(共28张PPT)
27.2
反比例函数的图像和性质
冀教版九上
第二课时
反比例函数的性质
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第二十七章
反比例函数
学
习
目
标
冀教版九上
1.探究k对双曲线的影响.
2.掌握双曲线的位置及增减性是由k的正负决定的.
3.能运用反比例函数的性质解决问题.
创设情境，引入新课
观察下列正比例函数的图像，回忆k对直线的影响.
x
O
y
-1
1
y=x
y=2x
y=-3x
（1）k的正负对直线的影响
k＞0时，y随x的增大而增大；
k＜0时，y随x的增大而减小.
（2）k的绝对值对直线的影响
k的绝对值越大，直线上升或下降的速度就越快.
创设情境，引入新课
正比例函数y=kx中，比例系数k的正负及绝对值的大小对函数图像均有影响.类似地，我们来探究一下在反比例函数
中，比例系数k对双曲线有什么影响？
创设情境，引入新课
在课本131页的坐标系中画下列反比例函数的图像
y
x
O
蓝线：
红线：
绿线：
黄线：
观察画出的双曲线，你有什么发现？
实践发现，学习新课
发现：
y
x
O
蓝线：
红线：
绿线：
黄线：
（1）k的正负对双曲线的影响
当k＞0时，双曲线位于第
象限，在每一象限内，y随x的增大而
.
当k＜0时，双曲线位于第
象限，在每一象限内，y随x的增大而
.
一、三
增大
二、四
减小
实践发现，学习新课
发现：
y
x
O
蓝线：
红线：
绿线：
黄线：
（2）k的绝对值对双曲线的影响
k的绝对值越大，双曲线离坐标轴越
k的绝对值越小，双曲线离坐标轴越
远.
近.
典例精析
y
x
O
(1)判断k的正负.
∵双曲线位于第一、三象限
∴k＞0.
典例精析
y
x
O
-3
-1
●
A
●
B
方法一：利用图像
在坐标系中比较y的大小，上下看，
上为大，下为小.
典例精析
y
x
O
-3
-1
●
A
●
B
方法二：利用反比例函数的性质
∵k＞0,
∴在第三象限内，y随x的增大而减小.
∵-3＜-1
∴
典例精析
变式一.
小明
你同意小明的说法吗？
不同意，漏了限定条件“在同一象限内”
典例精析
变式一.
方法一：利用性质分析
典例精析
变式一
y
x
O
方法二：利用图像
A
B
●
●
典例精析
变式二
分析：由于不确定A、B是否在同一象限，需分类讨论.
当A、B在同一象限时，用增减性判断；当A、B在不同象限时，用第一象限的点的x值大于第三象限的点的x值判断.
典例精析
解：当点A、B在同一象限时，
由于k=7＞0，y随x的增大而减小
∵a＜b
∴m＞n.
当点A、B不在同一象限时，
由于k=7＞0,双曲线位于一、三象限
∵a＜b
∴点A在第三象限，点B在第一象限
∴m＜n.
综上，当A、B在同一象限时，m＞n;当A、B在不同象限时，m＜n.
典例精析
x
y
①利用图像解决
把点A、B、C标到双曲线上，观察点的高低，可得答案.
变式三
-3
-2
1
●
●
●
A
B
C
典例精析
①利用性质解决
变式三
∵k=-12＜0,∴双曲线位于第二、四象限
由题可得，点A、B在第二象限，点C在第四象限
巩固小结
利用反比例函数的性质比大小要注意：
1.增减性的限定条件是“在同一象限内”；
2.要分析点是在同一象限，还是在不同象限；
3.利用图像，数形结合可让问题变得直观易懂.
典例精析
解：把y=5代入，得x=2.
∵k=10＞0
∴双曲线位于第一、三象限，
当在第一象限时，y随x的增大而减小
∴当y＜5时，x＞2.
当在第三象限时，点的纵坐标为负，因此y一定小于5
此时x＜0.
综上，当y＜5时，x＞2或x＜0.
典例精析
变式练习
解：∵k=-1＜0,双曲线位于第二、四象限
当3＜x＜100时，
在第四象限内，y随x的增大而增大
∴x取最大值100时，y最大
巩固小结
利用反比例函数的性质确定x或y的取值范围
1.先将已知的变量值代入表达式，求出另一个变量的值；
2.在同一象限内，根据增减性由一个变量的范围确定另一个变量的取值范围；
3.在不同象限，比正负，正数大于负数.
典例精析
y
x
P
O
O
C
解：设P（a,b),C(m,n)
蓝色矩形面积=▏a▕·▏b▕=▏ab▕=▏k▕
红色矩形面积=▏m▕·▏n▕=▏mn▕=▏k▕
两个矩形的面积相等，都等于k的绝对值
典例精析
变式：分别从点P、C向x轴作垂线，垂足分别为A、B.则蓝色三角形与红色三角形的面积有何关系？
两个三角形的面积分别是上一题中，两个矩形面积的一半，因此两个三角形的面积相等，都等于k的绝对值的一半.
y
x
P
O
C
A
B
总结提升
如图所示，矩形面积等于k的绝对值，
直角三角形面积等于k的绝对值的一半.
k的几何意义
y
x
P
O
O
C
y
x
P
O
C
A
B
应用练习
y
x
O
P
M
-2
应用练习
y
x
O
B
A
C
D
4.5
回顾与小结
反比例函数的增减性
反比例函数性质的应用
k的几何意义
在同一象限内
比大小
求范围
矩形面积
同学们再见(共26张PPT)
27.2
反比例函数的图像和性质
冀教版九上
第一课时
反比例函数的图像
第二十七章
反比例函数
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
学
习
目
标
冀教版九上
1.会画反比例函数的图像.
