§ 1.3.1 单调性与最大（小）值(一)——函数的单调性

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§ 1.3.1 单调性与最大（小）值(一)
——函数的单调性
永昌四中 陈瑞天
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观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？
2、随x的增大，y的值有什么变化？
探索研究
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1、从左至右图象上升还是下降 ____
2、在区间 ________上，随着x的增大，f(x)的值随着 ______ ．
f(x) = x
(-∞,+∞)
增大
上升
1、在区间 ____ 上，f(x)的值随着x的增大而 ______．
2、 在区间 _____ 上，f(x)的值随着x的增大而 _____．
f(x) = x2
(-∞,0]
(0,+∞)
增大
减小
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
一、函数单调性定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x11．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ．
2．减函数
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
注意：
2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2) 分别是增函数和减函数.
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
二．函数的单调性定义
y
o
x
o
y
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
在
增函数
在
减函数
在
增函数
在
减函数
在(-∞,+∞)是减函数
在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数
在(-∞,+∞)是增函数
在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数
y
o
x
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)上是减函数，
在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。
例2、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1由V1，V2∈ (0，+∞)且V10, V2- V1 >0
又k>0,于是
所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
取值
定号
变形
作差
结论
三．判断函数单调性的方法步骤
1 取值：任取x1，x2∈D，且x1（满足三个条件）
2 作差f(x1)－f(x2)；
3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
思考？
思考：画出反比例函数f(x)=1/x的图象．
1 这个函数的定义域是什么？
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
证明：函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1f(x1)- f(x2)=
由于x1,x2 得x1x2>0,又由x10
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2)
因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
取值
定号
变形
作差
判断
四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
必做： 课本P３９ 习题1．3（A组）
第1（不需要证明）、 2题．
五、作业
选做： 课本P３９ 习题1．3（A组） 第3题．