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长方体正方体表面积的变化专项训练
长方体正方体的表面积是指它们6个面的面积的和。但在实际问题中长方体(正方体)经过切、割、拼等操作，表面积发生了变化，变得复杂，给我们思考解答带来了一定的难度。其实，在变化的过程中也蕴含一定的规律，只要抓住：立体图形的表面积是指从外表能看到所有面的面积总和这一核心思想，问题也就变得简单。
【例题精讲】
例1.如图，把长方体切成三份，表面积增加多少？
解析：切一刀，增加了另个面，每个面的面积与长方体的前面
面积相等，共增加了4个面。
12×8×4＝384（平方厘米）
答：略。
例2.用12个棱长为2厘米的小正方体拼成一个较大的长方体，一共可以摆成几个不同的长方体？
表面积最大、最小分别是多少？
体的体积公式推导学习中我们知道：长、宽、高方向摆的小正方体的个数的乘积等于小正方体的总个数，只要把12写成三个数相乘，这三个数分别是长、宽、高方向摆的个数。数字相同，乘的顺序不同，如：6×2×1与2×6×1只能算一种。
长方向摆的个数/长（厘米）
宽方向摆的个数/宽（厘米）
高方向摆的个数/高（厘米）
表面积（平方厘米）
12/24
1/2
1/2
24×2×4＋2×2×2＝200
6/12
2/4
1/2
12×4×2＋4×2×2＋12×2×2＝160
4/8
3/6
1/2
8×6×2＋8×2×2＋6×2×2＝152
3/6
2/4
2/4
6×4×4＋4×4×2＝128
显然，长、宽、高长度相差越大，表面积越大；相差越小表面积越小。得出一个结论：在体积相同的情况下，越接近正方体，表面积越小。
例3.一个正方体和一个长方体拼成一个较大的长方体，表面积比原来小长方体增加64平方厘米，体积比原来正方体增加32立方厘米。原来小长方体的表面积是多少？
解析：能拼成一个较大的长方体，说明原来小长方体中有两个相对的面是正方形，且与小正方体的每个面完全相同。表面积比原来小长方体增加
64平方厘米，对比一下，64就是小正方体4个面的面积。
64÷4＝16（平方厘米），4×4＝16，棱长为4厘米。
64÷4＝16（平方厘米）
4×4＝16
32÷16＝2（厘米）
16×2＋4×2×4＝64（平方厘米）
答：略。
例4.如图，长方体长12厘米，宽10厘米，高9厘米，从长方体上面的中心向下挖去一个棱长4厘米的小正方体，然后再向下挖去一个棱长2厘米的小正方体。剩下的图形的表面积是多少?
解析：如图，把最里面的小正方体的底面向上移到棱长4厘米的正方体的下面，这样棱长4厘米的正方体的下面就是完整的面，再把它向上移到长方体的上面，这样长方体就是6个完整的面，而两个小正方体能看到的都是前后左右4个面。
（12×10＋12×9＋10×9）×2＝636（平方厘米）
4×4×4＋2×2×4＝80（平方厘米）
80＋636＝716（平方厘米）
答：略。
例5.一个长方体长10厘米，宽8厘米，高6厘米，从中挖去一个最大的正方体，剩下图形的表面积是多少？
解析：如图，有三种不同的挖法。
33
（1）（10×8＋10×6＋8×6）×2－6×6×2＝304（平方厘米）
（2）（10×8＋10×6＋8×6）×2＝376（平方厘米））
（3）（10×8＋10×6＋8×6）×2＋6×6×2＝448（平方厘米）
答：略。
【及时反馈】
1.
（1）一个正方体木块，棱长1分米，如图锯成24块，
24块小长方体的表面积的和是（
）平方厘米。
（2）由8个棱长1厘米的小正方体拼成一个较大的长方体，共
有（
）
种不同拼法，表面积最大是（
）平方厘米，最小是（
）平方厘米。
（3）一个长方体的表面积是126平方厘米，正好可以切成三个小正方体，每个小正方体的表面积是（
）平方厘米。
（4）一个长方体若宽增加2分米，就成为一个正方体，表面积增加32平方分米，原来长方体的表面积是（
）平方分米。
2.
