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专题3.1
从算式到方程
知识点解读：
知识点1．方程和一元一次方程
1.方程
（1）表示相等关系的式子叫做等式。
（2）含有未知数的等式叫做方程。方程必须具备两个条件：一是等式；二是含有未知数。
（3）方程和等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。另外，含有字母的等式也不一定是方程，如a＋b＝b＋a。
2．一元一次方程
（1）如果一个方程只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。任何一个一元一次方程变形后都可以化为ax＋b＝0（其中a≠0，a、b为常数）的形式，我们就把ax＋b＝0（其中a≠0，a、b为常数）叫做一元一次方程的标准形式，其中ax叫一次项，a叫一次项系数，b叫常数项。
（2）识别一元一次方程时，应注意以下三点：①分母中不含未知数；②方程中只能含有一个未知数；③未知数的次数是1。
知识点2．方程的解和解方程
1.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解。
2.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
3.等式的性质
（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：如果a＝b，那么a±c＝b±c。
（2）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，那么＝（c≠0）。
（3）除此之外，等式还具有：对称性（如果A＝B，则B＝A）和传递性（如果A＝B，B＝C，则A＝C）。
知识点3．列一元一次方程
根据数量关系列方程，即把文字语言叙述的问题转化为数学语言表达的式子。列方程的一般步骤：①设字母表示未知数；②将其中一部分数量关系列式表示；③根据已知数和未知数的全部相等关系列出方程。
对点例题解析：
【例题1】（2019?贵州毕节）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（ ）
A．2
B．1
C．﹣1
D．0
【例题2】（2019?湖南怀化）一元一次方程x﹣2＝0的解是（ ）
A．x＝2
B．x＝﹣2
C．x＝0
D．x＝1
【例题3】数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值应该是（ ）
A．3
B．4.5
C．6
D．18
【例题4】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，那么剩余20本；如果每人分4本，那么还缺25本.这个班共有多少名学生？设这个班共有x名学生，则下列列出的方程
正确的是（
）
A.3x+20=4x-25.
B.3x-20=4x+25.
C.3x-20=4x-25.
D.3x+20=4x+25.
【例题5】x=2是下列那个方程的解（
）
A.2x-3=7
B.2x+3=7
C.2x+3=-7
D.2x-3=-7
【例题6】把方程x=1变形为x=2，其依据是(
)
A.等式的性质1
B.等式的性质2
C.分式的基本性质
D.不等式的性质1
达标训练题：
一、选择题
1.已知下列各式：①2x－5＝21；②3－2＝1；③x＋y；④x－1＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x2＋3y2＋4z2＝0；⑦＋＝8；⑧x＝0。其中是方程的个数是（
）
A.
5个
B.
6个
C.
7个
D.
8个
2.已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1；
⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的个数是（
）
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
3.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800x
B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x
D．1000（26﹣x）=800x
4.某工厂3月份的产值比2月份增加10%，4月份的产值比3月份减少10%，则（
）
A.
4月份的产值与2月份相等
B.
4月份的产值比2月份增加
C.
4月份的产值比2月份减少
D.
4月份的产值比2月份减少
5.某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2
000件.已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件.求该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？设该企业捐给乙学校的矿泉水为x件，根据题意得到的方程正确的是（
）
A.
2x-400+x=2
000.
B.
2x-400-x=2
000.
C.
2x-400+x=-2
000.
D.
2x+400+x=2
000.
