人教版 九年级数学上册 24.1 圆有关的性质 同步练习（Word版 含答案）

人教版
九年级数学上册
24.1
圆有关的性质
一、选择题（本大题共8道小题）
1.
下列四个命题:①直径所对的圆周角是直角;②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等;④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.
如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为(　　)
A.
　　
B.
2
　　
C.
　　
D.
3
3.
如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，=.若∠C=110°，则∠ABC的度数等于
(　　)
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
4.
如图，☉O的直径AB垂直于弦CD.垂足是点E，∠CAO=22.5°，OC=6，则CD的长为
(　　)
A.6
B.3
C.6
D.12
5.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(　　)
A.
45°
B.
50°
C.
55°
D.
60°
　　　
6.
如图，在半径为的☉O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是
(　　)
A.2
B.2
C.2
D.4
7.
如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于(　　)
A.
64°
B.
58°
C.
72°
D.
55°
　　　　
8.
如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为(　　)
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
二、填空题（本大题共7道小题）
9.
如图，点A，B，C在☉O上，BC=6，∠BAC=30°，则☉O的半径为　　　　.?
10.
如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，则☉O的半径是　　　　.?
11.
如图所示，AB为☉O的直径，点C在☉O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD=　　　　度.?
12.
如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．
13.
如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是上一点，则∠D＝________．
　　
14.
如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100
cm，下雨前水面宽为60
cm，一场大雨过后，水面宽为80
cm，则水位上升了　　　　cm.?
15.
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝________．
　　　　
三、解答题（本大题共3道小题）
16.
如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC.
17.
如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.
(1)求证：AC平分∠DAO.
(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.
①求∠OCE的度数．
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．
18.
如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据
α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；
(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
　　　答案
一、选择题（本大题共8道小题）
1.
【答案】C
2.
【答案】C　【解析】延长AO交BC于点D，连接OB.由AB＝AC得点A在线段BC的垂直平分线上，因而可得AD⊥BC，所以BD＝3，不难得出AD＝BD＝3，于是OD＝AD－OA＝2，在Rt△ODB中，OB＝＝＝.
3.
【答案】A　[解析]连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°.
∵=，∴∠CAB=∠DAB=35°.
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A.
4.
【答案】A　[解析]∵∠A=22.5°，
∴∠COE=45°，
∵☉O的直径AB垂直于弦CD，
∴∠CEO=90°，CE=DE.
∵∠COE=45°，
∴CE=OE=OC=3，
∴CD=2CE=6，故选A.
5.
【答案】B　【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∵＝，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF＝50°.
6.
【答案】C　[解析]过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB，OD，OE，
如图所示，则DF=CF，AG=BG=AB=3，
∴EG=AG-AE=2.
在Rt△BOG中，
OG===2，∴EG=OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG=45°，OE=OG=2.
∵∠DEB=75°，∴∠OEF=30°，
∴OF=OE=.
在Rt△ODF中，DF===，∴CD=2DF=2.故选C.
7.
【答案】B　【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝(180°－∠AOC)＝×(180°－64°)＝58°.
8.
【答案】B　【解析】如解图，延长CO交⊙O于点A′，连接A′B.设∠BAC＝α，则∠BOC＝2∠BAC
＝2α，∵∠BAC＋∠BOC＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.∴∠BA′C＝∠BAC＝60°，∵CA′为直径，∴∠A′BC＝90°，则在Rt△A′BC中，BC＝A′C·sin∠BA′C＝2×4×＝4.
二、填空题（本大题共7道小题）
9.
【答案】6　[解析]连接OB，OC.∵∠BOC=2∠BAC=60°，OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB=BC=6，故答案为6.
10.
【答案】2　[解析]连接OC，则OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.
∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，
∴OC=2.
11.
【答案】20　[解析]如图，连接DO，∵CO⊥AB，
∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，
∵OD=OC，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB，
∴∠BAD=20°.
12.
【答案】35　【解析】∵OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠B，∠C＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠B＝∠OAB＝70°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠C，∴∠OAC＝∠BAC＝∠OAB＝35°.
13.
【答案】40°　【解析】AC是⊙O的直径?∠ABC＝90°?
?∠D＝∠A＝40°.
14.
【答案】10或70　[解析]作OD⊥AB于C，OD交☉O于点D，连接OB.
由垂径定理得:BC=AB=30
cm.
在Rt△OBC中，OC==40(cm).
当水位上升到圆心以下且水面宽80
cm时，
圆心到水面距离==30(cm)，
水面上升的高度为:40-30=10(cm).
当水位上升到圆心以上且水面宽80
cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).
综上可得，水面上升的高度为10
cm或70
cm.
故答案为10或70.
15.
【答案】
4－　【解析】如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，AB＝8，CD＝6，∴CE＝DE＝3，OC＝OB＝4.
在Rt△OCE中，OE＝＝，∴BE＝OB－OE＝4－.
三、解答题（本大题共3道小题）
16.
【答案】
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵MP为⊙O的切线，
∴∠PMO＝90°，∵MP∥AC，∴∠P＝∠CAB，
∴∠MOP＝∠B,
故MO∥BC.
17.
【答案】
【思维教练】(1)证明AC是∠DAO的角平分线即证明∠DAC＝∠OAC，由圆的性质知OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，由切线性质得OC⊥CD，即OC∥AD，得∠OCA＝∠CAD，即可得证；(2)①△OCE内角和为180°，∠E已知，由(1)OC∥AD得∠COE＝∠DAO，即可求解；②EF＝GE－FG，由∠OCE＝45°，OC＝2，考虑构造直角三角形OGC，求出CG，即FG，GE在Rt△OGE中，OG＝CG,
∠E＝30°，得出GE，从而求出EF.
(1)证明：∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD.
∴AD∥OC.
∴∠DAC＝∠OCA.
又∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC.
∴AC平分∠DAO.(3分)
(2)解：①∵AD∥OC，
∴∠EOC＝∠DAO＝105°.
∵∠E＝30°，
∴∠OCE＝45°.(6分)
②作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.
∵OC＝2，∠OCE＝45°，
∴OG＝2，
∴FG＝2.
∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，
∴GE＝2.
∴EF＝GE－FG＝2－2.(10分)
18.
【答案】
【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．
①
(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α
证明：如解图①，连接BG，
∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，
∴α＋∠BGA＝90°，(1分)
又∵四边形ACBG内接于⊙O，
∴β＋∠BGA＝180°，
∴β－α＝90°，
即β＝90°＋α；(3分)
②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，
∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EAG＋∠EBA＝γ，
∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，
∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，
∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)
∴2(180°－β
)＋α＝γ，
由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)
(2)如解图②，连接BG，
②
∵γ＝135°，γ＝180°－α，
∴α＝45°，β＝135°，
∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)
∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，
又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，
∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)
∵CD＝3，∴CE＝3，AC＝，∴AE＝4，(10分)
∵∠BEA＝90°，
∴由勾股定理得，AB＝＝＝＝5，(11分)
∴AG＝AB＝×5＝10，
∴r＝5.(12分)