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专题4.4
设计制作长方体形状的包装纸盒
知识点解读：
知识点1：设计制作长方体形状的包装纸盒的方法步骤。
1.先在一张软白纸上画出包装盒表面展开图的草图，简单设计一下，裁纸、折叠，观察效果。如发现问题，应调整原来的设计，直到达到满意的初步设计为止。
2.在硬纸板上，按照初步设计，画好包装盒的表面展开图。注意要预留出粘合处，并要适当剪去棱角。在表面进行图案与文字的美术设计。
3.裁下表面展开图、折叠并粘好粘合处，得到长方体包装盒。
知识点2：学生要从以下几个方面会进行交流
（1）制成的包装盒是否规范?如果不规范，如何改进？
（2）包装盒形状、尺寸是否合理？用料是否节省？是否需要改进？
（3）包装盒的整体设计是否美观？
（4）用到哪些数学知识及其主要作用？
（5）谈谈你的感悟与体会？
知识点3：会解决一些实际问题
对点例题解析：
【例题1】如图所示，下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是（ ）
A
B
C
D
【例题2】下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ）
A．
B．
C．D．
【例题3】如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计）（ ）
A．40×40×70
B．70×70×80
C．80×80×80
D．40×70×80
达标训练题：
一、选择题
1.有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（ ）
A．白
B．红
C．黄
D．黑
2.已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是（ ）
A．30cm2
B．30πcm2
C．15cm2
D．15πcm2
3.将一边长为2的正方形纸片折成四部分，再沿折痕折起来，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，则三棱锥四个面中最小的面积是（ ）
A．1
B．
C．
D．
4．已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（ ）
A．90πcm2
B．209πcm2
C．155πcm2
D．65πcm2
5.如图把正方形经过上折、右折、下方折三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（ ）
B．
C．
D．
6.如图动手操作：长为1，宽为a的长方形纸片（1/2＜a＜1
），如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的长方形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为（ ）
B．
C．
D．
或
7.剪纸是中国的民间艺术．剪纸的方法很多，下面提供一种剪纸方法：如图所示，先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案：
下面四个图形中，不能用上述方法剪出图案的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.如图，将一个长为20cm，宽为16cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A．10cm2
B．20cm2
C．40cm2
D．80cm2
二、填空题
9.下列图形是某些多面体的平面展开图，说出这些立体图形的名称．
（1）___________（2）__________（3）__________
三、解答题
10.将图所示的三棱柱（单位：厘米）沿侧棱和上、下底边剪开，展开成平面图形．请你画出这个三棱柱的一个表面展开图．
11.如图所示，长方体顶点A处有一只小蚂蚁，沿长方体表面爬行到B处，小蚂蚁非常聪明，它总是能按照最短的路线爬行，你能找到这条最短的路线吗？为什么？
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专题4.4
设计制作长方体形状的包装纸盒
知识点解读：
知识点1：设计制作长方体形状的包装纸盒的方法步骤。
1.先在一张软白纸上画出包装盒表面展开图的草图，简单设计一下，裁纸、折叠，观察效果。如发现问题，应调整原来的设计，直到达到满意的初步设计为止。
2.在硬纸板上，按照初步设计，画好包装盒的表面展开图。注意要预留出粘合处，并要适当剪去棱角。在表面进行图案与文字的美术设计。
3.裁下表面展开图、折叠并粘好粘合处，得到长方体包装盒。
知识点2：学生要从以下几个方面会进行交流
（1）制成的包装盒是否规范?如果不规范，如何改进？
（2）包装盒形状、尺寸是否合理？用料是否节省？是否需要改进？
（3）包装盒的整体设计是否美观？
（4）用到哪些数学知识及其主要作用？
（5）谈谈你的感悟与体会？
知识点3：会解决一些实际问题
对点例题解析：
【例题1】如图所示，下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是（ ）
A
B
C
D
【答案】C．
【解析】根据长方体的组成，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，分别解析得出即可：
A.剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
B.剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
C.剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；
D.剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意。
【例题2】下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】C．
【解析】A.另一底面的三角形是直角三角形，两底面的三角形不全等，故本选项错误；
B.折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；
C.折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；
D.折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误．
【例题3】如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计）（ ）
