§ 2.2.2 对数函数及其性质（4）——反函数的概念与求法

(共13张PPT)
§ 2.2.2 对数函数及其性质（4）
——反函数的概念与求法
永昌四中 陈瑞天
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一个学生到超市买笔记本,每个2元
(1)所用钱数y与购买个数X之间的关系式
是 _______________
(2)购买个数X与所用钱数y之间的关系式
是 _______________
y=2x (x∈N)
x=y/2
x=y/2(y∈ B)是函数吗
是
我们把 x=y/2 (y∈ B)叫做y=2x (x∈N)
的反函数.
(y∈ B) B={y | y=2n,n∈N}
问题情境
函数 y=2x x=y/2
x,y的关系
对应法则
定义域
值域
x是自变量,y是函数
自变量的2倍
N
B
B
B={y | y=2n,n∈N}
y是自变量,x是函数
自变量的1/2倍
N
探索研究
记作：x=f-1(y)
字母x、y互换，得 y=f-1(x)
一般地，函数y=f(x)(x A)中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=φ(y),如果对于 y在 C中的任何一个值，通过x= φ (y),x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= φ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x = φ (y)（y C)叫做函数y=f(x)(x A)的反函数。
1.反函数定义：
即：y=f (x)与y=f-1(x)互为反函数
对反函数定义的理解
（1）反函数也是函数，因为它是符合函数定义的；
（2）原来函数与反函数的法则互逆；它们互为反函数；
定义域
值域
原来函数y= f(x )
反函数y=f-1(x)
C
C
A
A
2.反函数与原来函数的联系
函数y=x2具有反函数吗
y=x2
y=x2本身不具有反函数,请问如何改变它的定义域使其具有反函数
反函数
反函数
A
B
1
-1
2
-2
…
1
4
…
y=x2
不是每一个函数都有反函数！
一个函数有反函数的充要条件是它相应的映射是一一映射
3.反函数存在的条件
问题：单调函数一定有反函数吗？反函数一定单调吗？
结论：单调函数必有反函数，反函数未必单调.
解：
（1）由 函数 ，解得
所以，函数 的反函数是
例1．求下列函数的反函数：
（1）
（2）
（3）
（4）
（2）由 函数 ，解得
所以，函数 的反函数是
（3）由 函数 ，解得
所以，函数 的反函数是
（4）由 函数 ，解得
所以，函数 的反函数是
（1）写出原来函数的定义域和值域
（2）由y=f（x）反解得x=f-1(y)
（3）把x、y互换
（4）写出反函数的定义域
4、求反函数的步骤：
例2.求函数y= 0 (x=0) 的反函数.
(x>0)
(x<0)
y = 0 x = 0
x – 1 x > 1
– – x – 1 x < – 1
1、求函数
的反函数
2、已知函数 的反函数是其本身，则
a= ———
-1
达标检测
1 反函数的定义
2 求反函数的步骤
3 并不是所有的函数都具有反函数
只有满足一一映射的函数才具有反函数
(1)反解出x
(2)交换x,y的位置
(3)求出原来函数的值域
作为反函数的定义域
(4)下结论
总结提炼
布置作业
1.求函数
的反函数.