6.一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（ ）
A．x+1=（30﹣x）﹣2
B．x+1=（15﹣x）﹣2
C．x﹣1=（30﹣x）+2
D．x﹣1=（15﹣x）+2
7.下列方程属于一元一次方程的是（
）
A.0.8x﹣10=90
B.1000（13﹣x）=800y
C.3x+21
D.a2+3a=1
二、填空题
8.利用等式的性质，在括号内填上适当的数或式子，并说明变形的根据以及是怎样变形的。
（1）如果2x－3＝－5，则2x＝__________，x＝__________；
（2）如果5x＋2＝2x－4，则3x＝__________，x＝__________；
（3）如果x＝2x－3，则－x＝__________，x＝__________。
三、解答题
9.检验下列各数是不是方程3x－1＝2x＋1的解。
（1）x＝4；（2）x＝2。
10.已知x＝5是方程2x＋a＝3－x的解，求a的值。
11.利用等式的性质解下列方程。
（1）x－4＝5；（2）－＝3；（3）－－3＝－5。
12.根据下列问题，设未知数列方程。
（1）三个连续偶数的和是2010，那么中间一个偶数是多少？
（2）黄豆芽是人们喜爱的营养丰富的蔬菜，已知把黄豆生成豆芽后，质量可增加7倍，现在要得到30千克这样的豆芽，需要多少千克黄豆？
（3）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价是240元。这件商品的成本价是多少元？
（4）某同学在学校图书室借了一本300页的新书，要在一个月后（30天）归还，刚开始的10天平均每天读6页，那么后面的时间该同学平均每天至少读多少页才能按时看完这本书？
13.有一位妇女在河边洗碗，由于碗数较多，过路的人问她家中来了多少客人。她不直接回答，倒是给过路的人出了一道难题：这些客人每两人共用一个饭碗，每三人共用一个汤碗，每四人共吃一碗肉，这样不多不少，加起来共65个碗，你知道有多少客人吗？
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专题3.1
从算式到方程
知识点解读：
知识点1．方程和一元一次方程
1.方程
（1）表示相等关系的式子叫做等式。
（2）含有未知数的等式叫做方程。方程必须具备两个条件：一是等式；二是含有未知数。
（3）方程和等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。另外，含有字母的等式也不一定是方程，如a＋b＝b＋a。
2．一元一次方程
（1）如果一个方程只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。任何一个一元一次方程变形后都可以化为ax＋b＝0（其中a≠0，a、b为常数）的形式，我们就把ax＋b＝0（其中a≠0，a、b为常数）叫做一元一次方程的标准形式，其中ax叫一次项，a叫一次项系数，b叫常数项。
（2）识别一元一次方程时，应注意以下三点：①分母中不含未知数；②方程中只能含有一个未知数；③未知数的次数是1。
知识点2．方程的解和解方程
1.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解。
2.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
3.等式的性质
（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：如果a＝b，那么a±c＝b±c。
（2）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，那么＝（c≠0）。
（3）除此之外，等式还具有：对称性（如果A＝B，则B＝A）和传递性（如果A＝B，B＝C，则A＝C）。
知识点3．列一元一次方程
根据数量关系列方程，即把文字语言叙述的问题转化为数学语言表达的式子。列方程的一般步骤：①设字母表示未知数；②将其中一部分数量关系列式表示；③根据已知数和未知数的全部相等关系列出方程。
对点例题解析：
【例题1】（2019?贵州毕节）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（ ）
A．2
B．1
C．﹣1
D．0
【答案】A
【解析】根据同类项的定义得出m的方程解答即可．
根据题意可得：2m﹣1＝m+1，
解得：m＝2
【例题2】（2019?湖南怀化）一元一次方程x﹣2＝0的解是（ ）
A．x＝2
B．x＝﹣2
C．x＝0
D．x＝1
【答案】A
【解析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．
x﹣2＝0，
解得：x＝2．
【例题3】数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值应该是（ ）
A．3
B．4.5
C．6
D．18
【答案】C
【解析】根据题意列方程即可得到结论．
∵数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，
∴9﹣a＝2a﹣9，
解得：a＝6，
【点拨】本题考查了两点间的距离：两点间的连线段长叫这两点间的距离．也考查了数轴．
【例题4】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，那么剩余20本；如果每人分4本，那么还缺25本.这个班共有多少名学生？设这个班共有x名学生，则下列列出的方程
正确的是（
）
A.3x+20=4x-25.