两个完全一样的长方体长8厘米，宽5厘米，高3厘米。把这两个长方体拼成一个表面积最大的长方体。拼成后的长方体表面积是多少平方厘米？
3.一根横截面是正方形的长方体木料，表面积114平方厘米，锯下一个最大的正方体后，剩下长方体的表面积54平方厘米，锯下的正方体木料的表面积是多少？
4.如图，是由三个正方体木块粘合而成，它们的棱长分别为3分米，
5分米，7分米，在表面刷上油漆，大正方体的下面不刷，刷油漆的
面积是多少？
5.
从一个长10厘米，宽9厘米，高7厘米的长方体上橡皮泥上挖去一个棱长2厘米的正方体，剩下图形的表面积是多少？
6.
把10盒长10厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体盒子包装在一起，怎样包装最节省，所用包装纸的面积是多少平方厘米？
长方体正方体表面积的变化参考答案
1.（1）
18
（2）
长方向摆的个数/长（厘米）
宽方向摆的个数/宽（厘米）
高方向摆的个数/高（厘米）
表面积（平方厘米）
8/8
1/1
1/1
8×1×4＋1×1×2＝34
4/4
2/2
1/1
4×2×2＋4×1×2＋2×1×2＝28
2/2
2/2
2/2
2×2×6＝24
（3）
54
（4）
64
2.
（8×5＋8×3＋5×3）×2×2－5×3×2＝286（平方厘米）
3.
（114－54）÷4×6＝90（平方厘米）
4.
3×3×4＋5×5×4＋7×7×5＝381（平方分米）
5.
（1）（10×9＋10×7＋9×7）×2＝446（平方厘米）
（2）（10×8＋10×6＋8×6）×2＋2×2×2＝454（平方厘米））
（3）（10×8＋10×6＋8×6）×2＋2×2×4＝462（平方厘米）
6.
可如图包装
（20×10＋20×12＋10×12）×2＝720（平方厘米）
12厘米
5厘米
8厘米
4厘米
2厘米
4厘米
4厘米
10厘米
6厘米
6厘米
20厘米
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精品试卷·第
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长方体正方体体积（等积变形）专项训练
在实际生活当中，我们常常会将一些物体进行切割、拼接、锻造、转化等，在加工转化的过程中，物体的形状、表面积发生了变化，但往往体积不变（不计损耗）。在数学上解决这些问题时，我们就抓住：体积不变的重要特点，根据相关形体的体积计算公式进行探究解答。
【例题精讲】
例1.
右图是一个裹成正方体的油布（每层之间无缝隙），中间的卷轴横截面是正方形，边长为10厘米。把这个油布平展开来，每层的厚度是2.5毫米。全部拉开，长多少米?
解析：油布原来的形状是正方体中去掉一个长方体（卷轴），当把它平展开来时，油布的形状就变成了一个长方体，宽为8分米，厚度2.5毫米（如图）。它们的体积相等。
10厘米＝1分米
2.5毫米＝0.025分米
（8×8×8－1×1×8）÷（8×0.025）＝2520（分米）
2520分米＝252米
答：略。
例2..一个长方体水箱，长20厘米、宽15厘米、高12厘米，里面水深8厘米。现将一个长10厘米，横截面为边长5厘米的长方体铁块，如图，（1）横着放入水中，这时水面高多少厘米？（2）竖直插入水中，这时水面高多少厘米？（铁块底面都与容器底面无缝隙接触。）
解析：（1）横着放入时，完全浸没，
水面上升的体积等于浸没在水中铁块的体积
水面上升的形状是一个长方体，底面积与水
箱的底面积相等。（2）要判断一下，铁块会
不会完全浸没。我们可以假设，水面刚刚漫过铁块，水面与铁块上面一齐。这时水面的高度为10厘米。根据假设的情况可以求出铁块的体积：20×15×10-20×15×8＝600（立方厘米），但铁块的实际体积是：10×5×5＝250（立方厘米），显然，我们的假设是错的，竖直放入的时候铁块不可能完全浸没，即不完全浸没。对不完全浸没，我们抓住水的体积不变来研究。原来的水是长方体形状，铁块竖直插入时，这时水是以“回”字型柱体形状存在，这时水的底面形状是“回”字形，我们仍可以用底面积（回字面积：水箱的底面积-铁块的底面积）乘高求它的体积。
（1）10×5×5÷（20×15）＝(厘米)
8＋＝8（厘米）
（2）20×15×8÷（20×15－5×5）＝（厘米）
答：略。
例3一个棱长为6厘米的正方体容器里放了4厘米深的水，现放入一个棱长为2厘米的正方体木块，木块的一半沉入水中，这时容器里的水面高多少厘米？
解析：木头一半浸没在水中，水面上升的体积等于木头一半的体积。水面是以长方体形状上升，底面积等于容器的底面积。
2×2×2÷2÷（6×6）＝(厘米)
4＋＝4(厘米)
答:略。
例4.左图，一个瓶身为长方体，瓶底是边长为8厘米的正方形的饮料瓶里装了一些饮料，把它倒放如右图所示，求这个饮料瓶的容积是多少？（厚度不计）
解析：由图知道饮料瓶的容积等于阴影部分
的体积＋空白部分的体积。
左边空白的体积＝右边空白的体积
30－25＝5（厘米）
8×8×（18＋5）＝1472（立方厘米）
答：略。
例5.
