 直 观
形 无 数 时 难 入 微
华罗庚教授
数形结合思想最明显地表现是利用直角坐标系将几何问题与代数问题结合联系起来，“以形助数，用数解形”。这种思想是近年来中考的热点之一，也是中考的高档题。
例1：丁俊辉在今年的世界台球（中国）公开赛中获得冠军，这是中国人在这一项目上的首个冠军。如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将7号球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证∠1为 ( )A．30° B．45° C．60° D．75°
7
C
例2：(2004年安徽）“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点…，用
分别表示乌龟和兔子所行的路程，t
表示时间，则下列图象中，与故事情节相吻合的是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
S
S
S
S
t
t
t
t
D
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
例3：如图中的图象(折线ABCDE)描述了一汽车在某一直路上的
行驶过程中，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间
的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶120千米；
②汽车在行驶途中停留了0.5小时；
③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 千米/时；
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减小.
其中正确的说法共有 ( )
A
例4：下列选项中，（ ）的解集如图所示。
A、 B、
C、 D、
– 1
– 7
C
利用数轴解绝对值、不等式（组）等问题
例5：试比较 与 的大小
x
y
0
1
-1
1
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( )
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0
(D)a－b＋c＞0
x
y
O
D
看看我
掌握得如何？
2 无论m为何实数，直线y＝x＋2m与y＝－x＋4的交点不可能在 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
x
y
O
y＝－x＋4
3 已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2,4)，B(8,2)（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是＿＿＿＿＿
x
y
O
y2
y1
A
B
x＜－2或x＞8
－2
8
4 某市民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）。若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池
外？
x
y
O
P
A
水平面
3
4
1
B
5． 已知一次函数y＝3x/2＋m和
y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
解：∵一次函数y＝3x/2＋m和y＝﹣x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0）
∴0＝3×(﹣2)/2＋m，
0＝﹣(﹣2)/2＋n
∴m＝3，n＝﹣1
∴两个一次函数解析式分别为
y＝3x/2＋3， y＝﹣x/2－1
∴它们与y轴的交点为B(0,3)C(0,﹣1)
x
O
y
∴画出草图，如图，
BC＝∣3－（﹣1）∣＝4，AO＝2
A
B
C
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
Q＝42－6t
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿＿＿＿＿＿
此函数自变量t的
取值范围是
＿＿＿＿＿＿＿
5
0≤t≤5
(3)中途加油＿＿升
24
(4)如果加油站离
目的地还有230公里，
车速为40公里/小时，
要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 .
7、思考题：
已知：如图，直线y＝－√3 x/3＋1和x轴、y轴分别相交于A、B两点，以线段AB为边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P在第一象限内，且使△ABP与△ABC的面积相等。（1）求C点坐标；
（2）求直线PC的解析式；
（3）若点Q的坐标为
(√3 m,m2－3),问点Q在
不在直线上？
x
y
O
B
D
C
P
A
E
8：如图，如果士 所在位置的坐标为(-1,-2), 相所在位置的坐标为 那么，马可以走的位置的坐标为 .
帅
士
相
马
A
B
C
D
9：（2004江西）右图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子.我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步.已知点A为已方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（ ）
C
B
E
D
F
G
1、（1）已知平面直角坐标系中第一象限有一 点P（m,n)则P点到O点的距离是多少？ 用m,n代数式表示
（2）证明 < m+n
2.已知 ，以
， 为一个三角形的三条边，
求该三角形的面积。
拓展思考
3．如图，∠APD＝900，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是（ ）
A ΔPAB∽ΔPCA B ΔPAB∽ΔPDA
C ΔABC ∽ ΔDBA
D ΔABC∽ΔDCA
小结：
谈到“数形结合”，大多与函数问题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从“数”和“形”两方面反映了函数的性质，
函数的解析式是从数量关系上反映量与量之间的联系；
函数图象则直观地反映了函数的各种性质，使抽象的函数关系得到了形象的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与图形之间相互转化来解决数学问题的思想.
“数”与“形”是相互联系的.
数轴与直角坐标系的建立，为“数”与“形”的沟通提供了工具，使抽象的数量关系有了形象直观的几何意义，而直观图象的性质也常可用数量关系加以精确地描述.
1、试判断a , b , c 的符号
1
-1
2、点（b , 2a-b）在第 象限
3、若M=
则 （ ）
A、M > 0 B、M = 0
C、M < 0 D、不能确定
运用数形结合的方法，将
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
例6：已知二次函数
的图象如图所示
0
x
y
二
C
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