B.3x-20=4x+25.
C.3x-20=4x-25.
D.3x+20=4x+25.
【答案】A
【解析】根据图书总数不变这个条件为桥梁，构建含有未知数的等式，得到方程。
设这个班共有x名学生，根据每人分3本，那么剩余20本，图书总数为
3x+20；
根据每人分4本，那么还缺25本，图书总数为
4x-25.
即3x+20=4x-25.
【例题5】x=2是下列那个方程的解（
）
A.2x-3=7
B.2x+3=7
C.2x+3=-7
D.2x-3=-7
【答案】B
【解析】能使方程左右两边相等的未知数的值就是这个方程的解。
将x=2分别代入上述方程，发现2×2+3=7，所以x=2是方程2x+3=7
的解。
【例题6】把方程x=1变形为x=2，其依据是(
)
A.等式的性质1
B.等式的性质2
C.分式的基本性质
D.不等式的性质1
【答案】B
【解析】方程x=1两边同时乘以2得到：
x/2×2=1×2
即x=2
这是利用等式的性质2。
达标训练题：
一、选择题
1.已知下列各式：①2x－5＝21；②3－2＝1；③x＋y；④x－1＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x2＋3y2＋4z2＝0；⑦＋＝8；⑧x＝0。其中是方程的个数是（
）
A.
5个
B.
6个
C.
7个
D.
8个
【答案】B
【解析】含有未知数的等式是方程，满足要求的有①④⑤⑥⑦⑧。
2.已知下列方程：①x＋1＝；②5x＝8；③＝4x＋1；④x2＋2x－3＝0；⑤x＝1；
⑥3x＋y＝6。其中是一元一次方程的个数是（
）
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
【答案】B
【解析】含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程是一元一次方程，满足要求的有②③⑤。
3.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800x
B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x
D．1000（26﹣x）=800x
【答案】C
【解析】题目已经设出安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
设安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由题意得
1000（26﹣x）=2×800x，故C答案正确。
4.某工厂3月份的产值比2月份增加10%，4月份的产值比3月份减少10%，则（
）
A.
4月份的产值与2月份相等
B.
4月份的产值比2月份增加
C.
4月份的产值比2月份减少
D.
4月份的产值比2月份减少
【答案】D
【解析】设2月份的产值为x，则3月份的产值为1.1x，4月份的产值为1.1x×0.9＝0.99x，所以4月份的产值比2月份减少
5.某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2
000件.已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件.求该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？设该企业捐给乙学校的矿泉水为x件，根据题意得到的方程正确的是（
）
A.
2x-400+x=2
000.
B.
2x-400-x=2
000.
C.
2x-400+x=-2
000.
D.
2x+400+x=2
000.
答案：A
【解析】设该企业捐给乙学校的矿泉水为x件，这捐给甲校的矿泉水件数为2x-400，
某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2
000件，这
2x-400+x=2
000.