2.总结反比例函数的特征.
3.理解反比例函数表达式和双曲线之间的关系.
复习旧知，引入新课
你还记得画函数图像的步骤吗？
1.列表
2.描点
3.连线
复习旧知，引入新课
观察下列一次函数的图像，你有什么发现？
x
O
y
-1
1
(1)
y=x+1
(2)
y=x+1(x≥0)
(3)
y=x+1(0≤x≤2)
x
O
y
1
1
2
3
2
x
O
y
1
1
2
x
-1
0
y
0
-1
x
0
1
y
1
2
x
0
2
y
1
3
直线
射线
线段
复习旧知，引入新课
发现：
1.一次函数的图像是一条直线，因此画一次函数的图像只需要描出2个点即可.
2.自变量的取值范围对函数图像有影响，画函数图像要关注自变量的取值范围，只能在自变量的取值范围内取值、描点.
实践发现，学习新课
1.列表
想一想：（1）取两个点合适吗？
探究：
不合适，我们不能确定反比例函数图像的形状，在探究时多取一些点合适.
（2）能任意取值吗？
不能，应在自变量x的取值范围内取值，由于x≠0,因此取值时不能取x=0.
实践发现，学习新课
可以在0两边分别取一些正数和负数.
x
...
-6
-3
-2
-1
1
2
3
6
...
y
...
-1
-2
-3
-6
6
3
2
1
...
一般可以在0的两边对称着取数.
实践发现，学习新课
（2）描点
x
y
●
●
●
●
●
●
●
●
实践发现，学习新课
（3）连线
x
y
●
●
●
●
●
●
●
●
你认为这样连线对吗？为什么？
不对，因为x≠0，画出的图形不是连续的一条线，而应该是被y轴分开的两部分.
实践发现，学习新课
（3）连线
x
y
●
●
●
●
●
●
●
●
在图像的旁边写上表达式
观察形状和位置：
形状：被y轴隔开的两条曲线
位置：分别在一、三象限
实践发现，学习新课
继续探究：
（利用课本131页的直角坐标系）
x
...
-6
-3
-2
-1
1
2
3
6
...
y
...
1
2
3
6
-6
-3
-2
-1
...
x
y
●
●
●
●
●
●
●
●
1.列表
2.描点
3.连线
观察形状和位置：
形状：被y轴隔开的两条曲线
位置：分别在二、四象限
新课学习
一、反比例函数的图像
反比例函数的图像由分别位于两个象限的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线.
x
y
x
y
新课学习
二、初步认识双曲线的特征.
x
y
x
y
(1）双曲线的位置在______象限或______象限，可能与__的值有关.
一、三
二、四
k
(2）双曲线关于_____对称.
原点
关于直线y=x
和y=-x对称.
新课学习
二、初步认识双曲线的特征.
x
y
x
y
(3）双曲线_____原点，与x轴、y轴___________.
不过
永远不相交
典例精析
例1.（课本132页例1）
(1)求这个反比例函数的表达式.
分析：
双曲线上的点
符合表达式的一对x、y的值
一一对应
解：（1）把点P（-6,8）代入得，
k=-6×8=-48
典例精析
例1.（课本132页例1）
（2）判断点M（4，-12）和N（2,24）是否在这个反比例函数的图像上？
分析：
只要看点的横纵坐标的乘积是不是等于-48即可.如：4×（-12）=-48，则点M在；2×24=48≠-48，则N不在.
∴点M在反比例函数图像上，点N不在.
你有更快的方法吗？
及时总结，巩固提升
乘积为6
发现：
乘积为-10
乘积为1.5
乘积为k
结论：双曲线上所有点的横、纵坐标的乘积相等，都等于k.
精准练习，提升能力
B
A
知识点：双曲线上所有点的横、纵坐标的乘积相等，都等于k.
精准练习，提升能力
3.若一个反比例函数的图像经过点A（m,m)和B（2m,-1),则这个反比例函数的表达式为_______.
考查的知识点：
解得，m=0或m=-2
双曲线上的点的横、纵坐标乘积相等.
当m=0时，A(0，0),而双曲线不过原点，故舍去.
当m=-2时，A（-2，-2）k=-2×(-2)=4
精准练习，提升能力
设P(x,y)，矩形OAPB的面积=OA·PA=xy=2
y
x
P
A
B
O
7
20
矩形OAPB的面积等于k的绝对值
2
课堂小测
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A
C
B
D
B
课堂小测
A.关于原点中心对称
B.关于直线y=x对称
C.关于直线y=-x对称
D.关于x轴对称
D
课堂小测
3.已知点A（2,4）与点B（-3,m）在同一反比例函数的图像上，则m的值是_____.
y
x
C
A
B
O
D
4
课堂小测
P
y
x
Q
O
一、反比例函数的图像
回顾与小结
二、双曲线上点的特点
双曲线
横、纵坐标的乘积相等，都等于k
同学们再见
