2.4
绝对值知识点总结与例题讲解
一．本节知识点
（1）绝对值的定义.
（2）绝对值的性质.
（3）绝对值非负性的应用.
二、本节题型
（1）绝对值的几何意义.
（2）与绝对值有关的计算和化简.
（3）绝对值非负性的应用.
（4）绝对值的应用.
三、知识点讲解
知识点一
绝对值的定义
在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值,记作.
数轴上的点距离原点越远,该点表示的数的绝对值越大;距离原点越近,该点表示的数的绝对值越小.
原点到原点的距离为0,所以0的绝对值等于0,即.
知识点二
绝对值的性质
一个正数的绝对值是它本身;零的绝对值是零;一个负数的绝对值是它的相反数.
即
.
由上面可知:绝对值等于它本身的数是非负数.
绝对值的非负性
任何一个有理数的绝对值总是非负数（正数或0）,即对于任意有理数,总有≥0.
相反数与绝对值的关系
互为相反数的两个数绝对值相等;绝对值相等的两个数相等或互为相反数.
知识点三
绝对值非负性的应用
非负数的性质
若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零.
因为绝对值具有非负性,所以若几个有理数绝对值的和等于0,则每个有理数都等于0.即若,则.
四、题型讲解
题型一
绝对值的几何意义
例1.
如图所示,数轴的单位长度为1,如果点A、B表示的数的绝对值相等,那么点A表示的数是【
】
（A）
（B）
（C）0
（D）40
分析:绝对值的几何意义是表示数的点到原点的距离.本题中A、B两点之间的距离为4,则点A到原点的距离为2,且点A在原点的左侧,所以点A表示的数是.
解:
选择【
B
】.
例2.
一个数在数轴上的对应点在原点左边,且,则的值为【
】
（A）4或
（B）4
（C）
（D）都不对
分析:由得或.因为表示数的点在原点的左边,所以,故.
解:
选择【
C
】.
题型二
与绝对值有关的计算和化简
先去掉绝对值符号,再进行化简或计算.
例3.
计算的结果是【
】
（A）
（B）
（C）
（D）2020
分析:先化简,得.
解:
,选择【
C
】.
例4.
化简或计算:
（1）;
（2）;
（3）.
分析:
按照先去绝对值再化简或计算的原则进行,注意解题的书写格式,要求学生的书写一定要规范.
解:（1）原式;
（2）原式;
（3）原式.
例5.
化简:
（1）;
（2）.
解:（1）原式;
（2）原式.
本题也可以这样安排书写:
解:（1）;
（2）.
例6.
计算:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
分析:含绝对值的四则运算,先去掉绝对值再进行计算.对于乘除混合运算,要注意运算顺序.
解:（1）原式;
（2）原式;
（3）原式;
（4）原式.
题型三
绝对值非负性的应用
例7.
若,求的值.
分析:这是一类重要的题型,考查非负数的性质:若几个非负数的和为零,则每个非负数都为零.注意过程的书写规范.
解:
因为≥0,≥0（这一步是介绍每个绝对值为非负数,必须要有这一步）
所以,
解之得:.
例8.
如果是有理数,那么的最小值是_________.
解:
因为≥0,所以的最小值为0
故的最小值是2020.
题型四
绝对值的应用
例9.
检查5袋水泥的质量,把超过标准质量的千克数记为正数,不足标准质量的千克数记为负数,检查结果如下表所示（单位:千克）:
水泥编号
1
2
3
4
5
与标准质量的差
+10
+8
（1）最接近标准质量的是几号水泥?
（2）质量最多的水泥比质量最少的水泥多多少千克?
分析:本题考查绝对值的应用,是一类常见的题型.根据与标准质量相差小（即最接近标准质量）的质量好,分别比较它们的绝对值的大小即可.
解:（1）
因为,所以5号水泥的质量最接近标准质量;
（2）（千克）.
答:质量最多的水泥比质量最少的水泥多17千克.
总结
实际问题中的绝对值的意义
绝对值越小,表示该数据越接近标准数据;绝对值越大,表示该数据越远离标准数据.
例10.
出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大街上进行的.如果规定向东为正,向西为负,那么他这天的行车里程记录如下（单位:
km）:
+15
,
,
+14
,
,
+10
,
,
+4
,
,
+16
,
.
如果汽车的耗油量为0.
08L/km,那么这天下午该汽车共耗油多少升?
分析:需要计算出汽车行驶的总路程.总路程等于以上各数的绝对值之和.
解:
汽车行驶的总路程为:
（km）
（L）.
答:
这天下午该汽车共耗油9.
44L.2.4
绝对值习题（附参考答案）
1.
的绝对值是【
】
（A）2019
（B）
（C）
（D）
2.
的相反数是【
】
（A）
（B）
（C）
（D）5
3.
的绝对值是【
】
（A）2
（B）
（C）
（D）
4.
的绝对值是【
】
（A）
（B）
（C）
（D）5
5.
如果两个数的绝对值相等,那么这两个数【
】
（A）互为相反数
（B）相等
（C）积为0
（D）互为相反数或相等
6.
下列几组数中,不相等的是【
】
（A）和
（B）和
（C）和
（D）和
7.
下列说法中,错误的有【
】
①绝对值等于它本身的数有两个,它们是0和1;
②一个数的绝对值必为正数;
③2的相反数的绝对值是2;
④任何数的绝对值都不是负数.
（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）4个
8.
最大的负整数和绝对值最小的有理数分别是【
】
（A）0
,
（B）0
,
0
（C）
,
0
（D）
,
9.
一个数在数轴上的对应点在原点左边,且,则的值为【
】
（A）4或
（B）4
（C）
（D）都不对
10.
检测4个足球,其中超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数,从轻重的角度看,最接近标准的是【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
11.
计算的结果为【
】
（A）
（B）2
（C）0
（D）
12.
有理数的绝对值记作,则的值可以是【
】
（A）
（B）3
（C）
（D）
13.
已知,则_________.
14.
绝对值不大于3的整数有________________.
15.
一个数在数轴上对应的点在原点的左侧,且,则_________.
16.
绝对值不大于3.
2的非负整数有__________.
17.
绝对值最小的有理数是_________,绝对值等于它本身的数是_________.
18.
在这三个数中,绝对值最小的数是_________;将这三个数表示在数轴上,离原点最远的点表示的数是_________.
19.
因为任何有理数的绝对值都是一个_________,所以_________0.
20.
若,则_________.
21.
计算:
（1）;
（2）.
22.
已知,求的值.
23.
出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大街上进行的.如果规定向东为正,向西为负,那么他这天的行车里程记录如下（单位:
km）:
+15
,
,
+14
,
,
+10
,
,
+4
,
,
+16
,
.
如果汽车的耗油量为0.
08L/km,那么这天下午该汽车共耗油多少升?
2.4
绝对值习题参考答案
1.
A
2.
B
3.
A
4.
B
5.
D
6.
C
7.
B
8.
C
9.
C
10.
C
11.
B
12.
B
13.
14.
15.
16.
0
,
1
,
2
,
3
17.
0
,
非负数
18.
19.
非负数
,
≥
20.
2
21.
解:（1）原式;
（2）原式.
22.
解:因为,≥0,
≥0
所以,
所以
所以.
23.
解:
汽车行驶的总路程为:
（km）
（L）.
答:
这天下午该汽车共耗油9.
44L.