6.一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（ ）
A．x+1=（30﹣x）﹣2
B．x+1=（15﹣x）﹣2
C．x﹣1=（30﹣x）+2
D．x﹣1=（15﹣x）+2
答案：D．
【解析】设长方形的长为xcm，这宽为(30-2x)/2,
若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形.则有
x-1=2+(30-2x)/2
整理有x﹣1=（15﹣x）+2
7.下列方程属于一元一次方程的是（
）
A.0.8x﹣10=90
B.1000（13﹣x）=800y
C.3x+21
D.a2+3a=1
答案：A
【解析】
（1）如果一个方程只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。（2）识别一元一次方程时，应注意以下三点：①分母中不含未知数；②方程中只能含有一个未知数；③未知数的次数是1。
只有A满足要求。
二、填空题
8.利用等式的性质，在括号内填上适当的数或式子，并说明变形的根据以及是怎样变形的。
（1）如果2x－3＝－5，则2x＝__________，x＝__________；
（2）如果5x＋2＝2x－4，则3x＝__________，x＝__________；
（3）如果x＝2x－3，则－x＝__________，x＝__________。
【答案】见解析。
【解析】（1）根据等式性质1，两边同时加上3，得2x＝－2，再根据等式的性质2，两边同时除以2，得x＝－1；
（2）根据等式性质1，两边同时减去2x＋2，得3x＝－6，再根据等式性质2，两边同时除以3，得x＝－2；
（3）根据等式性质1，两边同时减去2x，得－x＝－3，再根据等式性质2，两边同时除以－，得x＝。
三、解答题
9.检验下列各数是不是方程3x－1＝2x＋1的解。
（1）x＝4；（2）x＝2。
【答案】（1）x＝4不是；（2）x＝2是。
【解析】（1）把x＝4分别代入方程的左右两边，得：
左边＝3×4－1＝11；右边＝2×4＋1＝9，左边≠右边，
所以x＝4不是方程3x－1＝2x＋1的解。
（2）把x＝2分别代入方程的左右两边，得：
左边＝3×2－1＝5；右边＝2×2＋1＝5，左边＝右边，
所以x＝2是方程3x－1＝2x＋1的解。
10.已知x＝5是方程2x＋a＝3－x的解，求a的值。
【答案】a＝－12
【解析】由于x＝5是方程2x＋a＝3－x的解，
所以2×5＋a＝3－5，即10＋a＝－2，
解得a＝－12。
11.利用等式的性质解下列方程。
（1）x－4＝5；（2）－＝3；（3）－－3＝－5。
【答案】（1）x＝9（2）x＝－9（3）x＝－16。
【解析】（1）方程两边同时加上4，得x－4＋4＝5＋4。于是x＝9。
（2）方程两边同时乘以－3，得－×（－3）＝3×（－3）。于是x＝－9。
（3）方程两边同时加上3，得－－3＋3＝5＋3。化简，得－＝8。两边同时乘以－2，
得x＝－16。
12.根据下列问题，设未知数列方程。
（1）三个连续偶数的和是2010，那么中间一个偶数是多少？
（2）黄豆芽是人们喜爱的营养丰富的蔬菜，已知把黄豆生成豆芽后，质量可增加7倍，现在要得到30千克这样的豆芽，需要多少千克黄豆？
（3）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价是240元。这件商品的成本价是多少元？
（4）某同学在学校图书室借了一本300页的新书，要在一个月后（30天）归还，刚开始的10天平均每天读6页，那么后面的时间该同学平均每天至少读多少页才能按时看完这本书？
【答案】见解析。
【解析】列方程的关键是寻找相等关系，分析数量关系。相等关系是列方程的依据，也就是找出方程的左边和右边，而数量关系是指题目中的一些数量如何用已知数和未知数表示出来。
（1）设中间一个偶数是x，那么另外两个偶数分别是x—2和x＋2，根据题意列方程得：
（x－2）＋x＋（x＋2）＝2010．
（2）设要得到30千克豆芽，需要x千克黄豆，根据题意得：
x＋7x＝30。
（3）设这件商品的成本价是x元，则商品的标价是x（1＋40%）元，售价是x（1＋40%）·80%元。根据题意得：
x（1＋40%）·80%＝240。
（4）设后面的时间该同学平均每天至少读x页，才能按时看完这本书。由题意得：
10×6＋（30－10）×x＝300。
13.有一位妇女在河边洗碗，由于碗数较多，过路的人问她家中来了多少客人。她不直接回答，倒是给过路的人出了一道难题：这些客人每两人共用一个饭碗，每三人共用一个汤碗，每四人共吃一碗肉，这样不多不少，加起来共65个碗，你知道有多少客人吗？
【答案】客人有60人。
【解析】设有x位客人，饭碗有x个，汤碗有x个，肉碗有x个，相等关系为：饭碗＋汤碗＋肉碗＝65。根据题意，得：
x＋x＋x＝65，即x＝65
两边都除以，得x＝60
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