A．40×40×70
B．70×70×80
C．80×80×80
D．40×70×80
【答案】D
【解析】根据图形可知：长方体的容积是：40×70×80．
达标训练题：
一、选择题
1.有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（ ）
A．白
B．红
C．黄
D．黑
【答案】C．
【解析】本题考查了正方体相对两个面上的文字问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上图案，再确定对面上的图案，可以培养动手操作能力和空间想象能力．根据图形可得涂有绿色一面的邻边是白，黑，红，蓝，即可得到结论．
∵涂有绿色一面的邻边是白，黑，红，蓝，
∴涂成绿色一面的对面的颜色是黄色，
2.已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是（ ）
A．30cm2
B．30πcm2
C．15cm2
D．15πcm2
【答案】B．
【解析】根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：2π×3×5=30πcm?2?．
3.将一边长为2的正方形纸片折成四部分，再沿折痕折起来，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，则三棱锥四个面中最小的面积是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C．
【解析】最小的一个面是等腰直角三角形，它的两条直角边都是2÷2=1
则三棱锥四个面中最小的面积是
1×1÷2=1/2
故三棱锥四个面中最小的面积是1/2
故选C．
4．已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（ ）
A．90πcm2
B．209πcm2
C．155πcm2
D．65πcm2
【答案】A．
【解析】圆锥的表面积S=1/2×10π×13+π×52=90πcm2．
5.如图把正方形经过上折、右折、下方折三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（ ）
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
严格按照图中的顺序向上对折，向右对折，向右下方对折，从上方剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从大的正方形的四个角处剪去4个小正方形，得到结论．故选C．
6.如图动手操作：长为1，宽为a的长方形纸片（1/2＜a＜1
），如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的长方形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为（ ）
B．
C．
D．
或
【答案】D
【解析】由题意，可知当?
?1/2＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1-a，所以第二次操作时正方形的边长为1-a，
第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a，2a-1．此时，分两种情况：
①如果1-a＞2a-1，即a＜?2/3
?那么第三次操作时正方形的边长为2a-1．
∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，
∴矩形的宽等于1-a，
即2a-1=（1-a）-（2a-1），
解得a=?3/5
?②如果1-a＜2a-1，即a＞?2/3
?那么第三次操作时正方形的边长为1-a．
则1-a=（2a-1）-（1-a），
解得a=?3/4
7.剪纸是中国的民间艺术．剪纸的方法很多，下面提供一种剪纸方法：如图所示，先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案：
下面四个图形中，不能用上述方法剪出图案的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，剪出的图形一定是轴对称图形，四个选项中，只有C不是轴对称图形，所以C不能用上述方法剪出．故选C．
8.如图，将一个长为20cm，宽为16cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A．10cm2
B．20cm2
C．40cm2
D．80cm2
【答案】C
【解析】矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为10cm和8cm，
而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为10cm，8cm，
所以S?菱形?=?1/2?×10×8=40cm?2．
二、填空题
9.下列图形是某些多面体的平面展开图，说出这些立体图形的名称．
（1）___________（2）__________（3）__________
【答案】（1）四棱锥；（2）长方体；（3）圆锥．
【解析】根据几何体的平面展开图的特征可知：（1）是四棱锥的展开图（2）是长方体（3）是圆锥．本题主要考查几何体展开图的知识点，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
三、解答题
10.将图所示的三棱柱（单位：厘米）沿侧棱和上、下底边剪开，展开成平面图形．请你画出这个三棱柱的一个表面展开图．
【答案】如图所示。
【解析】如答案所示的图可以看出这个三棱柱的一个表面展开图。
11.如图所示，长方体顶点A处有一只小蚂蚁，沿长方体表面爬行到B处，小蚂蚁非常聪明，它总是能按照最短的路线爬行，你能找到这条最短的路线吗？为什么？
【答案】见解析。
【解析】方法一：如图（1），把前面和上面展开，连接AB，则线段AB为最短路线。因为两点之间线段最短。
方法二：如图（2），把前面和右面展开，连接AB，则线段AB为最短路线。因为两点之间线段最短。
方法三：如图（3），把下面和后面展开，连接AB，则线段AB为最短路线。因为两点之间线段最短。
(
A
B
下面
后面
图（
3
）
)
(
A
B
A'
图（
2
）
前面
右面
)
(
A
B
A'
前面
上面
图（
1
）
)
方法三不可行，因为蚂蚁不能从底面爬过去的。
其余两条路线不一样短。
明显图（2）AB长与图1的AB。所以按照图1给出的道理，蚂蚁应该爬行的路线就可以确定。
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