在一个底面长72厘米，宽50厘米的长方体容器中，直立一根长90厘米，横截面面积为600平方厘米的长方体铁柱，这是容器水深为40厘米，现在把铁柱轻轻向上提起10厘米，露出水面的铁柱被水浸湿部分长多少厘米？
解析：铁柱被水浸湿的长度＝提起的高度＋水面下降的高度。铁柱向上提起时，水面下降，水是以“回”字形柱体下降。水面下降的体积等于拿出水面外铁柱的体积。水面下降的体积：10×600，“回”字形体体积：（72×50－600）×水面下降的高度
10×600÷（72×50－600）＝2（厘米），
10＋2＝12（厘米）
答：略。
【及时反馈】
一、
填空
1.把一个棱长为8分米的正方体钢坯锻造成横截面边长为5厘米的长方体钢材，钢材长（
）分米。
2.把15立方米的沙倒入一个长10米、宽3、深60厘米的沙坑中，沙子厚（
）厘米。
3.把一个长是10厘米、宽是5厘米的长方体铅块，浸没在盛有水的底面积为150平方厘米的长方体容器中，水面由6厘米上升到8厘米，长方体铅块的高是（
）厘米。
4.一个正方体形状的卷纸，棱长10厘米，每层之间无缝隙，每层厚0.4毫米，把卷纸拉展开来，卷纸长（
）米。
二、解决问题
1.有一个完全封闭的长方体容器，平放在桌面上长是30厘米，宽是20厘米，高是15厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器竖起来放（以右面作为底面），水的高度是多少？
2.
A、B两个长方体容器,甲容器底面积是30平方厘米,乙容器底面积是20平方厘米,A容器水面比B容器水面高5厘米,从A容器倒多少立方厘米的水给
B容器,两容器
水面高度一样？
3.在一个长15分米，宽10分米，高6分米的水槽中，注入4分米深的水，然后放入一个棱长为5分米的正方体铁块。水面上升了多少分米？
4.在一个底面边长为40厘米的正方形的长方体容器中，直立一根长1米，底面边长为20厘米的正方形的长方体铁柱，这是容器水深为25厘米，现在把铁棍轻轻向上提起15厘米，露出水面的铁柱被水浸湿部分长多少厘米？
长方体正方体体积（等积变形）专项训练参考答案
一、
填空
1.
2048
2.
50
3.
6
4.
25
二、解决问题
1.
30×20×6÷（20×15）＝12（厘米）
答:略。
2.
30×5÷（30＋20）＝3（厘米）
（5－3）×30＝60（立方厘米）
答：略。
3.
提示：判断是不能完全浸没。
15×10×4÷（15×10－5×5）＝4.8（厘米），
5－4.8＝0.2（分米）
答：略
4.
20×20×15÷（40×40－20×20）＝5（厘米），
5＋15＝20（厘米）
答：略
卷轴
8分米
8分米
8分米
30
厘
米
18厘米
25厘米
A
B
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