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专题4.2
直线、射线、线段
知识点解读：
1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
简称：两点确定一条直线.
2.如果一个点把线段分成相等的两条线段，那么这个点叫做线段的中点.
3.两点之间线段最短.
4.连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离。
对点例题解析：
【例题1】如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PA
B．线段PB
C．线段PC
D．线段PD
【答案】B
【解析】由垂线段最短可解．
由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．
【点拨】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．
【例题2】（2019吉林）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（
）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【答案】A
【解析】两点之间，线段最短。A、B两点之间，线段AB最短。
【例题3】数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，且C在AB上．若|a|=|b|，AC：CB=1：3，则下列b、c的关系式，何者正确？（ ）
A．|c|=|b|
B．|c|=|b|
C．|c|=|b|
D．|c|=|b|
【答案】A．
【解析】∵C在AB上，AC：CB=1：3，
∴|c|=，
又∵|a|=|b|，
∴|c|=|b|．
达标训练题：
一、选择题
1.如图田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的知识是（ ）
A．垂线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线
D．两点之间，线段最短
【答案】D．
【解析】本题考查了线段的性质。根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．
∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
2.如图（一），为一条拉直的细线，A、B两点在上，且：
=1：3，：
=3：5．若先固定B点，将折向，使得重迭在上，如图（二），再从图（二）
的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（ ）
A．1：1：1
B．1：1：2
C．1：2：2
D．1：2：5
【答案】B
【解析】本题考查比较线段的长短。根据题意可以设出线段OP的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．
设OP的长度为8a，
∵OA：AP=1：3，OB：BP=3：5
∴OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a
又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二）
的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，
∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、4a
∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a=1：1：2
3．如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ）
A．
A→C→D→B
B．
A→C→F→B
C．
A→C→E→F→B
D．
A→C→M→B
【答案】B
【解析】根据线段的性质，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B，据此解答即可．
根据两点之间的线段最短，
可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，
所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．
4．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．
两点确定一条直线
B．
两点之间线段最短
C．
垂线段最短
D．
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A．
【解析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
5．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．
两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．
两点之间线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
【答案】C．
【解析】此题为数学知识的应用，由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为两点间线段最短．
6．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（ ）
A．
2cm
B．
3cm
C．
4cm
D．
6cm
【答案】B．
【解析】由AB=10cm，BC=4cm，可求出AC=AB﹣BC=6cm，再由点D是AC的中点，则可求得AD的长．∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB﹣BC=6cm，
又点D是AC的中点，∴AD=AC=3cm，
7．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC
等于（ ）
A．
3
B．
2
C．
3或5
D．
2或6
【答案】D
【解析】要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外．
此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．点A、B表示的数分别为﹣3、1，AB=4．
第一种情况：在AB外，
AC=4+2=6；
第二种情况：在AB内，
AC=4﹣2=2．
8．如图，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则MC的长是（ ）
A．
2
cm
B．
3
cm
C．
4
cm
D．
6
cm
【答案】B．
【解析】由图形可知AC=AB﹣BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得MC的长．
由图形可知AC=AB﹣BC=8﹣2=6cm，
∵M是线段AC的中点，
∴MC=AC=3cm．
故MC的长为3cm．
9．如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是（ ）
A．
1条
B．
2条
C．
3条
D．
4条
【答案】C
【解析】记住线段是直线上两点及其之间的部分是解题的关键．图中线段有：线段AB、线段AC、线段BC，共三条．故选C．
10．如图，C，D是线段AB上两点，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AC的长
等于（ ）
A．
3cm
B．
6cm
C．
11cm
D．
14cm
【答案】B．
【解析】由已知条件可知，DC=DB﹣CB，又因为D是AC的中点，则DC=AD，故AC=2DC．
∵D是AC的中点，
∴AC=2DC，
∵CB=4cm，DB=7cm
∴CD=BD﹣CB=3cm
∴AC=6cm
11．某班50名同学分别站在公路的A，B两点处，A，B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ）
A．
A点处
B．
线段AB的中点处
C．
线段AB上，距A点米处
D．
线段AB上，距A点400米处
【答案】A．
【解析】设A处学生走的路程，表示出B处学生走的路程，然后列式计算所有同学走的路程之和．
设A处的同学走x米，那么B处的同学走（1000﹣x）米，
所有同学走的路程总和：
L=30x+20（1000﹣x）=10x+20000
此时0≤x≤1000，要使L最小，必须x=0，
此时L最小值为20000；
所以选A点处．
二、填空题
12.如图，点Ｃ、D在线段AB
上．AC＝6
cm，CD＝4
cm，AB＝12
cm，则图中所有线段的和
是________cm．
【答案】40cm
【解析】图中线段有AC、AD、AB、CD、CB、DB，共六条线段。
其中AC=6
cm
AD=AC+CD=6cm+4
cm=10cm
AB=12
cm
CD=4
cm
CB=AB-AC=12
cm-6cm=6
cm
DB=AB-AC-CD=12
cm-6cm-4cm=2
cm
所以图中所有线段的和为40cm
13．平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同n个点最多可确定15条直线，则n的值为
．
【答案】6．
【解析】根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线找出规律，再把15代入所得关系式进行解答即可．
∵平面内不同的两点确定1条直线，2×（2-1）/2；
平面内不同的三点最多确定3条直线，即3×（3-1）/2=3；
平面内不同的四点确定6条直线，即4×（4-1）/2=6，
∴平面内不同的n点确定n（n-1）/2（n≥2）条直线，
∴平面内的不同n个点最多可确定15条直线时，n（n-1）/2=15，解得n=﹣5（舍去）或n=6．
14．已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC=
cm．
【答案】5或11．
【解析】点C可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上．因此分类讨论计算．
