§1.1.1 集合的含义与表示（1）
文档属性
| 名称 | §1.1.1 集合的含义与表示（1） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 5.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-08-22 16:06:43 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
§1.1.1 集合的含义与表示（1）
永昌四中 陈瑞天
*
新课导入
思考：自然数多还是有理数多？
了解康托尔
德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。
— 观察下列的对象：
(1) 1~20以内所有的质数
(2)我国从1991~2003年13年内所发射的所有人造卫星；
(3)金星汽车厂2003年所生产的汽车；
(4) 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家。
(5)所有的正方形。
(6)到直线L的距离等于定长d的所有点。
(7)我校今年9月入学的高一的学生全体。
请概括7个例子的特征
问题情景
1.集合的含义：
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）.
通常用大写字母A，B，C…表示集合，
用小写字母a, b，c …表示集合中的元素
元素(element)---我们把研究的对象统称为元素
集合(set)---把一些元素组成的总体叫做集合, 简称集.
探索研究
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了
（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同。
（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置
[例1] 下面各组对象能否构成集合？
（1）所有的好人；
（2）小于2003的数；
（3）和2003非常接近的数；
（4）满足x－2<8的全体实数；
（5）方程x2＋1＝0的实数解。
根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类：
1.有限集：
含有有限个元素的集合称为有限集, 特别，不含任何元素的集合称为空集,记为
2.无限集：
若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集
3、集合的分类
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。
4、集合相等
例2. 已知 M={2, a, b } , N = {a2 , 2 , 0 },且M=N
求a , b 的值。
（5）实数集：
5.常用数集及记法
（1）自然数集（非负整数集） ：
全体非负整数的集合。记作N
（2）正整数集:
非负整数集内排除0的集。记作N*或N+
（3）整数集：
全体整数的集合。记作Z
（4）有理数集
：全体有理数的集合。记作Q
全体实数的集合。记作R
如果a是集合A的元素， 就说a 属于集合A ，记作a A；
如果a不是集合A的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A。
◣ ◢
6.元素与集合的关系
例如，用A表示“ 1~20以内所有的质数”组成的集合，则有3 A，4 A，等等。
例3. 用符号“∈”或“∈”填空：
3.14＿Q；
(2) π＿Q ；
(3)0 ＿ N+
(4)0 ＿ N
(7) ＿ Q
(8) ＿ Q
(5)(-2)0 ＿ N+
(6) ＿ Z
[例4] 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
[例5] 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的条件。
能力提高题
x ≠ -1，且 x ≠0，且x ≠ 3
本节课我们学习了那些内容？
1.集合的含义
2.集合中元素的三个特性
3.集合的分类
4.集合相等
5. 常用数集及记法
6. 元素与集合的关系： ，
总结提炼
1、教材P.11.A组第1题
选做：
2、若{1，a}和{a,a2}表示同一个集合， 则a的取值为多少？
布置作业
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。
1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。
格奥尔格·康托尔
康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德） 德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。
康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。
在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷 从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。
他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。
康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。
康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。
§1.1.1 集合的含义与表示（1）
永昌四中 陈瑞天
*
新课导入
思考：自然数多还是有理数多？
了解康托尔
德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。
— 观察下列的对象：
(1) 1~20以内所有的质数
(2)我国从1991~2003年13年内所发射的所有人造卫星；
(3)金星汽车厂2003年所生产的汽车；
(4) 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家。
(5)所有的正方形。
(6)到直线L的距离等于定长d的所有点。
(7)我校今年9月入学的高一的学生全体。
请概括7个例子的特征
问题情景
1.集合的含义：
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）.
通常用大写字母A，B，C…表示集合，
用小写字母a, b，c …表示集合中的元素
元素(element)---我们把研究的对象统称为元素
集合(set)---把一些元素组成的总体叫做集合, 简称集.
探索研究
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了
（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同。
（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置
[例1] 下面各组对象能否构成集合？
（1）所有的好人；
（2）小于2003的数；
（3）和2003非常接近的数；
（4）满足x－2<8的全体实数；
（5）方程x2＋1＝0的实数解。
根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类：
1.有限集：
含有有限个元素的集合称为有限集, 特别，不含任何元素的集合称为空集,记为
2.无限集：
若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集
3、集合的分类
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。
4、集合相等
例2. 已知 M={2, a, b } , N = {a2 , 2 , 0 },且M=N
求a , b 的值。
（5）实数集：
5.常用数集及记法
（1）自然数集（非负整数集） ：
全体非负整数的集合。记作N
（2）正整数集:
非负整数集内排除0的集。记作N*或N+
（3）整数集：
全体整数的集合。记作Z
（4）有理数集
：全体有理数的集合。记作Q
全体实数的集合。记作R
如果a是集合A的元素， 就说a 属于集合A ，记作a A；
如果a不是集合A的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A。
◣ ◢
6.元素与集合的关系
例如，用A表示“ 1~20以内所有的质数”组成的集合，则有3 A，4 A，等等。
例3. 用符号“∈”或“∈”填空：
3.14＿Q；
(2) π＿Q ；
(3)0 ＿ N+
(4)0 ＿ N
(7) ＿ Q
(8) ＿ Q
(5)(-2)0 ＿ N+
(6) ＿ Z
[例4] 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
[例5] 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的条件。
能力提高题
x ≠ -1，且 x ≠0，且x ≠ 3
本节课我们学习了那些内容？
1.集合的含义
2.集合中元素的三个特性
3.集合的分类
4.集合相等
5. 常用数集及记法
6. 元素与集合的关系： ，
总结提炼
1、教材P.11.A组第1题
选做：
2、若{1，a}和{a,a2}表示同一个集合， 则a的取值为多少？
布置作业
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。
1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。
格奥尔格·康托尔
康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德） 德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。
康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。
在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷 从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。
他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。
康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。
康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。