根据题意，点C可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上．
若点C在线段AB上，则AC=AB﹣BC=8﹣3=5（cm）；
若点C在AB的延长线上，则AC=AB+BC=8+3=11（cm）．
15．直线上有2010个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有
个点．
【答案】16073．
【解析】根据题意分析，找出规律解题即可．
第一次：2010+（2010﹣1）=2×2010﹣1，
第二次：2×2010﹣1+2×2010﹣1﹣1=4×2010﹣3，
第三次：4×2010﹣3+4×2010﹣3﹣1=8×2010﹣7．
∴经过3次这样的操作后，直线上共有8×2010﹣7=16073个点．
16．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线 上；
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；
（3）“2007”在哪条射线上？
【答案】（1）“17”在射线OE上；
（2）射线OD上数字的排列规律：6n﹣2
射线OE上数字的排列规律：6n﹣1
射线OF上数字的排列规律：6n
（3）“2007”在射线OC上．
【解析】本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识．
先由具体数字入手，找出规律，再利用规律解题．
（1）18正好转3圈，3×6；17则3×6﹣1；“17”在射线OE上；
（2）射线OA上数字的排列规律：6n﹣5
射线OB上数字的排列规律：6n﹣4
射线OC上数字的排列规律：6n﹣3
射线OD上数字的排列规律：6n﹣2
射线OE上数字的排列规律：6n﹣1
射线OF上数字的排列规律：6n
（3）2007÷6=334…3．
三、解答题
17．先阅读下面的材料，然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形．
如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离．
如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，A2处最合适，因为如果P不放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到P的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处最佳选择．
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．
问题：（1）有n台机床时，P应设在何处？
（2）根据（1）的结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值．
【答案】见解析。
【解析】（1）分n为偶数时，n为奇数时两种情况讨论P应设的位置．
当n为偶数时，P应设在第n/2台和（n/2+1）台之间的任何地方，
当n为奇数时，P应设在第台的位置．
（2）根据绝对值的几何意义，找到1和617正中间的点，即可求出|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值．
根据绝对值的几何意义，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣617|的最小值
就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x=309时，原式的值最小，最小值是308+307+…+1+1+2+…+308=95172．
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精品试卷·第
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专题4.2
直线、射线、线段
知识点解读：
1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
简称：两点确定一条直线.
2.如果一个点把线段分成相等的两条线段，那么这个点叫做线段的中点.
3.两点之间线段最短.
4.连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离。
对点例题解析：
【例题1】如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PA
B．线段PB
C．线段PC
D．线段PD
【例题2】（2019吉林）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（
）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【例题3】数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，且C在AB上．若|a|=|b|，AC：CB=1：3，则下列b、c的关系式，何者正确？（ ）
A．|c|=|b|
B．|c|=|b|
C．|c|=|b|
D．|c|=|b|
达标训练题：
一、选择题
1.如图田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的知识是（ ）
A．垂线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线
D．两点之间，线段最短
2.如图（一），为一条拉直的细线，A、B两点在上，且：
=1：3，：
=3：5．若先固定B点，将折向，使得重迭在上，如图（二），再从图（二）
的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（ ）
A．1：1：1
B．1：1：2
C．1：2：2
D．1：2：5
3．如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ）
A．
A→C→D→B
B．
A→C→F→B
C．
A→C→E→F→B
D．
A→C→M→B
4．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．
两点确定一条直线
B．
两点之间线段最短
C．
垂线段最短
D．
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．
两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．
两点之间线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
6．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（ ）
A．
2cm
B．
3cm
C．
4cm
D．
6cm
7．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC
等于（ ）
A．
3
B．
2
C．
3或5
D．
2或6
8．如图，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则MC的长是（ ）
A．
2
cm
B．
3
cm
C．
4
cm
D．
6
cm
9．如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是（ ）
A．
1条
B．
2条
C．
3条
D．
4条
10．如图，C，D是线段AB上两点，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AC的长
等于（ ）
A．
3cm
B．
6cm
C．
11cm
D．
14cm
11．某班50名同学分别站在公路的A，B两点处，A，B两点相距1000米，A处有30人，B处有20人，要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ）
A．
A点处
B．
线段AB的中点处
C．
线段AB上，距A点米处
D．
线段AB上，距A点400米处
二、填空题
12.如图，点Ｃ、D在线段AB
上．AC＝6
cm，CD＝4
cm，AB＝12
cm，则图中所有线段的和
是________cm．
13．平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同n个点最多可确定15条直线，则n的值为
．
14．已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC=
cm．
15．直线上有2010个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有
个点．
16．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线 上；
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；
（3）“2007”在哪条射线上？
三、解答题
17．先阅读下面的材料，然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形．
如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离．
如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，A2处最合适，因为如果P不放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到P的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处最佳选择．
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．
问题：（1）有n台机床时，P应设在何处？
（2）根据（1）的结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值．
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